平淡中凸顯本質(zhì) 常規(guī)中彰顯能力
——2014年浙江省數(shù)學(xué)高考解析幾何試題評析

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(元濟(jì)高級中學(xué) 浙江海鹽 314300)

1 試卷命題情況回顧

2014年浙江省高考已經(jīng)落下帷幕，廣大教師對數(shù)學(xué)試卷中解析幾何試題的評價褒貶不一.筆者也在思考:解析幾何究竟應(yīng)該考什么,怎么考？

關(guān)于考什么，自然應(yīng)該考最能體現(xiàn)解析幾何本質(zhì)的核心知識和思想方法.關(guān)于怎么考，這是一個試題的導(dǎo)向問題，它對高中教學(xué)至關(guān)重要.以筆者之見，應(yīng)該有利于高中解析幾何教學(xué)更好地促進(jìn)核心知識、基本經(jīng)驗(yàn)和思想方法的形成與應(yīng)用，擺脫模式化的解題教學(xué)，同時，能適度體現(xiàn)解析幾何與平面向量、三角、不等式、導(dǎo)數(shù)等其他模塊知識的融合與交匯，以檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力，增強(qiáng)試題的選拔功能.需要指出的是：什么是“基本經(jīng)驗(yàn)”？解析幾何大題往往解題過程比較長，一眼望不到底，于是，能否敏銳地預(yù)測到下一步做什么，這就是“經(jīng)驗(yàn)”.它是在實(shí)踐中積累和形成的,有“知識”不等于有“經(jīng)驗(yàn)”，只有知識不一定能解出題目，只有兩者結(jié)合才能解決.

2014年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科卷的解析幾何都是2道題，即文科第17題和第22題，總分值為18分；理科第16題和第21題，總分值為19分.其中，文科第17題和理科第16題是同一道題，主要考查雙曲線的漸近線方程、離心率、直線的斜率、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識和交軌思想；文科第22題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形面積公式、平面向量等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力；理科第21題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法、基本不等式的應(yīng)用等綜合解題能力.以上分析表明，從考點(diǎn)的把握來看，大方向是正確的，但理科第21題的起點(diǎn)略偏高.

2 試題解答與評析

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題、文科試題第17題)

因?yàn)閨PA|=|PB|，所以點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，于是AB的中點(diǎn)為

圖1

(2)求△ABP面積的最大值.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第22題)

命題組提供的參考答案如下：

解(1)由題意知焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y=-1.設(shè)P(x0,y0)，則

|PF|=y0+1=3，

得y0=2,從而

x2-4kx-4m=0,

于是

Δ=16k2+16m>0，

x1+x2=4k，x1x2=-4m，

(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1)，

于是

由Δ>0和k2≥0,得

f′(m)=9m2-10m+1=0，

解得

評析本題題意清晰簡潔，考生容易理解，解題方法常規(guī).考查的知識點(diǎn)豐富，除解析幾何的經(jīng)典核心知識和思想方法外，還與平面向量、導(dǎo)數(shù)等知識有機(jī)結(jié)合，有利于檢測學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力以及在不斷化歸過程中所體現(xiàn)的基本經(jīng)驗(yàn).對比近3年浙江省數(shù)學(xué)高考文科第22題，總體而言，試題比較平穩(wěn)，背景都是拋物線，第(2)小題都是求最值.其中，2012年、2014年的第22題第(2)小題都是求三角形面積的最大值，且主要方法都是以導(dǎo)數(shù)為工具，2014年試題的求導(dǎo)運(yùn)算比2012年略簡單些；2013年的第22題第(2)小題是求2個點(diǎn)間距離的最大值，主要方法是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，且需要分類討論.從解題思路看，2014年的試題基本上都是順向思維，思維的跳躍性不大，符合文科學(xué)生的特點(diǎn).但是，從閱卷信息反饋看，本題難度較大，難度系數(shù)為0.20.

圖2

(1)已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離最大值為a-b.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

因?yàn)橹本€l與橢圓C只有1個公共點(diǎn)，所以Δ=0，即

a2k2+b2-m2=0，

解得

(2)由于直線l1與l垂直，于是直線l1的方程為x+ky=0，點(diǎn)P到直線l1的距離為

整理得

解法2(1)設(shè)P(x0,y0)(其中x0>0,y0>0)，則直線l的方程為

y=k(x-x0)+y0(其中k<0).

(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+

a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

因?yàn)橹本€l與橢圓C只有1個公共點(diǎn)，所以

Δ=4a4k2(y0-kx0)2-

4(a2k2+b2)a2[(y0-kx0)2-b2]=0，

即

(y0-kx0)2=a2k2+b2.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，且k<0，所以y0-kx0≥0，于是

解得

故

(2)由第(1)小題知

從而

于是

因?yàn)閘1⊥l，所以直線l1的方程為

即

a2y0x-b2x0y=0.

