初中數(shù)學(xué)“課后思考題”的設(shè)計(jì)和思考

朱建明（江蘇省南京市教學(xué)研究室）

初中數(shù)學(xué)“課后思考題”的設(shè)計(jì)和思考

朱建明（江蘇省南京市教學(xué)研究室）

初中數(shù)學(xué)“課后思考題”作為一種特殊的課后作業(yè)，是常規(guī)作業(yè)的有益補(bǔ)充．設(shè)計(jì)“課后思考題”不必囿于教材，可以適度拓展教學(xué)內(nèi)容，也可以開展實(shí)踐、糾錯(cuò)、查閱資料等活動(dòng)，還可以設(shè)置微型探究課題等.設(shè)計(jì)好“課后思考題”，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有重要作用.

課后思考題；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

初中數(shù)學(xué)“課后思考題”是教師在課堂教學(xué)結(jié)束時(shí)布置的一種特殊作業(yè)，它既與教學(xué)內(nèi)容結(jié)合，又具有一定的數(shù)學(xué)思維價(jià)值，在形式、內(nèi)容等方面也有別于常規(guī)的課后書面作業(yè)，并且學(xué)生也有自主選擇權(quán)．“課后思考題”對(duì)拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有重要意義．

一、設(shè)計(jì)“課后思考題”的原則

1.多樣性與趣味性相結(jié)合

“課后思考題”的教學(xué)目標(biāo)不囿于教學(xué)內(nèi)容的完成度，而常常從學(xué)生的探索精神、求知欲望、研究興趣、課外實(shí)踐等出發(fā)，內(nèi)容組織多元、形式多樣．因此設(shè)計(jì)“課后思考題”需要將多樣性與趣味性結(jié)合起來(lái)，積極面向?qū)W生豐富的生活世界，使得設(shè)計(jì)的“課后思考題”富有趣味性，或內(nèi)容新穎，或懸念疊生，以激發(fā)學(xué)生求知、求解的熱情．

2.適切性與挑戰(zhàn)性相結(jié)合

要從學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平出發(fā)，設(shè)計(jì)難度適宜、內(nèi)容適當(dāng)?shù)摹罢n后思考題”，同時(shí)，要兼顧適切性與挑戰(zhàn)性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的思維價(jià)值，置學(xué)生于“跳一跳，夠得著”的境地，培養(yǎng)學(xué)生不怕困難、勇攀高峰的勇氣和毅力，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的同步增長(zhǎng)．

3.差異性與獨(dú)特性相結(jié)合

設(shè)計(jì)的“課后思考題”要關(guān)注學(xué)生的差異，關(guān)注學(xué)生之間不同的解題路徑和方法，以及不同層次的獨(dú)特結(jié)果，以體現(xiàn)個(gè)性化的學(xué)習(xí)方式，使差異性與獨(dú)特性結(jié)合起來(lái).同時(shí)要倡導(dǎo)合作探究，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效能．

二、設(shè)計(jì)“課后思考題”的策略和方法

在初中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)中，出現(xiàn)了許多精彩的“課后思考題”，下面以江蘇省南京市正在使用的蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）中的教學(xué)內(nèi)容為例，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)中設(shè)置“課后思考題”的策略和方法．

1.挖掘內(nèi)涵，延伸拓展

教師在設(shè)計(jì)“課后思考題”時(shí)，可以從學(xué)生實(shí)際的知識(shí)水平、認(rèn)知能力出發(fā)，以問(wèn)題或探究課題的形式適度延伸，拓展數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，挖掘內(nèi)涵，以幫助學(xué)生深化對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握．

例1 你能用直尺和圓規(guī)作一個(gè)菱形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．

這是“9.4矩形、菱形、正方形（四）”（教材八年級(jí)下冊(cè)）的課后思考題，延伸拓展了教學(xué)內(nèi)容，實(shí)際上是將菱形拆解成了兩個(gè)全等的等腰三角形，用圓規(guī)和直尺作出底邊重合的兩個(gè)全等的等腰三角形，這是菱形判定定理的拓展，學(xué)生探索這個(gè)全新的操作課題，提升了認(rèn)知水平，可以有效激發(fā)學(xué)生的探究興趣．

例2 如圖1，在一條筆直的公路上有三個(gè)小鎮(zhèn)A，B，C，甲車從點(diǎn)A出發(fā)勻速開往點(diǎn)C，乙車從點(diǎn)B出發(fā)勻速開往點(diǎn)A．現(xiàn)兩車同時(shí)出發(fā)，當(dāng)甲車到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，乙車離點(diǎn)A還有40 km；當(dāng)乙車到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，甲車到達(dá)點(diǎn)C.已知BC=50 km，求A，B兩鎮(zhèn)的距離．

