運(yùn)算教學(xué)真的需要重視和落實(shí)
——對(duì)2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題的點(diǎn)滴思考

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(湖州市教育科學(xué)研究中心 浙江湖州 313000)

2014年高考已經(jīng)落下帷幕，有相當(dāng)一部分浙江考生認(rèn)為2014年的數(shù)學(xué)理科試題很難，考得不理想.筆者也試著限時(shí)2小時(shí)去做該試題，感觸頗深.首先試題嚴(yán)格遵循《浙江省普通高考考試說(shuō)明》的標(biāo)準(zhǔn)，一點(diǎn)也不超綱、試題也不偏不怪，在全面考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，突出表現(xiàn)了“重思維、重本質(zhì)”的特點(diǎn)；其次試題還有“重運(yùn)算”的特點(diǎn)，對(duì)運(yùn)算的要求較高，特別是含有字母的代數(shù)式運(yùn)算，與前幾年相比有明顯增加，例如第6，8～10，13，15～17，21，22題等涉及代數(shù)式運(yùn)算，但每道題并沒(méi)有想象中的那么難.筆者又將該試題與2013年的試題作了對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)2014年每一類題目，如選擇題、填空題、解答題的最后2題也都沒(méi)有2013年的難，但不少師生卻覺(jué)得比2013年難.那么，2014年的浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題到底難在何處呢？

筆者認(rèn)為，對(duì)相當(dāng)一部分浙江考生來(lái)說(shuō)，2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題很大程度上是難在運(yùn)算上.拿到省考試院印發(fā)的命題組提供的參考答案，印象最深的是命題組給出的考查意圖中對(duì)運(yùn)算考查的描述：選擇題和填空題的考查意圖都是考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算；解答題第18～20題的考查意圖是除考查該題所在知識(shí)外，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力；第21，22題則還要考查綜合解題能力.盡管部分考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握得較扎實(shí)，但是若他們對(duì)運(yùn)算不重視、運(yùn)算技能不過(guò)關(guān)、算法不合理簡(jiǎn)捷，那么要獲得理想成績(jī)還是比較困難的.筆者的切身體會(huì)是：該試題擊中了當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中相當(dāng)普遍的一個(gè)軟肋——對(duì)運(yùn)算教學(xué)不夠重視、有關(guān)運(yùn)算的教學(xué)沒(méi)落實(shí).這將給高中數(shù)學(xué)教學(xué)以正確的導(dǎo)向，同時(shí)給高中數(shù)學(xué)教師留下了一定的反思空間.

說(shuō)到運(yùn)算教學(xué)，在平時(shí)的課堂教學(xué)調(diào)研中常會(huì)發(fā)現(xiàn)，有一些師生是比較輕視的：他們認(rèn)為運(yùn)算教學(xué)是次要的、枯燥的，也不需要?jiǎng)幽X去思考，所含的思維價(jià)值比較低，不需花大力氣去教學(xué)，不少學(xué)生平時(shí)用計(jì)算器代替筆算、心算等；也有一些高中數(shù)學(xué)教師雖然口頭上說(shuō)運(yùn)算教學(xué)是重要的，但沒(méi)放在心里、落到實(shí)處，反而把運(yùn)算教學(xué)簡(jiǎn)單化了，以為運(yùn)算教學(xué)就是掌握好運(yùn)算技能，反而認(rèn)為學(xué)生早在義務(wù)教育階段就應(yīng)落實(shí)好運(yùn)算技能，在高中階段又有比運(yùn)算更重要的教學(xué)任務(wù)，再加上為了趕進(jìn)度而導(dǎo)致課時(shí)緊，在具體課堂教學(xué)中就把運(yùn)算教學(xué)給忽視了，只想在課后的大量練習(xí)中提高學(xué)生的運(yùn)算能力.這些教學(xué)情況是較普遍的，這也說(shuō)明在高中階段不少師生對(duì)運(yùn)算教學(xué)的認(rèn)識(shí)不夠重視、不夠到位、也沒(méi)有真正去落實(shí).然而不少專家、學(xué)者卻是對(duì)運(yùn)算教學(xué)非常重視的.《浙江省普通高考考試說(shuō)明》在能力要求中，對(duì)運(yùn)算求解能力的描述是：會(huì)根據(jù)法則和公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算；在考查要求中，對(duì)運(yùn)算求解能力的考查主要考查計(jì)算和推理能力.章建躍教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)是學(xué)會(huì)運(yùn)算和推理，運(yùn)算離不開推理，“能推理、會(huì)運(yùn)算”是從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的基本素質(zhì).因此，筆者呼吁要真的重視和落實(shí)運(yùn)算教學(xué)，將專家、學(xué)者對(duì)運(yùn)算教學(xué)的重視落到具體的教學(xué)實(shí)踐中去.

