賞·析·解·思·變
——說題實(shí)踐與收獲

來林芳（浙江省杭州市浦沿中學(xué)）

賞·析·解·思·變
——說題實(shí)踐與收獲

來林芳（浙江省杭州市浦沿中學(xué)）

說題是提高教師業(yè)務(wù)水平的一條有效途徑，以“說題案例分析”的形式，從賞題、析題、解題、思題、變題這幾方面研究入手，立足于課堂教學(xué)的靈活應(yīng)用，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、解題習(xí)慣，切實(shí)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，使數(shù)學(xué)課堂的“輕負(fù)高質(zhì)”得以落到實(shí)處.

數(shù)學(xué)說題；解題能力；教學(xué)啟示

一、引子：說題引起的思考

2015年10月15日，筆者參加了區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)說題比賽.此次說題，從選題之巧、分析之妙、解法之多、變式之活，無一不給筆者留下深刻的印象，給教學(xué)帶來了深刻的啟示.

說題一般包含賞題、析題、解題、思題、變題五個(gè)方面.賞題包含說題目的來源與背景、說題目的內(nèi)涵及功能即所涉及的知識(shí)、技能、思想和方法.析題包含分析題目和分析學(xué)生兩部分.分析題目即分析題目的條件和結(jié)論，如何從條件出發(fā)一步一步與結(jié)論打通或者如何從結(jié)論出發(fā)一步一步與已知打通；分析學(xué)生即分析學(xué)生對(duì)此題已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)、可能會(huì)遇到的困難等.解題即此題的解法，一般含一題多解.思題指說題后的反思和對(duì)今后教學(xué)的一種思考.變題指改變此題的部分條件或結(jié)論，探索舊的結(jié)論是否成立，或者得出新的類似的結(jié)論，或者得出一個(gè)全新的結(jié)論.

二、說題案例分析

下面以2015年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)第23題為例加以說明.

題目如圖1，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點(diǎn)，且DE=CF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點(diǎn)Q，連接DF.

圖1

（1）若E是CD的中點(diǎn).求證：Q為CF的中點(diǎn)；

（2）連接AQ，設(shè)S△CEQ= S1，S△AED=S2，S△EAQ=S3，在（1）的條件下，判斷S1+ S2=S3是否成立？并說明理由.

（一）賞題

1.熟悉——題目來源、背景

此題是2015年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試題.構(gòu)圖背景非常的熟悉，有K字形相似，有源于教材的正方形中常見的全等基本圖形（浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第127頁第4題）.

2.巧妙——題目的設(shè)計(jì)意圖

此題內(nèi)容設(shè)計(jì)上很巧，把正方形中常見的全等基本圖形與K字形相似利用點(diǎn)E有機(jī)結(jié)合，巧而不偏，新而不怪.其次，問題設(shè)計(jì)上也十分巧妙，雖然兩道小題相對(duì)獨(dú)立，但都用到了相似、全等、中點(diǎn)等數(shù)學(xué)知識(shí)，第（1）小題對(duì)第（2）小題有著承上啟下的作用.

3.全面——題目的考查意圖

考查內(nèi)容全面，突出數(shù)學(xué)思想方法.此題涉及相似三角形、正方形、全等、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，涉及內(nèi)容豐富.同時(shí)，考查的思想方法有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等.

（二）析題

千里之行始于足下，任何一次成功解題的第一步都是審題.波利亞在《怎樣解題》中指出，第一步是弄清問題.已知條件是什么？求證是什么？因此，在審題過程中，可以圈出以下幾個(gè)關(guān)鍵詞.

1.條件分析

（1）正方形ABCD，AEHG；

（2）DE=CF；

（3）E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的點(diǎn)；

（4）E是CD的中點(diǎn).

從條件正方形：我們可以聯(lián)想到四條線段都相等、四個(gè)內(nèi)角都相等且為90°，為找相等的邊和角提供了條件.從條件DE=CF：已知不相鄰的兩條線段相等，我們可以想到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊.從條件（3）：這是一個(gè)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題，注意是否存在分類討論.從E是CD的中點(diǎn)：這是一個(gè)倍半關(guān)系.在平面幾何中，中點(diǎn)問題常轉(zhuǎn)化為以下三種方法來解決：其一，中線倍長法，構(gòu)造全等三角形；其二，三角形中位線平行且等于第三邊的一半，梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半；其三，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.只是這個(gè)條件與前面三個(gè)條件不同，只能用于第一個(gè)問題.