圖1

這是“4.3用一元一次方程解決問(wèn)題（四）”（教材七年級(jí)上冊(cè)）的課后思考題，延伸拓展了解決問(wèn)題的方法，因?yàn)樵谛谐虇?wèn)題中，通常根據(jù)行程、速度、時(shí)間的某一個(gè)量來(lái)尋找相等關(guān)系，而此題則需要根據(jù)行程、速度、時(shí)間中兩個(gè)量的關(guān)系來(lái)列出方程，這是解決這類問(wèn)題的一種新方法．

2.適當(dāng)遷移，應(yīng)用提高

這類“課后思考題”主要涉及數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的遷移和應(yīng)用，包括用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，設(shè)置遷移應(yīng)用類型的“課后思考題”不僅可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和水平，還能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．

例3 設(shè)直線l1是一次函數(shù)y＝2x－4的圖象，將直線l1繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到直線l2，求l2表示的一次函數(shù)的關(guān)系式．

這是“6.3一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（二）”（教材八年級(jí)上冊(cè)）的課后思考題，實(shí)際上是將研究一次函數(shù)的方法進(jìn)行了遷移，也就是將一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)后再研究所得圖象的一次函數(shù)關(guān)系式.這里涉及如何將一次函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，便可利用直線上兩點(diǎn)求一次函數(shù)關(guān)系式，于是問(wèn)題迎刃而解．

例4 某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)，經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分）之間的關(guān)系如折線圖如圖2所示.

圖2

根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題.

（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少？

（2）已知洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升．

①求排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式；

②如果排水時(shí)間為2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量．

此題是“6.4用一次函數(shù)解決問(wèn)題（三）”（教材八年級(jí)上冊(cè)）的課后思考題，取之于生活素材，以洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí)的進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過(guò)程為載體，呈現(xiàn)了一個(gè)具有相當(dāng)梯度和難度的問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上可以不通過(guò)待定系數(shù)法來(lái)求解函數(shù)關(guān)系式，而直接利用變化率求解，即利用洗衣機(jī)的排水速度求出y＝40－19（x－15）．此題作為課后思考題是解決問(wèn)題的方法遷移，能有效幫助學(xué)生深度認(rèn)識(shí)變化率k．

3.操作實(shí)踐，深化體驗(yàn)

在“課后思考題”設(shè)置一些數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)中加深對(duì)知識(shí)、方法的理解和感悟，以便深化認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維．

例5 分小組制作上學(xué)路線圖：各小組可以分別進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，選用合適的比例尺，通過(guò)計(jì)算，畫出上學(xué)路線圖，要求標(biāo)出上學(xué)路旁邊的主要建筑物．

這是“6.1圖上距離與實(shí)際距離”（教材九年級(jí)下冊(cè)）的課后思考題，可以要求學(xué)生分小組制作上學(xué)路線圖，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖上距離與實(shí)際距離之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系．在活動(dòng)前，可以先分好小組，選擇小組中學(xué)生上學(xué)路線較短的一條來(lái)制作上學(xué)路線圖，通過(guò)實(shí)地測(cè)量、記錄和計(jì)算，將實(shí)際距離轉(zhuǎn)化為圖上距離．

4.質(zhì)疑糾錯(cuò)，積累經(jīng)驗(yàn)

利用學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中的常見(jiàn)錯(cuò)誤設(shè)置“課后思考題”，能引起學(xué)生的質(zhì)疑和反思，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，這些“常見(jiàn)錯(cuò)誤”是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要資源．

例6 已知函數(shù)y1與y2分別由表1、表2給出，有學(xué)生認(rèn)為滿足y1＞y2的x的值是5．你認(rèn)為正確嗎？

表1

表2

本例是“6.1函數(shù)（二）”（教材八年級(jí)上冊(cè)）的課后思考題，來(lái)自于學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)這部分內(nèi)容時(shí)最常見(jiàn)的錯(cuò)誤，也就是忽視了函數(shù)中x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系的考量．通過(guò)學(xué)生課后思考，可以使學(xué)生進(jìn)一步理解和認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念

例7 下列運(yùn)算正確嗎？為什么？

本例是“12.3二次根式的加減（一）”（教材八年級(jí)下冊(cè)）的課后思考題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤，通過(guò)學(xué)生的質(zhì)疑和糾錯(cuò)，可以使學(xué)生進(jìn)一步理解二次根式運(yùn)算的算理，逐步減少和杜絕這些錯(cuò)誤的產(chǎn)生.

