對2014年福建省數(shù)學(xué)高考解析幾何試題的探究

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(商城第二高級中學(xué) 河南信陽 465350)

2014年福建省數(shù)學(xué)高考理科第19題是一道平面解析幾何中常見的直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合題.該題突出了解析幾何的學(xué)科思想，如數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動變化、用代數(shù)方法研究幾何等.同時對考生的分析、推理、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)邏輯思維能力提出了更高要求.如何在解析幾何中避免繁雜、冗長的計算，即簡化運(yùn)算，特別是洞察題目所給信息的內(nèi)在聯(lián)系，是解決問題的關(guān)鍵.

(1)求雙曲線E的離心率.

(2)如圖1，O為坐標(biāo)原點，動直線l分別交直線l1，l2于點A,B(A，B分別在第一、四象限)，且△OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有1個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙

曲線E的方程；若不存在，請說明理由.

圖1

第(1)小題的解答：

該題的重點在第(2)小題.

1 題意的初步理解

(1)“動直線l分別交直線l1，l2于點A,B(A，B分別在第一、四象限)”，這就形成一個△OAB，此時動直線l與雙曲線E的右支相離、相交、相切均有可能，且這樣的動直線有無窮多條.

(2)由“△OAB的面積恒為8”知面積為定值，此時動直線l與雙曲線E的位置關(guān)系如何呢？

(3)“是否存在總與直線l有且只有1個公共點的雙曲線E”，由于動直線不可能與漸近線平行，因此l與雙曲線E相切，據(jù)此可大膽猜想：滿足條件的直線與雙曲線相切且△OAB的面積恒為定值(本題的答案為8).此時，切點P相對于點A,B的位置關(guān)系是怎樣的呢？

在題目未完全求解之前，存在諸多不確定因素有待解決.解題不僅僅是一個確認(rèn)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，而且也是一個理解和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.

2 解題的具體方法

考慮1如何設(shè)動直線l的方程.

考慮2如何表達(dá)S△OAB，這既有一個策略選擇問題，也有一個運(yùn)算量問題.

…

下面給出第(2)小題的解法：

圖2

從而

t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).

(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0,

又4m2-1<0,直線l與雙曲線E有且只有1個公共點當(dāng)且僅當(dāng)

Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,

即

4m2a2+t2-a2=0,

亦即

(1-4m2)(a2-4)=0,

得

a2=4.

3 對題目的探究

對題目所蘊(yùn)涵的深層次關(guān)系進(jìn)一步探究，可獲得一些重要結(jié)論:

雙曲線的漸近三角形有如下結(jié)論：

b2x2-a2y2=a2b2,

對y求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)得

2b2x-2a2yy′=0,

則在點P處的導(dǎo)數(shù)為

k=y′|x=x0,

從而

因此過點P的切線方程為

化簡得

即

結(jié)論2雙曲線上一條切線和漸近線所圍成的三角形的面積是一個常數(shù).

圖3

切點為P(x0,y0).由結(jié)論1知，過點P的切線方程為

(1)

利用結(jié)論2,可獲得第(2)小題的另一種解法：

結(jié)論3點P為線段AB的中點，即|PA|=|PB|.

證明因為

所以

同理可得

因此點P為線段AB的中點，即|PA|=|PB|.

結(jié)論4|OA||OB|=a2+b2.

本題第(2)小題還有如下解法:

解法3由已知雙曲線E的漸近線為y=±2x知tan∠AOx=2,顯然∠AOx為銳角，從而

則 sin∠AOB= sin2∠AOx=

即

a2+b2=20，

又b=2a,解得a2=4，b2=16.

以上4個結(jié)論能很好地解決“題意的初步理解”中的疑問.事實上，還可由此得到另外2個有用的性質(zhì)，此處證明略.