巧解漸近線(xiàn)方程

黃耿躍

題目 對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的x0∈D，使得當(dāng)x∈D且x>x0時(shí)，總有0

01}的四組函數(shù)如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲線(xiàn)y=f（x）與y=g（x）存在“分漸近線(xiàn)”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本題是福建省2010高考理科第10題，要求考生先讀懂“分漸近線(xiàn)”的定義，然后類(lèi)比所學(xué)過(guò)的雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的定義，通過(guò)畫(huà)草圖，結(jié)合極限的知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題求解.很多教輔資料在解答這題時(shí)，一般都是采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，再結(jié)合排除法，進(jìn)而選出正確答案為C.華羅庚講過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.單純地利用作圖法求解，總讓人感覺(jué)說(shuō)服力不夠，無(wú)法揭示問(wèn)題的本質(zhì).而如果能用代數(shù)法把第②④組函數(shù)的“分漸近線(xiàn)”求出來(lái)，那就使問(wèn)題的解決顯得有理有據(jù).帶著這個(gè)問(wèn)題，筆者通過(guò)查閱高等數(shù)學(xué)中極限的知識(shí)，得到了一種代數(shù)解法，現(xiàn)把它整理出來(lái)，供同行參考.圖1

一、漸近線(xiàn)的定義

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲線(xiàn)C∶y=f（x），點(diǎn)P是曲線(xiàn)C上的一動(dòng)點(diǎn)，沿著曲線(xiàn)C趨向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，點(diǎn)P和直線(xiàn)l∶y=kx+b的距離越來(lái)越短，直至趨向于0，則稱(chēng)直線(xiàn)l∶y=kx+b為曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn).

二、漸近線(xiàn)定義的形式語(yǔ)言

當(dāng)x→+∞（或-∞）時(shí)，f（x）-（kx+b）→0.

三、漸近線(xiàn)方程中k，b的求法

解 設(shè)M（x，y）為曲線(xiàn)C∶y=f（x）上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d=|kx+b-f（x）|1+k2.因?yàn)橹本€(xiàn)l∶y=kx+b為曲線(xiàn)C∶y=f（x）的漸近線(xiàn)，所以x→∞（+∞或-∞）時(shí)，d→0的充要條件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因?yàn)閘imx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因?yàn)閘imx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考試題巧解

對(duì)①f（x）=x2，g（x）=x若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①組函數(shù)不存在分漸近線(xiàn).對(duì)②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②組函數(shù)中存在分漸近線(xiàn)方程為： y=2.對(duì)③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分漸近線(xiàn)，

因?yàn)閗=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③組函數(shù)不存在分漸近線(xiàn).對(duì)④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④組函數(shù)中存在分漸近線(xiàn)方程為：y=2x-2.故選C.

題目 對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的x0∈D，使得當(dāng)x∈D且x>x0時(shí)，總有0

01}的四組函數(shù)如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲線(xiàn)y=f（x）與y=g（x）存在“分漸近線(xiàn)”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本題是福建省2010高考理科第10題，要求考生先讀懂“分漸近線(xiàn)”的定義，然后類(lèi)比所學(xué)過(guò)的雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的定義，通過(guò)畫(huà)草圖，結(jié)合極限的知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題求解.很多教輔資料在解答這題時(shí)，一般都是采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，再結(jié)合排除法，進(jìn)而選出正確答案為C.華羅庚講過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.單純地利用作圖法求解，總讓人感覺(jué)說(shuō)服力不夠，無(wú)法揭示問(wèn)題的本質(zhì).而如果能用代數(shù)法把第②④組函數(shù)的“分漸近線(xiàn)”求出來(lái)，那就使問(wèn)題的解決顯得有理有據(jù).帶著這個(gè)問(wèn)題，筆者通過(guò)查閱高等數(shù)學(xué)中極限的知識(shí)，得到了一種代數(shù)解法，現(xiàn)把它整理出來(lái)，供同行參考.圖1

一、漸近線(xiàn)的定義

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲線(xiàn)C∶y=f（x），點(diǎn)P是曲線(xiàn)C上的一動(dòng)點(diǎn)，沿著曲線(xiàn)C趨向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，點(diǎn)P和直線(xiàn)l∶y=kx+b的距離越來(lái)越短，直至趨向于0，則稱(chēng)直線(xiàn)l∶y=kx+b為曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn).

