2014年廣東省數(shù)學高考第20題的問題背景、解法及推廣

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(鐵一中學 廣東廣州 510600)

1 原題回顧

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若動點P(x0,y0)為橢圓外一點，且點P到橢圓C的2條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

這是2014年廣東省數(shù)學高考理科倒數(shù)第2題.本題題意清晰，簡潔明了，學生不需要花太多時間讀題、理解題意，且解題思路常規(guī)、明了，符合考試大綱的要求.看似平常無奇的問題，卻有著深刻的背景、多樣的解法，完全可以考查出學生的知識面、計算能力等各方面的數(shù)學素養(yǎng).

2 問題背景

3 解法研究

解法1(判別式法)令2個切點分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，當切線斜率存在時，設(shè)過點P的切線方程為l:y-y0=k(x-x0),聯(lián)立方程組

整理得

(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0,

從而

Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)[9(y0-kx0)2-36].

由直線l與橢圓C相切知Δ=0,得

4+9k2=(y0-kx0)2,

由過點P的2條切線相互垂直和韋達定理得

解法2(參數(shù)法)設(shè)切線PA的參數(shù)方程為

(1)

(2)

解法3(方程思想)設(shè)切點A(x1,y1)，切點B(x2,y2)，則過點A,B的切線方程分別為

(3)

(4)

(5)

(6)

利用韋達定理代入得x2+y2=13,經(jīng)驗證特殊情形亦滿足.

圖1

解法4(幾何法)如圖1所示，E,F為橢圓的2個焦點，PA,PB是2條相互垂直的切線，作點F關(guān)于直線PA，PB的對稱點G,H，聯(lián)結(jié)GF,HF，交PA，PB于點C,D.由平面幾何知識易證：點G,A,E共線，點F,D,H共線，點G,P,H共線，且P為GH的中點.利用對稱的知識容易得到下列關(guān)系：

AG=AF,PG=PF,BF=BH.

又在橢圓中,

AF+AE=2a=6，

即

GE=AG+AE=2a=6，

同理可得

HE=6，

故在△GEH中，P為GH的中點，從而

PE2+PG2=GE2=36,

將PG=PF代入上式得

PE2+PF2=36.

在△PEF中，O為EF中點，由帕普斯定理得

PE2+PF2=2OF2+2OP2=36,

4 問題的推廣

2條直線垂直是2條直線位置關(guān)系中極為特殊的情形，當2條切線始終成某個固定的角度θ時，點P的軌跡又是怎樣的呢？筆者經(jīng)過探究，有以下結(jié)果：

證明當θ≠90°時，設(shè)過點P的切線方程為

y-y0=k(x-x0)，

即

y=kx+y0-kx0.

(a2k2+b2)x2+2ka2(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0,

從而

Δ=4k2a4(y0-kx0)2-4(a2k2+b2)[a2(y0-kx0)2-a2b2]=0,

將x0，y0用x，y替換得 sin2θ(a2+b2-x2-y2)2+4cos2θ(a2b2-b2x2-a2y2)=0.

當θ=90°時，亦滿足上式，故命題得證.

限于篇幅，結(jié)論2,3的證明留給有興趣的讀者完成.