漸近線問題研究

董春芳，石德剛

(天津冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300400)

漸近線問題研究

董春芳，石德剛

(天津冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300400)

現(xiàn)今高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析教材中關(guān)于漸近線內(nèi)容的研討不盡完善，比較含糊，存在欠缺.為此，本文完善了漸近線的定義，依據(jù)本文給出的漸近線的定義求函數(shù)曲線的漸近線時(shí)，不會(huì)丟失漸近線. 同時(shí)，本文對函數(shù)曲線與其漸近線的交點(diǎn)、函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)與函數(shù)曲線的垂直漸近線的關(guān)系、函數(shù)曲線的水平漸近線和斜漸近線的關(guān)系進(jìn)行了系統(tǒng)的研討. 本文闡明了求函數(shù)曲線的漸近線的步驟和方法，指出不用斜漸近線的系數(shù)公式可以直接用斜漸近線的定義，將求斜漸近線的系數(shù)轉(zhuǎn)化成求含有參數(shù)的極限.

垂直漸近線；水平漸近線；斜漸近線；交點(diǎn)；無窮間斷點(diǎn)；系數(shù)公式

漸近線是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要概念，函數(shù)曲線的漸近線對確定函數(shù)曲線的走向、形狀有著非常重要的意義.若一條函數(shù)曲線存在漸近線，求出該函數(shù)曲線的漸近線就可以知道這條函數(shù)曲線無限延伸時(shí)的走向及變化趨勢，進(jìn)而可以更加全面和更加細(xì)致地研究函數(shù)曲線的性態(tài). 同時(shí)，研討函數(shù)曲線的漸近線對函數(shù)極限概念的進(jìn)一步理解也是很有幫助的.

一、垂直漸近線

二、水平漸近線

三、斜漸近線

對上面兩式取x→時(shí)的極限，并用極限的四則運(yùn)算法則與無窮小的代數(shù)性質(zhì)得求斜漸近線的系數(shù)公式

例3 求曲線y=x+arctanx的漸近線.

所以，當(dāng)x→-時(shí)，曲線y=x+arctanx的斜漸近線為直線；當(dāng)x→+時(shí)，曲線y=x+arctanx的斜漸近線為直線

若忘記了求斜漸近線的系數(shù)公式，可以直接用斜漸近線的定義，將求斜漸近線的系數(shù)轉(zhuǎn)化成求含有參數(shù)的極限. 下面以例3為例予以說明：

所以，當(dāng)x→-時(shí)，曲線y=x+arctanx的斜漸近線為直線；當(dāng)x→+時(shí)，曲線y=x+arctanx的斜漸近線為直線

由水平漸近線和斜漸近線的定義知，在同一方向上(x→-或x→+或x→)，曲線不可能同時(shí)存在水平漸近線和斜漸近線，但是在不同方向上，曲線可以同時(shí)存在水平漸近線和斜漸近線.

[1]張會(huì)凌,李忠義.軌跡與方程[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社,1996.

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[5]吳紀(jì)桃，漆毅.高等數(shù)學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006.

Research on Asymptotic Line

DONG Chun-fang, SHI De-gang

(TianjinMetallurgicalVocationalTechnicalCollege,Tianjin, 300400)

discussion on asymptotic line can be found in advanced math material and math analysis textbooks, however, the discussions are not perfect, ambiguous and incomplete. Thus, the paper tries to improve the definition. The asymptotic line will not be lost if we use the definition given in this paper to find the asymptotic line of function curve. Meanwhile, systematic discussions are made on the following aspects - point of intersection between function curve and its asymptotic line, relation between infinite discontinuity of the function and vertical asymptote of the function curve, relation between horizontal asymptote of the function curve and oblique asymptote. The paper illustrates the steps and methods to find the asymptotic line of function curve. It also states that, by directly using definition of oblique asymptote other than coefficient formula of oblique asymptote, we can find limit with parameters other than coefficient of oblique asymptote.

vertical asymptote; horizontal asymptote; oblique asymptote; point of intersection; infinite discontinuity; coefficient formula

2014-11-11

董春芳(1982-)，女，天津人，講師，研究生在讀，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)；石德剛(1960-)，男，天津人，副教授，本科， 教研室主任，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

O13

A

1673-582X(2015)02-0093-04