5.查閱資料，豐富認(rèn)識(shí)

教師通過(guò)布置這類思考題，使學(xué)生利用課余時(shí)間查閱各種書刊，或網(wǎng)上查閱，自己尋找資料解決“課后思考題”，這有助于拓展學(xué)生視野，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究問(wèn)題的方式．

例8 無(wú)理數(shù)無(wú)理嗎？無(wú)理數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有用嗎？

這是“2.2有理數(shù)與無(wú)理數(shù)”（教材七年級(jí)上冊(cè)）的課后思考題，完成這道思考題，學(xué)生必須在各種書刊和網(wǎng)上查閱資料.在解決這道思考題的過(guò)程中，學(xué)生可以進(jìn)一步了解數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)現(xiàn)實(shí)世界的需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充中的作用，感受數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系．

6.微型課題，感受過(guò)程

微型課題類“課后思考題”就是教師設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)探究性問(wèn)題，要求學(xué)生圍繞這些數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，解決與數(shù)學(xué)或生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問(wèn)題，以發(fā)展解決問(wèn)題的能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

例9 探索特殊四邊形有外接圓的條件.

（1）三角形都有外接圓，正方形、矩形、菱形、等腰梯形有外接圓嗎？如果有，指出外接圓的圓心；如果沒(méi)有，舉出反例．

（2）這些有外接圓的四邊形的對(duì)角有什么關(guān)系？

這是“2.4圓周角（二）”（教材九年級(jí)上冊(cè)）的課后思考題，作為微型課題研究，目的是讓學(xué)生加深對(duì)“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”“圓的對(duì)稱性”及“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，也作為以后學(xué)習(xí)“圓的內(nèi)接四邊形”的內(nèi)容的一個(gè)呼應(yīng)和伏筆.當(dāng)然，這里要防止把這一內(nèi)容挖掘過(guò)深，此題只限于特殊四邊形有外接圓的條件的探索．

例10 如果一個(gè)圖形對(duì)于某一直線翻折后，得到的圖形恰好與原來(lái)的圖形重合（得到的映象恰好等同于原來(lái)的圖形），那么該圖形具有反射對(duì)稱性．反射對(duì)稱也叫直線對(duì)稱，該直線叫做對(duì)稱軸或?qū)ΨQ線．

如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)n°（這里的n°＜360°）后，得到的映象恰好等同于原來(lái)的圖形，那么該圖形具有n°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性．180°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性叫做點(diǎn)對(duì)稱.

例如，正方形有四種反射對(duì)稱性.

如圖3，一個(gè)正方形在旋轉(zhuǎn)0°，90°，180°，270°后，可以與它自己重合，所以一個(gè)正方形有四種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性．

圖3

（1）等邊三角形、等腰三角形、菱形具有多少種反射對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性？

（2）畫一個(gè)圖形，使它具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，但不具有反射對(duì)稱性.

（3）說(shuō)出具有360°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的多邊形的名稱．

（4）對(duì)于一個(gè)三角形來(lái)說(shuō)，能否恰好有一條對(duì)稱線？能否恰好有兩條對(duì)稱線？三條呢？用畫圖來(lái)闡明你的答案．

（5）對(duì)于一個(gè)四邊形來(lái)說(shuō)，能否恰好有一條對(duì)稱線？能否恰好有兩條對(duì)稱線？三條呢？四條呢？用畫圖來(lái)闡明你的答案．

這是“9.1圖形的旋轉(zhuǎn)”（教材八年級(jí)下冊(cè)）的課后思考題，設(shè)計(jì)“微型探究課題”作為課后思考題，就要呈現(xiàn)整個(gè)“具體而微”的研究過(guò)程，既要使學(xué)生經(jīng)歷一些特殊圖形性質(zhì)的漸次探究過(guò)程，又要體現(xiàn)研究問(wèn)題的一般思維過(guò)程，如滲透特殊到一般、合情推理到邏輯推理的過(guò)程．此題可以呈現(xiàn)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)和其他相關(guān)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程．

總之，數(shù)學(xué)“課后思考題”設(shè)計(jì)方法和形式應(yīng)該呈現(xiàn)多樣化的格局，也需要在教學(xué)中進(jìn)一步豐富內(nèi)涵、拓展外延，使之真正成為教學(xué)的有效方式，真正為學(xué)生的發(fā)展服務(wù)．

［1］朱建明．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置延伸拓展材料的思考［J］．中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2008（12）：4-5．

［2］朱建明．高中數(shù)學(xué)微型探究課題的設(shè)計(jì)和思考［J］．教學(xué)與管理，2010（7）：65-66．

［3］邁克爾·塞拉．發(fā)現(xiàn)幾何［M］.李翼忠，譯.北京：人民教育出版社，2000．

［4］中華人民共和國(guó)教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

［5］沈岳夫．以“本”為源巧建模 提煉規(guī)律妙解題：對(duì)一類函數(shù)視角下平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)求解的研究［J］．中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（11）：43-47，64.

2016—09—21

朱建明（1966—），男，教授級(jí)中學(xué)高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)教學(xué)研究．