2.結(jié)論分析

（1）求證：Q為CF的中點(diǎn)；

（2）判斷S1+S2=S3是否成立.

中點(diǎn)問題分析與前面類似不重復(fù)；判斷S1+S2=S3是否成立：首先，若先看到相似基本圖形，則可以聯(lián)想到相似三角形的面積比等于相似比的平方這一性質(zhì)；其次，看S1，S2，S3是否直接可求；再次，這是一個(gè)三面積之間和差關(guān)系的問題，在平面幾何里常見的方法是截大補(bǔ)小，那么能否截大，將S3截分？能否補(bǔ)小，將S1和S2通過等面積的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到同一面積上？

教學(xué)啟示：在日常教學(xué)中，在審題環(huán)節(jié)，教師要學(xué)會(huì)追第一問：你是怎么想的？要引導(dǎo)學(xué)生弄清已知和求證，學(xué)會(huì)分析條件、結(jié)論各自的作用，并積累一些經(jīng)典條件的用法.例如，中點(diǎn)、兩條線段相加等于第三條線段等；同時(shí)注意標(biāo)圖、圈畫關(guān)鍵詞，培養(yǎng)解題習(xí)慣和分析問題的能力.

3.解法分析

解題思路分析一般有演繹法、分析法和類比法.演繹法是根據(jù)條件所能推出的結(jié)論與要證結(jié)論的關(guān)系，在能夠得出的結(jié)論中選擇可能推出的待證結(jié)論的結(jié)論，再以這些結(jié)論為條件進(jìn)一步推出新的結(jié)論，直至獲得待證結(jié)論的過程.分析法是演繹法的逆推法，是執(zhí)果索因的方法.類比法是通過回顧自己的解題經(jīng)驗(yàn)，尋找待解命題與已解命題的條件、結(jié)論、圖形或關(guān)系的相似性，原解題方法解決新問題的思路.因此，對(duì)于此題，我們可以得到以下大致思路如圖2所示.

圖2

關(guān)于第（1）小題選用了分析法.要證Q為CF的中點(diǎn)，已有E為CD的中點(diǎn)，可見如何證EQ∥DF是該小題的關(guān)鍵.再回頭審視題設(shè)條件，題中有DE=CF和正方形ABCD，根據(jù)這兩個(gè)條件易證得△CFD≌△DEA.于是得到了有關(guān)角與邊的相等關(guān)系，其中有些結(jié)論對(duì)我們進(jìn)一步求解有幫助，我們可以得到∠CDF=∠DAE.進(jìn)而得到AE⊥DF.再根據(jù)題設(shè)中的以AE為邊作正方形AEHG（即AE⊥EH），于是有EQ∥DF，從而我們可以順利地解決第（1）小題.

關(guān)于第（2）小題使用了分析法.要判斷S1+S2=S3是否成立，先看S1，S2，S3所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形，顯然易得S1與S2所對(duì)應(yīng)的△CQE∽△DEA，于是能得到有關(guān)邊的比例關(guān)系，其中對(duì)我們繼續(xù)求解有幫助，由于E是CD的中點(diǎn)，進(jìn)而通過等量代換和變形可得再由∠QEA=∠C，從而可得S1與S3所對(duì)應(yīng)的△CQE∽△EQA.既然S1，S2，S3所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形兩兩相似，那么我們可以得到由勾股定理QE2+AE2=AQ2，可得至此，我們可以圓滿地判斷出這一結(jié)論.

當(dāng)通過以上審題步驟，若還找不到解題思路的時(shí)候，可以進(jìn)行第二步.第二步是擬定計(jì)劃.你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你能不能利用它？如果你不能直接利用它，那么你能不能做適當(dāng)?shù)淖兺ǎ?/p>

關(guān)于第（1）小題類比法：以前沒有見過，但見過條件類似而結(jié)論不同的證明題.題目如下.

