沈岳夫(浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué))
點動圖變思構(gòu)圖 分類探求尋突破
——對一道九年級期末復(fù)習(xí)題的思路突破與感悟
沈岳夫(浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué))
對一道以直角坐標(biāo)系為依托,單動點為背景,融圓于一體的九年級期末復(fù)習(xí)綜合題進(jìn)行了深入的剖析.從它的來源、考查的重點、思路的突破,以及解法進(jìn)行了詳細(xì)的解讀,總結(jié)、挖掘出一個常用的模型法,并進(jìn)行推廣,尋找出其內(nèi)在的聯(lián)系和規(guī)律.
解題教學(xué);思路突破;拓展推廣;教學(xué)啟示
在期末復(fù)習(xí)“圓的基本性質(zhì)”等相關(guān)知識點時,筆者所選用的試卷中有下列一道壓軸題.閱卷時筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生留白,特別是第(3)小題留白現(xiàn)象最為嚴(yán)重,所教的兩個班級中(76名學(xué)生)只有1名學(xué)生做得全對,不少學(xué)生無從下手,原因何在?故此,筆者靜心下來,認(rèn)真思考,如何引導(dǎo)學(xué)生走出解題困境呢?
題目如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點M在x軸的正半軸上,⊙M交x軸于A,B兩點,交y軸于C,D兩點,且C為的中點,連接CE,AE,CB,EB,AE與y軸交于點F,已知A(-2,0),C(0,4).
圖1
(1)求證:AF=CF;
(2)求⊙M的半徑及EB的長;
(3)如圖2,P為x軸下方半圓弧上的一個動點,連接PE交CB于點R,當(dāng)△CRE為等腰三角形時,直接寫出EP的長.
圖2
此題源于2014學(xué)年第一學(xué)期浙江省慈溪市九年級期末考試數(shù)學(xué)試卷中的最后一題,此題是以直角坐標(biāo)系為依托,單動點為背景,融圓于一體的綜合題.從知識層面看,主要全面考查了垂徑定理、勾股定理、等弧、圓周角、弦及其之間的關(guān)系,半徑、弦心距、半弦之間的關(guān)系,全等三角形與相似三角形等知識點,這些知識都是初中數(shù)學(xué)的核心知識.從方法層面看,此題核心的解題方法是在直角坐標(biāo)系下,利用上述基礎(chǔ)知識,借助于轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想、分類思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法來解決有關(guān)問題.從經(jīng)驗層面看,解決此題需要學(xué)生具有一定的基本活動經(jīng)驗.從直角坐標(biāo)系聯(lián)想到∠COB=90°,且由C為的中點聯(lián)想到圓周角、等弦等,進(jìn)而聯(lián)想到半徑、弦心距、半弦之間的基本模型.但第(3)小題難度增大,頗具思維含量.其中題中的條件“當(dāng)△CRE為等腰三角形”怎樣構(gòu)圖是此題的難點,也是解決問題的關(guān)鍵.那么該題如何解?有何規(guī)律?
數(shù)學(xué)家華羅庚談到解題時說過,“退”到最原始的地方去,是解決問題的一個訣竅.最原始的地方,就是題干信息中的關(guān)鍵詞:語句、點、線(段)、位置、運動、形的直觀、數(shù)的直觀、式的特征、形的對稱等.它驅(qū)動著思維的起航,催生著解題思路的自然流淌,詮釋并訴說著解法“是怎樣想到的”.因此,就此題而言,由動點P產(chǎn)生的動線圖形問題,需要分類思考,然后根據(jù)臨界點位置分類畫出符合要求的圖形(最好是分離后的簡化圖形),這將為進(jìn)一步突破思路提供了研究的平臺.
1.重視審題
作為解題的第一個重要環(huán)節(jié),審題往往得不到學(xué)生的充分重視.教師應(yīng)以此為契機(jī),引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到審題的必要性,通過舉例說明兩種常見題型的結(jié)構(gòu)特征,即并列式與遞進(jìn)式(如圖3).