1 要堅(jiān)定落實(shí)運(yùn)算教學(xué)的基本要求——運(yùn)算科學(xué)、準(zhǔn)確

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

分析要求出雙曲線的離心率，只要找到a,b的數(shù)量關(guān)系即可.根據(jù)條件容易列出關(guān)于a,b的等量關(guān)系，下面只需科學(xué)、準(zhǔn)確地運(yùn)算就能得出答案.

雖然許多考生都知道例1該怎么做，但此題的得分并不高，此題參與運(yùn)算的字母有3個(gè)，讓運(yùn)算技能不過(guò)關(guān)的考生看著就頭疼，運(yùn)算不仔細(xì)，導(dǎo)致運(yùn)算失誤，從而出現(xiàn)了“會(huì)而不對(duì)”的現(xiàn)象，考后才說(shuō)“運(yùn)算傷不起”，“算容易、算對(duì)不易，且算且仔細(xì)”.第21題的情況與此題類似，重點(diǎn)考查含字母的代數(shù)運(yùn)算，需要扎實(shí)的運(yùn)算基本功.這說(shuō)明在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的運(yùn)算需達(dá)到科學(xué)、準(zhǔn)確，這樣才算基本功達(dá)標(biāo).

例2在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=

( )

A.45 B.60 C.120 D.210

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第5題)

分析本題考查二項(xiàng)式定理和基本的代數(shù)運(yùn)算.只需結(jié)合二項(xiàng)式定理列出算式，求得結(jié)果即可，這是基本的通法.若考生的思維深刻且運(yùn)算能力較強(qiáng)，則解法可以更簡(jiǎn)單.

解法1由題意得

f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=

20+60+36+4=120.

評(píng)注當(dāng)前人們對(duì)運(yùn)算有一些誤解，認(rèn)為運(yùn)算就是按照各種運(yùn)算法則進(jìn)行加、減、乘、除，按照算法規(guī)則進(jìn)行邏輯推理而獲得正確結(jié)果，這僅僅是運(yùn)算的一個(gè)方面.更重要的是，在運(yùn)算中包含著對(duì)算法的構(gòu)造、設(shè)計(jì)、選擇，對(duì)算理的理解、運(yùn)用等.像例2這樣的題，雖然看似簡(jiǎn)單，但內(nèi)涵豐富，是加強(qiáng)運(yùn)算教學(xué)的一個(gè)好例題.在平時(shí)教學(xué)時(shí)，教師可要求學(xué)生不能滿足于會(huì)算就行，還要鼓勵(lì)學(xué)生思考有沒(méi)有更新、更好的算法.若能構(gòu)造出新的算法，既能提升思維能力，又能與原算法相互印證，從而確保運(yùn)算的科學(xué)、準(zhǔn)確.