如圖3，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點(diǎn)，且DE=CF.求證：AE⊥DF.

圖3

如圖4，已知E是正方形ABCD的邊DC上的點(diǎn)，且滿足AE⊥EQ交CB于點(diǎn)Q.求證：△CQE∽△DEA.

圖4

通過利用這兩個(gè)我們熟悉的結(jié)論，再加上條件E是CD的中點(diǎn)，第（1）小題得證.

第（2）小題類比法：可由相似基本圖形，聯(lián)想到相似三角形面積之比等于相似比的平方.可得由勾股定理QE2+AE2=AQ2，可得從而S1+S2=S3結(jié)果成立.

教學(xué)啟示：對(duì)于復(fù)雜問題，教師要學(xué)會(huì)追第二問：你以前見過類似的問題嗎？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生復(fù)雜問題簡單化處理，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生多積累重要的基本圖形；能分離出熟悉的基本圖形；利用圖形分離法解題；引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、遷移出相同或相似的圖形、背景，積累解題經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（三）解題

解題是波利亞所說的“第三步，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”.根據(jù)上面的解法分析，我們可以得到以下解題方法.

解：（1）因?yàn)檎叫蜛BCD，

所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°.

又因?yàn)镈E=CF，

所以△CFD≌△DEA.

所以∠CDF=∠DAE.

因?yàn)椤螦DF+∠CDF=90°，

所以∠ADF+∠DAE=90°.

所以AE⊥DF.

因?yàn)檎叫蜛EHG，

所以AE⊥EH.

所以EQ∥DF.

因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，

所以Q為CF的中點(diǎn).

解法1：（2）由題意，可證△CQE∽△DEA.

因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，

所以ED=EC.

因?yàn)椤螿EA=∠C，

所以△CQE∽△EQA.

所以S1+S2=S3成立.

（四）思題

思題就是波利亞所說的“第四步，回顧”.這一環(huán)節(jié)很重要也很必要，對(duì)加深理解、鞏固所學(xué)知識(shí)、啟迪繼續(xù)思考有著十分重要的作用.

1.是否可以用其他的方法導(dǎo)出這些結(jié)論

一題多解是數(shù)學(xué)的一大特征，在這個(gè)過程中能體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)簡約性又是數(shù)學(xué)的最大特征.第（2）小題用到兩次相似及相似的性質(zhì)與勾股定理解答，思維不容易形成，有沒有更簡約的方法呢？反思后對(duì)第（2）小題我們還可以有以下解題方法.

解法2：（2）由面積問題想到直接利用面積公式.

設(shè)CQ=a，

則易證S1=a2，S2=4a2，S3=5a2，從而使得命題得證.

解法3：（2）由面積的和、差想到割補(bǔ)法.

割大：如圖5，過點(diǎn)E作EJ⊥AQ，交AQ于點(diǎn)J，通

因?yàn)镼E2+AE2=AQ2，過證△CQE≌△JQE和△AED≌△AEJ，使得命題得證.

圖5

補(bǔ)?。喝鐖D6，延長AD，QE，使其交于點(diǎn)I，轉(zhuǎn)化為證△CQE≌△DIE和△AQE≌△AIE，使得命題得證.

圖6

2.是否具有一般結(jié)論或規(guī)律，使得命題得證

通過研究，還可以挖掘出一般結(jié)論.

（1）當(dāng)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，CQ的長度最大；

（2）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有AE⊥DF；連接HF，四邊形HFDE始終為平行四邊形；G，B，Q三點(diǎn)始終共線等.

教學(xué)啟示：在日常教學(xué)中，教師要學(xué)會(huì)追第三問：還有別的解法嗎？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思.因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門高深的學(xué)科，很多題目的解題過程都不是唯一的，是可以有多種方法來解答的，這時(shí)就需要教師及時(shí)的補(bǔ)上一句：是否還有其他的解法，你是怎么想的？讓學(xué)生不斷地進(jìn)行反思，在反思中將數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)、方法理解透徹，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和發(fā)散性思維.最后教師也要學(xué)會(huì)追第四問：你還有什么問題或發(fā)現(xiàn)？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生提出問題或發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力和歸納問題的能力，進(jìn)而進(jìn)行探究和創(chuàng)新.