圖3
2.追本溯源
仔細(xì)品味就會發(fā)現(xiàn),構(gòu)成這道試題的基本素材源于浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱“教材”)九年級上冊第3章“圓的基本性質(zhì)”.
(1)(教材第77頁課內(nèi)練習(xí)第1題)已知:如圖4,在⊙O中,AB是⊙O的直徑,OA⊥CD于點P.求證:
圖4
(2)(教材第86頁課內(nèi)練習(xí)第2題)已知:如圖5,在⊙O中,AB=CD.求證:AD=BC.
圖5
(3)(教材第93頁作業(yè)題第4題)已知:如圖6,在⊙O中,AB=CD.求證:∠ABD=∠CDB.
圖6
命題者從教材習(xí)題的圖形出發(fā),抓住核心條件適當(dāng)變式:一是將圖4放到直角坐標(biāo)系中,使顯性條件隱性化;二是將圖5、圖6進(jìn)行有機(jī)融合,將“靜態(tài)”圖形改為“動態(tài)”圖形下“P為x軸下方半圓弧上的一個動點,連接PE交CB于點R,當(dāng)△CRE為等腰三角形時,直接寫出EP的長”的探索題,使問題得以延伸.
3.解法分析
提問1:探究圓中的問題時,方法選擇的順序是什么?
先考慮能否用圓的定理直接解決,再考慮轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決.
提問2:圓中的常用三角形有哪些?
用半徑構(gòu)造的等腰三角形,以半徑(或直徑)構(gòu)造的半徑、弦心距、半弦之間的直角三角形、全等三角形或相似三角形.
提問3:由直角坐標(biāo)系想到什么?C為的中點聯(lián)想到什么?
從直角坐標(biāo)系聯(lián)想到∠COB=90°,聯(lián)想到垂徑定理的基本圖形;由C為的中點聯(lián)想到圓周角、等弦,或垂徑定理的逆定理等.
提問4:遇到動點問題,應(yīng)注意什么?圓問題中求解線段長度問題的常用方法有哪些?
應(yīng)注意分類討論,畫出符合題意的圖形,以幫助分析解題;線段的和差關(guān)系、弧的和差轉(zhuǎn)化為線段的和差關(guān)系、直角三角形的邊角關(guān)系、相似三角形等,或單一使用,或組合使用.
解:(1)略;
(2)如圖7,連接CM交AE于點G.
圖7
設(shè)CM=x,則OM=x-2.
所以在Rt△COM中,求出x=5,
即⊙O的半徑為5.
因為C為的中點,所以CM⊥AE,AG=GE.
易證△AOC≌△CGA.
所以AG=OC=4.
所以AE=8.
進(jìn)而求得BE=6.
(3)當(dāng)RC=RE時,如圖8,此時∠REC=∠RCE,
圖8
所以EP=BC.
當(dāng)CR=CE時,如圖9,此時∠REC=∠ERC,
而∠REC=∠AEC+∠AEP,∠CRE=∠EBR+∠BEP,
圖9
當(dāng)EC=ER時,如圖10,過點E作EH⊥CR交于點H,則易證△CEH∽△ABE.
圖10
所以EP=ER+RP=
綜上分析,滿足條件的EP長為或
【評注】對于第(2)小題應(yīng)首先由C為的中點聯(lián)想到垂徑定理的逆定理,進(jìn)而聯(lián)想到垂徑定理的基本模型,將求BE的長轉(zhuǎn)化為求AE的長,而AE=2AG,然后由第(1)小題的暗示,可證△AOC≌△CGA,但這一點學(xué)生難以察覺,也就是學(xué)生的思維困境所在.對于第(3)小題設(shè)計了相互關(guān)聯(lián)的問題,層次分明,難度增大,學(xué)生應(yīng)對△CRE為等腰三角形進(jìn)行分類討論.當(dāng)RC=RE時,由角相等EP=BC(這種方法筆者稱之為“弧弦和差法”),這是對圖5、圖6的靈活運用;當(dāng)CR=CE時,由角相等→∠REC=∠AEC+∠AEP和∠CRE=∠EBR+∠BEP(這種方法筆者稱之為“底角轉(zhuǎn)化法”,這是圓中證明等腰三角形的一種常用方法,應(yīng)當(dāng)引起重視)→∠AEP=∠BEP→特殊直角三角形,然后計算出線段長;當(dāng)EC=ER時,應(yīng)對題目細(xì)心觀察,先添垂線EH,再由△CEH∽△ABE和“8字型”的△CER∽△PBR(這種方法筆者稱之為“等腰添高相似法”),從而完成從已知向未知的過渡,將分散的條件通過兩次相似等到等量關(guān)系,進(jìn)而解決問題.