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以

于是點(diǎn)P到直線l1的距離為

評析本題命題背景熟悉，圖形簡潔，考查的知識點(diǎn)都是解析幾何中的核心知識.與文科第22題一樣，理科第21題同樣突出了對解析幾何思想方法和基本經(jīng)驗(yàn)的考查.然而，與往年的浙江省數(shù)學(xué)高考理科第21題相比，2014年的試題有新變化，主要體現(xiàn)在2個方面：一是從設(shè)問上看，第(1)小題是直接求切點(diǎn)的坐標(biāo)，這是近6年來沒有考過的，考生入手比較容易，只要具有“交軌思想”和解方程組的有關(guān)知識即可求解；二是從試題構(gòu)造上看，整題都是全字母運(yùn)算，起點(diǎn)比較高，且改變了以往第(1)小題“送分”的做法，考生普遍感到“繁”、“難”，即使解題思路正確也不一定能夠算出結(jié)果.從閱卷信息分析，能夠正確求出點(diǎn)P坐標(biāo)的學(xué)生在40%左右，難度系數(shù)低于0.28.

以上2種解法都屬于通性通法，其中使用解法2的考生也有不少.仔細(xì)比較，將直線l的方程設(shè)成“斜截式”還是“點(diǎn)斜式”，運(yùn)算量相差很大.從閱卷現(xiàn)場反饋的信息看，凡是設(shè)成“點(diǎn)斜式”的學(xué)生大多算不出最后的結(jié)果.究其原因，解法2(點(diǎn)斜式)在運(yùn)算過程中需要一個小技巧，即將(y0-kx0)2看成一個整體，不能輕易展開，這樣才有利于在眾多字母中突出主元，清晰運(yùn)算目標(biāo)，否則，容易迷失方向.這對于運(yùn)算能力不太強(qiáng)的考生來說，具有很大的挑戰(zhàn)性.此外，解法2在求最大值時用柯西不等式比較方便，柯西不等式是高中教材IB的內(nèi)容，對不選學(xué)IB的考生來說，又多了一道坎.

可見，例3對合理設(shè)點(diǎn)、設(shè)方程要求比較高,這是解析幾何解題的一種基本能力，命題者的這種構(gòu)思并沒超綱.合理設(shè)點(diǎn)、設(shè)方程能力的形成，一方面需要經(jīng)驗(yàn)的積累，另一方面需要有一定的預(yù)見性.對未來事物的預(yù)見能力是一個人學(xué)習(xí)、工作所不可或缺的基本能力，應(yīng)該從小開始培養(yǎng).作為數(shù)學(xué)學(xué)科，應(yīng)該結(jié)合自己的學(xué)科特點(diǎn)和優(yōu)勢，將該能力的培養(yǎng)滲透在平時點(diǎn)點(diǎn)滴滴的教學(xué)之中，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)對人的終身發(fā)展的意義與價值.

3 例3第(1)小題解法探究

例3的第(1)小題如果直接使用“過橢圓上一點(diǎn)的切線方程”這個結(jié)論，則解法可以簡化.

解法3設(shè)P(x0,y0)(其中x0>0,y0>0).由題意直線l與橢圓相切，知直線l的方程為

(1)

又直線l的方程可寫成

y=kx+(y0-kx0),

(2)

比較式(1)和式(2)的系數(shù)，得

解得

故

評析此解法不屬于課程標(biāo)準(zhǔn)要求的范圍，故對學(xué)生不作要求.

4 命題背景探討

2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省初賽的第16題如下：

圖3

分析如圖3，直線l與橢圓E相切于點(diǎn)A,與動圓Γ相切于點(diǎn)B，故l⊥OB于點(diǎn)B.因此，“求點(diǎn)A,B的距離|AB|的最大值”等價于“求A點(diǎn)到直線OB距離的最大值”.

不難發(fā)現(xiàn)，2014年的理科第21題(即例3)與例4如出一轍.例3告知切點(diǎn)到直線的距離最大值為a-b，讓我們證明；例4直接求切點(diǎn)到直線距離的最大值，2道試題的本質(zhì)和解法完全一致.

5 教學(xué)建議

毋庸置疑，“高考考什么，怎么考”永遠(yuǎn)是高中教學(xué)的風(fēng)向標(biāo).高考中學(xué)生答題出現(xiàn)的問題是教師改進(jìn)教學(xué)的重要依據(jù).

5.1 明確原因

解析幾何是高中學(xué)生普遍感到困難的內(nèi)容之一，尤其是做解答題.

學(xué)生方面的原因：一是沒有“入門”.即便是到了高三，不少學(xué)生仍未形成解析幾何的思想方法，缺乏設(shè)點(diǎn)、設(shè)曲線方程的意識和能力，不會將題目中的條件、結(jié)論進(jìn)行有效地化歸，只會模仿“套路”解題.二是計算能力較弱.這是現(xiàn)在高中生的一個普遍問題，這既與初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和計算器的普及有關(guān)，也與學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度有關(guān).現(xiàn)行的浙江省義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程對學(xué)生計算能力要求降低了，尤其是對字母的運(yùn)算，這對解析幾何解題的影響最大.