2 要努力落實(shí)運(yùn)算教學(xué)的較高要求——運(yùn)算合理、迅速

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可以有多種不同的表征，不同的表征方式可以得出不同的算法.通常來(lái)說(shuō)，運(yùn)算錯(cuò)誤不僅僅是運(yùn)算技能不過(guò)關(guān)，更主要的是算法不合理.能減少運(yùn)算量、縮短思維長(zhǎng)度、優(yōu)化解題過(guò)程的算法是好算法.在平時(shí)教學(xué)中，課堂上應(yīng)多展示不同的算法，讓學(xué)生合理地設(shè)計(jì)和選擇適合自己的好算法，要努力落實(shí)運(yùn)算教學(xué)的較高要求，使運(yùn)算合理、迅速，明白算理和實(shí)質(zhì).選擇好算法是在具備相關(guān)知識(shí)并形成一定的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)后形成的，能迅速設(shè)計(jì)好算法是數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的表現(xiàn)之一.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

分析本題主要考查簡(jiǎn)單的分段函數(shù)和基本運(yùn)算，可以從代數(shù)角度和函數(shù)圖像角度進(jìn)行分析，各有特色，適合不同的考生，對(duì)運(yùn)算能力的考查也不盡相同.

f(a)≥-2，

從而

解得

評(píng)注本題用代數(shù)運(yùn)算與數(shù)形結(jié)合思想等多種角度考查考生對(duì)于簡(jiǎn)單分段函數(shù)的理解.本題的代數(shù)運(yùn)算并不繁雜，數(shù)形結(jié)合的算法就更簡(jiǎn)捷了，但考生的得分并不高，難在對(duì)算理的理解上.不管是代數(shù)算法還是數(shù)形結(jié)合算法，都要清晰地明白算理，也就是要將本題中函數(shù)的自變量分層次，先將f(a)看成函數(shù)的自變量，再將實(shí)數(shù)看成函數(shù)f(a)的自變量，那么問(wèn)題很快就迎刃而解.由此，在平時(shí)的運(yùn)算教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生進(jìn)行多種算法構(gòu)造、設(shè)計(jì)、選擇的體驗(yàn)，更重要的是要讓學(xué)生增強(qiáng)對(duì)算理的理解和運(yùn)用，這樣可以使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法的真諦.

例4已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(其中m≥3,n≥3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(其中i=1,2)個(gè)球放入甲盒中.

(1)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi(其中i=1,2)；

(2)放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為Pi(其中i=1,2)，則

( )

A.P1>P2,E(ξ1)

B.P1E(ξ2)

C.P1>P2,E(ξ1)>E(ξ2)

D.P1

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

分析本題是摸球問(wèn)題，背景公平，考查數(shù)學(xué)的概念和本質(zhì)，是2014年的亮點(diǎn)題之一.本題主要考查概率統(tǒng)計(jì)中的概率、離散型隨機(jī)變量均值的概念，具體的運(yùn)算求解方式有很多，考生可選擇一個(gè)適合自己的好算法.

解法1對(duì)題目所給條件、結(jié)合概念直接表征為概率模型，運(yùn)用古典概率公式和均值公式，通過(guò)運(yùn)算硬做，雖然運(yùn)算量較大但還是可行的.

解法2由于本題是選擇題，不需小題大做，可將m,n賦值，通過(guò)特殊值法減少運(yùn)算量.不妨設(shè)m=3，n=3，具體過(guò)程如下：

從而P1>P2.

從而E(ξ1)

解法3抓住本題中概率統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)本質(zhì):Pi(其中i=1,2)為放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的可能性;E(ξ)為隨機(jī)變量ξ的均值，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.仔細(xì)分析此題的背景并合理類比，將此題中離散型隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題類比成溶液中溶質(zhì)的“物質(zhì)的量的濃度”和溶液中溶質(zhì)質(zhì)量問(wèn)題.

