《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中需強調(diào)及補充的一個知識點

董小燕

【摘 要】本文簡要探討了在《高等數(shù)學(xué)》某些知識點的處理方面應(yīng)該兼顧后續(xù)課程如《概率統(tǒng)計》需要的必要性。對“積分上限的函數(shù)其被積函數(shù)是分段函數(shù)時求該函數(shù)”這個具體的知識點，在教學(xué)中應(yīng)如何強調(diào)及補充給出了具體的教學(xué)設(shè)計和例題分析。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；概率統(tǒng)計；積分上限的函數(shù)

《高等數(shù)學(xué)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（以下簡稱為《概率統(tǒng)計》）是工科院校各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，但這兩門課程又是讓很多學(xué)生望而生畏的，尤其是《概率統(tǒng)計》課程。目前由于教材編排及內(nèi)容設(shè)置等傳統(tǒng)做法并沒有很好地考慮到這兩門課程知識之間的聯(lián)系性，結(jié)果使很多學(xué)生在《概率統(tǒng)計》中用到《高等數(shù)學(xué)》的微積分知識時遇到困難，因為一些要使用的知識或在《高等數(shù)學(xué)》中一筆帶過，或是根本沒有相應(yīng)的講解及練習(xí)，所以使學(xué)生在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時做不到平穩(wěn)銜接，順利過渡，進而加深了對《概率統(tǒng)計》課程的畏懼心理，導(dǎo)致該門課程教學(xué)效果大受影響。這些知識點包括如無窮限廣義積分計算、二重積分的積分域為無窮平面域、積分上限函數(shù)的被積函數(shù)為分段函數(shù)、含參變量的積分等。本文僅以《高等數(shù)學(xué)》中講授的積分上限函數(shù)為例，對于其被積函數(shù)為分段函數(shù)時如何求該積分上限函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，提供一種教學(xué)設(shè)計，便于做好和《概率統(tǒng)計》課程相應(yīng)知識點的銜接。

在傳統(tǒng)的《高等數(shù)學(xué)》教材中，對于積分上限函數(shù)，是作為微積分基本公式出現(xiàn)之前的一個預(yù)備知識，對于這個重要函數(shù)的介紹，僅限于概念和它的求導(dǎo)公式。

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a，b]上的一點，則稱Φ（x）=f（t）dt，（a≤x≤b）為積分上限的函數(shù)。

定理：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)Φ（x）=f（t）dt在[a，b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)Φ′（x）=f（t）dt=f（x），（a≤x≤b）。

教材中關(guān)于積分上限的函數(shù)沒有更多的介紹，只給出了兩個應(yīng)用上述定理公式的例題，在課后習(xí)題中增設(shè)了一些如隱函數(shù)求導(dǎo)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)、積分上限函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、洛必達法則以及被積函數(shù)是分段函數(shù)時積分上限的函數(shù)的求法等等類型的習(xí)題。這些習(xí)題中，前面的那幾種類型都是學(xué)生在《高等數(shù)學(xué)》中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，不同之處在于其中出現(xiàn)的函數(shù)是本節(jié)新學(xué)到的積分上限的函數(shù)，教師一般會作為新知識應(yīng)用及舊知識復(fù)習(xí)的結(jié)合，給學(xué)生加以講解及練習(xí)。唯獨被積函數(shù)是分段函數(shù)時積分上限的函數(shù)的求法這種題型，若非教師本人熟悉后續(xù)課程《概率統(tǒng)計》的相關(guān)內(nèi)容，往往會覺得在高等數(shù)學(xué)課程中沒有太大作用，學(xué)生比較難理解，接受起來比較吃力，因此往往就直接忽略了這樣的題型。但這樣的處理方式直接導(dǎo)致在《概率統(tǒng)計》課程中學(xué)生在學(xué)習(xí)諸如連續(xù)型隨機變量由概率密度函數(shù)求分布函數(shù)等相關(guān)知識時遇到困難。因此，在高等數(shù)學(xué)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的處理上，建議增加以下例題和練習(xí)題，并詳細地加以分析和講解，輔助以練習(xí)，從而達到在后續(xù)課程應(yīng)用時能順利銜接的目的。

例：設(shè)f（x）=x2，x∈[0，1）

x，x∈[1，2]，求Φ（x）=f（t）dt在[0，2]上的表達式。

在該例的講解過程中，教師應(yīng)著力于讓學(xué)生區(qū)分清楚積分變量和積分上限處的變量x，以及它們各自的取值范圍，即0≤t≤x，0≤x≤2。其中積分上限處的變量x具有兩重屬性，絕對的變化性和相對的固定性，即作為函數(shù)Φ（x）的自變量它是絕對變化的，但作為定積分f（t）dt的上限時它又是相對固定的。必要時可借助于定積分的幾何意義，進行曲邊梯形面積的圖形直觀演示，讓學(xué)生清楚此例中函數(shù)Φ（x）的定義域是[0，2]。同時要強調(diào)，當(dāng)積分區(qū)間變化時，相應(yīng)的被積函數(shù)f（t）也會隨著變化，如0≤x≤1時，f（t）=t2，而當(dāng)1≤x≤2時，由于被積函數(shù)的不同需要利用“定積分對于積分區(qū)間具有可加性”這樣的性質(zhì)把積分區(qū)間分為0≤t<1和1≤t≤x，在這兩段積分區(qū)間上，被積函數(shù)分別是f（t）=t2和f（t）=t。相信通過這樣層層抽絲剝繭細致入微的分析講解后，學(xué)生對這部分內(nèi)容以及函數(shù)Φ（x）的理解會進一步加深。

此外，教師應(yīng)補充一些類似的題目，讓學(xué)生仿照剛才的例題繼續(xù)進行練習(xí)，通過例題的講解和補充題目的練習(xí)，力爭使學(xué)生對這一類問題全面掌握。這既有利于《高等數(shù)學(xué)》課程中學(xué)生對積分上限的函數(shù)這部分的學(xué)習(xí)深入扎實，又為《概率統(tǒng)計》課程相應(yīng)部分打下了良好的基礎(chǔ)。以下兩道題目可供學(xué)生練習(xí)參考。

練習(xí)1：設(shè)f（x）=

sinx，0≤x≤π

0， x<0或x>π，求Φ（x）=f（t）dt在（-∞，+∞）上的表達式。

練習(xí)2：設(shè)f（x）=

x，0≤x<3

2-，3≤x≤4

0， x<0或x>4，求Φ（x）=f（t）dt在（-∞，+∞）上的表達式。

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編.《高等數(shù)學(xué)》（上）（第六版），高等教育出版社

[2]盛驟等編.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（第四版），高等教育出版社