二、漸近線(xiàn)定義的形式語(yǔ)言

當(dāng)x→+∞（或-∞）時(shí)，f（x）-（kx+b）→0.

三、漸近線(xiàn)方程中k，b的求法

解 設(shè)M（x，y）為曲線(xiàn)C∶y=f（x）上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d=|kx+b-f（x）|1+k2.因?yàn)橹本€(xiàn)l∶y=kx+b為曲線(xiàn)C∶y=f（x）的漸近線(xiàn)，所以x→∞（+∞或-∞）時(shí)，d→0的充要條件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因?yàn)閘imx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因?yàn)閘imx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考試題巧解

對(duì)①f（x）=x2，g（x）=x若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①組函數(shù)不存在分漸近線(xiàn).對(duì)②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②組函數(shù)中存在分漸近線(xiàn)方程為： y=2.對(duì)③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分漸近線(xiàn)，

因?yàn)閗=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③組函數(shù)不存在分漸近線(xiàn).對(duì)④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④組函數(shù)中存在分漸近線(xiàn)方程為：y=2x-2.故選C.

題目 對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為常數(shù)），對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的x0∈D，使得當(dāng)x∈D且x>x0時(shí)，總有0

01}的四組函數(shù)如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲線(xiàn)y=f（x）與y=g（x）存在“分漸近線(xiàn)”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本題是福建省2010高考理科第10題，要求考生先讀懂“分漸近線(xiàn)”的定義，然后類(lèi)比所學(xué)過(guò)的雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的定義，通過(guò)畫(huà)草圖，結(jié)合極限的知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題求解.很多教輔資料在解答這題時(shí)，一般都是采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，再結(jié)合排除法，進(jìn)而選出正確答案為C.華羅庚講過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.單純地利用作圖法求解，總讓人感覺(jué)說(shuō)服力不夠，無(wú)法揭示問(wèn)題的本質(zhì).而如果能用代數(shù)法把第②④組函數(shù)的“分漸近線(xiàn)”求出來(lái)，那就使問(wèn)題的解決顯得有理有據(jù).帶著這個(gè)問(wèn)題，筆者通過(guò)查閱高等數(shù)學(xué)中極限的知識(shí)，得到了一種代數(shù)解法，現(xiàn)把它整理出來(lái)，供同行參考.圖1

一、漸近線(xiàn)的定義

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)曲線(xiàn)C∶y=f（x），點(diǎn)P是曲線(xiàn)C上的一動(dòng)點(diǎn)，沿著曲線(xiàn)C趨向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，點(diǎn)P和直線(xiàn)l∶y=kx+b的距離越來(lái)越短，直至趨向于0，則稱(chēng)直線(xiàn)l∶y=kx+b為曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn).

二、漸近線(xiàn)定義的形式語(yǔ)言

當(dāng)x→+∞（或-∞）時(shí)，f（x）-（kx+b）→0.

三、漸近線(xiàn)方程中k，b的求法

解 設(shè)M（x，y）為曲線(xiàn)C∶y=f（x）上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d=|kx+b-f（x）|1+k2.因?yàn)橹本€(xiàn)l∶y=kx+b為曲線(xiàn)C∶y=f（x）的漸近線(xiàn)，所以x→∞（+∞或-∞）時(shí)，d→0的充要條件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因?yàn)閘imx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因?yàn)閘imx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考試題巧解

對(duì)①f（x）=x2，g（x）=x若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①組函數(shù)不存在分漸近線(xiàn).對(duì)②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②組函數(shù)中存在分漸近線(xiàn)方程為： y=2.對(duì)③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分漸近線(xiàn)，

因?yàn)閗=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③組函數(shù)不存在分漸近線(xiàn).對(duì)④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分漸近線(xiàn)，因?yàn)閗=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④組函數(shù)中存在分漸近線(xiàn)方程為：y=2x-2.故選C.