4.模型提煉
(1)提煉原題結(jié)論.
通過對CR=CE時的探求,我們進(jìn)一步思考、猜想,可得到如下定理.
定理1:如圖11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,⊙O為Rt△ABC的外接圓,CD平分∠ACB,且交⊙O于點D,則(AC+BC).
圖11
(2)弱化一個條件(即∠ACB≠90°).
把定理1的題設(shè)一般化:如果∠ACB≠90°,其他條件不變,那么AC,BC,CD這三者之間又有著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?通過類比探究得到如下定理.
定理2:如圖12,AC,BC是⊙O的兩條弦,且∠ACB=θ,∠ACB的平分線交⊙O于點D,則AC+BC=
圖12
證明:如圖12,連接AD,BD,過點D作∠ACB兩邊的垂線DE和DF,垂足分別是點E,F(xiàn).
可證Rt△ADE≌Rt△BDF.
得AE=BF.
則AC+BC=AC+CF+BF=AC+CF+AE=CE+ CF=2CE.
在Rt△CDE中,因為cos∠DCE=
所以CE=CDcos∠DCE,
【設(shè)計意圖】通過對定理1、定理2的探究,揭示了命題中條件與隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系,為尋求解題途徑指明了方向,使問題的解法簡單流暢、別具一格,達(dá)到了化繁為簡、化難為易的目的,而且還可以開拓學(xué)生的思路、提高解題能力,對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)也大有裨益.
5.鞏固提升
1.如圖13,AB為⊙O的一固定直徑,它把⊙O分成上、下兩個半圓,過上半圓上一點C作弦CD⊥AB,∠OCD的平分線交⊙O于點P,當(dāng)點C在上半圓(不包括A,B兩點)上移動時,點P( ).
圖13
(A)到CD的距離保持不變
(B)位置不變
(D)隨點C的移動而移動
2.如圖14,⊙O過四邊形ABCD的四個頂點,已知∠ABC=90°,BD平分∠ABC,則:①AD=CD;②AB2+BC2=2CD2;③點O是∠ADC平分線上的點;④上述結(jié)論中正確的個數(shù)為( ).
圖14
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
3.如圖15,半徑為5的⊙O中,直徑AB的不同側(cè)有定點C和動點P,已知BC∶CA=4∶3,點P在上運動,過點C作CP的垂線,與PB的延長線交于點Q.
圖15
(1)當(dāng)點P與點C關(guān)于AB對稱時,求CQ的長;
(2)當(dāng)點P運動到什么位置時,CQ取到最大值?求此時CQ的長;
(3)當(dāng)點P運動到的中點時,求CQ的長.
4.如圖16,在半徑為5的⊙O中,弦AB=8,P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點,連接AP,過點A作AP的垂線交射線PB于點C,當(dāng)△PAB是等腰三角形時,線段BC的長為____________
.
圖16
5.如圖17,已知AB是⊙O的直徑,AB=8,點C在半徑OA上(點C與點O,A不重合),過點C作AB的垂線交⊙O于點D,連接OD,過點B作OD的平行線交⊙O于點E、交射線CD于點F.
圖17
(2)設(shè)線段OC=a,求線段BE和EF的長(用含a的代數(shù)式表示);
(3)設(shè)點C關(guān)于直線OD的對稱點為點P,若△PBE為等腰三角形,求OC的長.
【設(shè)計意圖】設(shè)置5道鞏固提升題,鞏固深化對試題講評的效果檢驗,前3道題側(cè)重于角平分線的訓(xùn)練,后2道題側(cè)重于動態(tài)分類討論的鞏固.目的在于學(xué)以致用,以滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,力求使不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.