不妨大膽想象，原題類比為：甲容器中有1升的純酒精，乙容器中有若干升的含水酒精，分別從乙容器里取出1升、2升含水酒精，倒入甲容器，比較這2次倒入含水酒精后，甲容器里的純酒精物質(zhì)的量以及純酒精的濃度.很容易估算出，倒入2升含水酒精后比倒入1升后，甲容器里的酒精濃度在減少，純酒精的物質(zhì)的量在增加.由此類比，可得P1>P2，E(ξ1)

評(píng)注本題背景深刻，表征多元.在給出的3種算法中：第1種是精確運(yùn)算；第2種是特殊條件下簡(jiǎn)化版的定量運(yùn)算；第3種算法其實(shí)是估算，是對(duì)事物本質(zhì)的直覺(jué)判斷，故運(yùn)算量最少.估算是對(duì)面臨情況的一種整體把握，是通過(guò)與頭腦中已有數(shù)學(xué)模型的類比而實(shí)現(xiàn)的，因而是一種定性思維形式，這種數(shù)學(xué)思維具有更大的靈活性和可變通性.在現(xiàn)實(shí)世界中，精確是相對(duì)的，模糊是絕對(duì)的，因此，對(duì)事物發(fā)生發(fā)展的可能性的估計(jì)、對(duì)結(jié)果的可能性的判斷以及相應(yīng)的對(duì)行動(dòng)方案的選擇，都需要人們的估算能力.

3 要爭(zhēng)取達(dá)到運(yùn)算教學(xué)的理想狀態(tài)——運(yùn)算靈活、巧妙

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

解因?yàn)閍+b和a-b是以a，b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線，所以

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，

max{|a+b|2,|a-b|2}.

評(píng)注本題考查平面向量的運(yùn)算和幾何意義，形式新穎，能力立意，突出本質(zhì).本題從已知條件中隱含的恒等式|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)來(lái)推導(dǎo)出一個(gè)不等式的結(jié)論，極具思維的靈活性.解題所依據(jù)的是一個(gè)非常淺顯的原理——2個(gè)實(shí)數(shù)的平均值不大于這2個(gè)實(shí)數(shù)的最大值，這只需直覺(jué)上的估算即可得出.但這種直覺(jué)上的估算是非常靈活、巧妙的，這樣的算法是返璞歸真的.

教師都會(huì)想方設(shè)法讓學(xué)生在運(yùn)算時(shí)更靈活、巧妙，盡心追求理想的運(yùn)算教學(xué)狀態(tài).這種靈活、巧妙的運(yùn)算能力反映了學(xué)生在面臨數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的判斷和選擇能力，形成這種素質(zhì)的基礎(chǔ)是精確計(jì)算的訓(xùn)練.在精確計(jì)算過(guò)程中，一方面要求學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上講究算法的合理性，并在計(jì)算速度上達(dá)到一定水平；另一方面，在此基礎(chǔ)上要求學(xué)生不斷對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)和判斷，以使學(xué)生形成適合于估算的直覺(jué)，進(jìn)而培養(yǎng)對(duì)事物發(fā)展前景和結(jié)果的判斷能力.在處理問(wèn)題時(shí)，人們可以憑借這種靈活、巧妙的運(yùn)算直覺(jué)，對(duì)采取什么方法、方法的可行性以及可能的結(jié)果等等作出判斷，也即“能思故我在，會(huì)算故我強(qiáng)”.

眾所周知，計(jì)算和演繹是數(shù)學(xué)中緊密結(jié)合在一起的過(guò)程，從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要作用是形成“算法的思維”，培養(yǎng)按照規(guī)定的運(yùn)算程序進(jìn)行計(jì)算的習(xí)慣和設(shè)計(jì)新的計(jì)算程序的能力(實(shí)際上，數(shù)學(xué)的公式、法則、定理等等都可以理解為規(guī)定好的計(jì)算程序).運(yùn)算教學(xué)時(shí)以算法思想統(tǒng)帥數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，扎實(shí)作好算法分析、算法設(shè)計(jì)、算法評(píng)價(jià)，真正做到在正式動(dòng)手之前算理明晰、算法合理.教師們真的需要重視并落實(shí)好運(yùn)算教學(xué)，使運(yùn)算教學(xué)成為數(shù)學(xué)課堂中一項(xiàng)重要的教學(xué)活動(dòng).學(xué)生數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力都可以從運(yùn)算教學(xué)中得到培養(yǎng)，讓我們一起努力，真正實(shí)現(xiàn)運(yùn)算教學(xué)的育人功能.