（五）變題

變式教學(xué)在我國數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮了很重要的作用.下面從變條件和變結(jié)論兩方面來說一說此題的變式.

1.變條件

（1）改變圖形的形狀.

如圖7，若把正方形ABCD，AEHG變?yōu)榱庑蜛BCD，AEHG，其他條件不變，上述兩道小題的結(jié)論還成立嗎？

圖7

顯然，把正方形ABCD，AEHG變?yōu)榱庑蜛BCD，AEHG后，DF與QE之間不存在必然的平行關(guān)系了，因此第（1）小題結(jié)論不一定成立了.第（2）小題，去除多余的圖形，不難發(fā)現(xiàn)，這也是我們常見的一個(gè)基本圖形（如圖8），利用旋轉(zhuǎn)（如圖9）發(fā)現(xiàn)仍然有S1+S2= S3成立.

圖8

圖9

（2）改變點(diǎn)E的位置.

若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到滿足時(shí)，如圖10，其他條件不變，上述兩道小題的結(jié)論還成立嗎？若不成立，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

圖10

顯然無論點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng)，始終有AE⊥DF，當(dāng)滿足CD時(shí)，則因此，第（1）小題的結(jié)論變成了第（2）小題的結(jié)論，借助于前面的解法，如圖11，我們不難發(fā)現(xiàn)S1+S2=S3已不成立，但S1，S2，S3之間有了新的數(shù)量關(guān)系，即2S3=4S1+S2.

繼續(xù)改變點(diǎn)E的位置，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到滿足CE=時(shí)，則第（1）小題的結(jié)論變成了第（2）小題S1，S2，S3之間新的數(shù)量關(guān)系為（n-1）S3=（n-1）2S1+S2.

圖11

以上幾個(gè)變式雖然從特殊（圖形、位置）發(fā)展到了一般，但用到的知識(shí)點(diǎn)沒有變、解題方法沒有變，因此在沒有增加學(xué)生認(rèn)知負(fù)擔(dān)的同時(shí)又鞏固了解題方法，開拓了思維，一舉多得.

2.變問題

（1）與二次函數(shù)結(jié)合.

若正方形ABCD的邊長為1，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，線段CQ的長度是否具有最大值？

（2）與圓結(jié)合.

當(dāng)點(diǎn)E在直線CD上任意移動(dòng)時(shí)，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，AE與DF交于點(diǎn)P，求BP的最小值.

初中數(shù)學(xué)中最常見的最值一般分為兩類：一類為幾何中的共線型最值；一類為函數(shù)型最值.此處通過變問題，讓學(xué)生體驗(yàn)了這兩類最值，感受數(shù)學(xué)之最.

教學(xué)啟示：在日常教學(xué)中，教師要學(xué)會(huì)變式.通過改變（弱化）條件或結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，幫助學(xué)生克服簡單的機(jī)械重復(fù)，提高解題效率，培養(yǎng)靈活的解題能力和特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

三、說題收獲

俗話說，工欲善其事，必先利其器.說題是一種非常有效的提高教師業(yè)務(wù)水平的途徑，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，可以從賞題、析題、解題、思題、變題這幾方面研究入手，在日常教學(xué)中不斷地積極鉆研教材與學(xué)生，不斷地積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)行有效追問，不斷地從實(shí)踐到認(rèn)識(shí)、再從認(rèn)識(shí)到實(shí)踐，多次反復(fù)，進(jìn)而促使自身發(fā)展.這樣才能更有效地去引導(dǎo)學(xué)生、幫助學(xué)生、培養(yǎng)學(xué)生，真正達(dá)到“輕負(fù)高質(zhì)”這一目標(biāo).

［1］羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論（第2版）［M］．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001．

［2］桂文通．好題多磨，磨出精彩［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（1/2）：114-116．

［3］沈岳夫，張乃池．一道月考試題的解法探析及拓展［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013（5）：27-29.

［4］吳光潮．構(gòu)建“知識(shí)積件模型” 提升合情推理能力［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（1/2）：58-60．

2016—09—14

來林芳（1978—），女，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.