1.關(guān)注思想方法,為學(xué)生提升素養(yǎng)蓄勢儲能
數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是數(shù)學(xué)思想方法的滲透.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提醒我們:數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括.知識是能力的基礎(chǔ),能力是知識的升華,思想方法則是其靈魂.解決問題是對知識的運用,是學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累,是獲得能力的途徑.在解決問題的過程中,尤其要注重對數(shù)學(xué)思想方法的滲透與提煉.例如,分類討論思想(如CR=CE或CR=CE或EC=ER進(jìn)行分類)和轉(zhuǎn)化思想(如構(gòu)造出Rt△COM或Rt△CEH等).除此以外,還需要用到數(shù)形結(jié)合、方程等思想方法.只有這樣,才能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力,才能發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力,數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓,它蘊含于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程之中.
2.立足構(gòu)造圖形,為學(xué)生分解難點鋪路搭橋
解題難點是因人而異的,或源于解題者的知識漏洞,或源于發(fā)現(xiàn)不了隱含條件,或源于顧此失彼,等等.壓軸題的區(qū)分功能意味著不同水平的學(xué)生都有得分空間.不強(qiáng)求全對,但要盡力,“分步、采點”不失為一種得分策略.利用圖形思考、探究,有利于學(xué)生找到適合自己的解題方式.此題在探求△CRE為等腰三角形時特別注重了該方面的考查,尤其是第(3)小題根據(jù)動線PE,分類畫出符合要求的圖形(最好是分離后的簡化圖形,如圖8~10),再細(xì)心觀察,若能發(fā)現(xiàn)隱含信息,如∠REC=∠AEC+∠AEP和∠CRE=∠EBR+∠BEP,則能找到問題解決的突破口.上述當(dāng)CR=CE或EC=ER時,若不借助圖形的觀察、分析是難以發(fā)現(xiàn)的.可見,有效構(gòu)圖,能使條件整合,能給予解題導(dǎo)向,能作為解題的監(jiān)控工具,能為不同水平的學(xué)生各盡所能提供有利的條件.
3.重視變式訓(xùn)練,為學(xué)生思維升華拓展空間
著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說過,一個問題的解決意味著一系列新的問題的誕生.當(dāng)我們解題成功時,不要忘記提出新的問題,因為還有許多寶藏尚未開發(fā)出來.教師解題不能局限于低效的就題論題的解題習(xí)慣,教師若能深入領(lǐng)悟典型題目的編寫意圖,進(jìn)行“一題多法的探索,一題多問的發(fā)散,一題多變的嘗試,多題歸一的收斂,多題歸一的提煉”的二度開發(fā),這本身就是對解法之間的聯(lián)系、解題方法的本質(zhì)的深度挖掘,努力追溯問題背景及一般的結(jié)論(如上述提煉結(jié)論中的定理1和定理2等),臻于知其然的化境.經(jīng)過這樣的解題挖掘,解題內(nèi)容就變得更豐富,習(xí)題形式變得更靈活,從而最大限度地彰顯習(xí)題的價值,使習(xí)題教學(xué)從淺層走向深層、從單一走向多樣;文中隨著“鞏固提升題”的逐一呈現(xiàn),能夠使學(xué)生懂其原理,知其方法,通其變化,這樣學(xué)生在不知不覺中既解決了問題,又獲得了方法,也提高了數(shù)學(xué)思維能力,讓學(xué)生的解題學(xué)習(xí)由懂到會、由會到熟悉、由熟悉到巧.
[1]王靜.一則教學(xué)片斷的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬),2014(9):33-34.
[2]桂文通.回歸課本 提煉模型 推廣命題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(初中版),2014(12):41-43.
[3]沈岳夫.以“本”為源巧建模 提煉規(guī)律妙解題:對一類函數(shù)視角下平行四邊形頂點坐標(biāo)求解的研究[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2014(11):43-47,64.
2016—09—14
沈岳夫(1963—),男,中學(xué)高級教師,主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和解題研究.