教師方面的原因：第一，教法有誤.許多教師對解析幾何的學(xué)科本質(zhì)認(rèn)識不清，教學(xué)觀點(diǎn)不高，“重知識、輕思想；重方法、輕經(jīng)驗(yàn)”，死守模式化的訓(xùn)練，更有甚者按照高考閱卷“踩分點(diǎn)”來教學(xué)，把學(xué)習(xí)解析幾何演變成“解題得分”，嚴(yán)重阻礙學(xué)生解析幾何學(xué)科思想的形成，使不少學(xué)生永遠(yuǎn)無法入門.第二，畏難放棄.有的教師認(rèn)為解析幾何解答題綜合性太強(qiáng)，許多學(xué)生是學(xué)不會的，教學(xué)時隨意降低標(biāo)準(zhǔn)，從而助長了學(xué)生對解析幾何的恐懼心理.

5.2 把握本質(zhì)

業(yè)內(nèi)有一句行話：三流教師教知識，二流教師教方法，一流教師教思想.這句話不一定正確，但它至少給我們一點(diǎn)啟示：教學(xué)不僅要重視“雙基”，更要重視思想方法，重視學(xué)生基本經(jīng)驗(yàn)的積累.經(jīng)驗(yàn)的積累主要是在自主探究的過程中實(shí)現(xiàn)的.

首先，要區(qū)分“思想方法”與“具體方法”這2個概念.“思想方法”也稱“學(xué)科思想”，相對于“具體方法”，它處于上位.以解析幾何為例，思想方法有：“建系、設(shè)點(diǎn)”、“交軌思想”、“數(shù)形結(jié)合”、“平面幾何方法優(yōu)先”等.具體方法有：“點(diǎn)差法”、“待定系數(shù)法”、“配方法”、“判別式法”等，這些方法使用的范圍針對性較強(qiáng)，處于下位.不同的知識模塊有不同的思想方法，如函數(shù)的思想方法、三角的思想方法、數(shù)列的思想方法等.一些學(xué)生函數(shù)學(xué)得不錯，解析幾何卻不一定學(xué)得好，主要原因在于沒有“入門”.一個模塊入門不入門，判斷的依據(jù)就是看學(xué)生有沒有形成該模塊的思想方法.

其次，要明確解析幾何的思想方法.這需要從解析幾何的定義說起.什么是解析幾何？它是一門用代數(shù)方法來研究幾何問題的學(xué)科.從定義來看，解析幾何是幾何，不是代數(shù).它與平面幾何的區(qū)別在于研究方法的不同，它以代數(shù)為工具，通過以“數(shù)”的方式來解釋“形”的問題.而打通“數(shù)”與“形”平臺就是“直角坐標(biāo)系”.有了點(diǎn)的坐標(biāo)，才能建立“形”與“數(shù)”的對應(yīng)；有了點(diǎn)的坐標(biāo)，曲線才有了方程；有了點(diǎn)的坐標(biāo)，才使代數(shù)方法的引進(jìn)成為可能.還需強(qiáng)調(diào)的是，正因?yàn)榻馕鰩缀问菐缀?，所以平面幾何的一些方法在解決解析幾何問題時同樣適用，不僅適用，一旦用了，還可以避免復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.

5.3 積極改進(jìn)

鑒于以上觀點(diǎn)，高中階段解析幾何入門教學(xué)要抓住3個關(guān)鍵問題：一是形成“坐標(biāo)思想”，即針對實(shí)際問題，能夠合理地建系、設(shè)點(diǎn)(包括設(shè)曲線的方程)，有利于化未知為已知，有利于簡化計算；二是增強(qiáng)“軌跡意識”，即深刻認(rèn)識曲線上點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系，曲線相交與曲線方程所組成的方程組的關(guān)系，使“點(diǎn)在線上——滿足方程”、“曲線的交點(diǎn)——方程組的解”等思維成為一種習(xí)慣；三是優(yōu)先“幾何方法”，即凡是能用得上平面幾何方法的，優(yōu)先使用平面幾何的方法，以簡化繁瑣的代數(shù)運(yùn)算.同時，還要注意2個轉(zhuǎn)化：一是將語言轉(zhuǎn)化為式子，實(shí)現(xiàn)已知條件的具體化；二是將圖形轉(zhuǎn)化為式子，通過數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)命題的轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)或預(yù)測下一步的解題策略.要加強(qiáng)計算能力的培養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)計算所需的數(shù)學(xué)能力和心理品質(zhì)的養(yǎng)成，克服“怕繁、怕難”的情緒，提高學(xué)生的計算能力.