對(duì)一道程序框圖題的解法探究
——程序框圖題下的“蛛網(wǎng)模型”

段廣猛（江蘇省高郵市贊化學(xué)校）

對(duì)一道程序框圖題的解法探究
——程序框圖題下的“蛛網(wǎng)模型”

段廣猛（江蘇省高郵市贊化學(xué)校）

通過對(duì)一道程序框圖題的探究，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合蛛網(wǎng)模型，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)解題的魅力所在，在學(xué)生的心靈深處埋下一顆經(jīng)濟(jì)學(xué)的種子.提升學(xué)生的解題技能、創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用能力、探索精神，為課堂上的解題教學(xué)提供一個(gè)新的方向.

程序框圖題；蛛網(wǎng)模型；數(shù)形結(jié)合；死循環(huán)

程序框圖題是近年來興起并日益廣受歡迎的一類試題，它的特點(diǎn)是靈活多變，考查知識(shí)點(diǎn)豐富多彩.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，計(jì)算機(jī)及信息技術(shù)也是廣為流傳，而這類習(xí)題也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)編程技術(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).或許正是由于這些原因，程序框圖題也越來越受到出題者的喜愛，成為考查學(xué)生基礎(chǔ)與能力的一個(gè)重要載體.下面即是筆者所在學(xué)校七年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)第二次月度質(zhì)量調(diào)研中有關(guān)程序框圖的一道試題.

一、原題重現(xiàn)

題目如圖1，是一個(gè)運(yùn)算流程．

圖1

（1）分別計(jì)算：當(dāng)x＝140時(shí)，輸出值為_______，當(dāng)x＝30時(shí)，輸出值為_______；

（2）若需要經(jīng)過兩次運(yùn)算，才能計(jì)算出y，求x的取值范圍；

（3）試給出一個(gè)x的值，使之無論運(yùn)算多少次都不能輸出（直接寫出一個(gè)數(shù)即可）．

二、解法初探

此題中程序框圖是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)上一次的運(yùn)算結(jié)果小于365時(shí)，程序會(huì)進(jìn)入下一次運(yùn)算，并且上一次的運(yùn)算結(jié)果會(huì)自動(dòng)成為下一次的輸入值，直至運(yùn)算結(jié)果不小于365，才會(huì)輸出.當(dāng)然這個(gè)程序也有可能會(huì)進(jìn)入“死循環(huán)”，即運(yùn)算結(jié)果永遠(yuǎn)都會(huì)小于365，因而才有了第（3）小題.針對(duì)第（3）小題，學(xué)校七年級(jí)數(shù)學(xué)備課組的部分教師也展開過激烈的探討.

師1：只要滿足3x-1＜0即可！

通過后面的圖象解法，這種方法顯然是片面的．

師2：應(yīng)該滿足第一個(gè)式子保證第一次不輸出，第二個(gè)式子保證第二次的運(yùn)算結(jié)果不大于第一次的運(yùn)算結(jié)果！

師3：其實(shí)只要滿足即可！

……

師2與師3解得的答案是沒有問題的，但在數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性上還存在一定的疑問！筆者經(jīng)過反思思考，認(rèn)為這種方法應(yīng)該還需要結(jié)合“遞推公式”或者“數(shù)學(xué)歸納法”才能更加嚴(yán)謹(jǐn).不妨記第n次的運(yùn)算結(jié)果為則(n=1，2，利用數(shù)學(xué)歸納法容易得出與師2或師3相同的結(jié)果．但這種解法涉及高中數(shù)學(xué)知識(shí)，那么能否利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)解決這個(gè)問題呢？有沒有更形象、更具體的解題方法呢？筆者經(jīng)過嘗試，將一些感悟做如下分享.

三、圖象解法

此題中程序框圖的運(yùn)算其實(shí)對(duì)應(yīng)的就是代數(shù)式3x-1，或者理解為一次函數(shù)y=3x-1，筆者突發(fā)奇想，試著通過圖象法來解決這個(gè)問題.

如圖2，先作出y=3x-1以及y=x的圖象，記它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP=0.5.不妨記第n次的輸入值為xn(n=1，2，3，…)，相應(yīng)的第n次運(yùn)算結(jié)果為yn(n=1，2，3，…)，即yn=3xn-1(n=1，2，3，…)，運(yùn)算直至yn≥365，程序停止運(yùn)行，輸出最終結(jié)果；或者yn＜365，程序進(jìn)入“死循環(huán)”，始終輸不出結(jié)果.由圖象顯知，當(dāng)x1=xP=0.5時(shí)，總是有yn=yP=0.5(n=1，2，3，…)；當(dāng)x1＞xP時(shí)，yn(n=1，2，3，…)會(huì)逐漸遞增，直至yn≥365輸出最終結(jié)果；當(dāng)x1＜xP時(shí)，yn(n=1，2，3，…)會(huì)逐漸遞減，導(dǎo)致yn恒小于365，程序進(jìn)入“死循環(huán)”，始終輸不出結(jié)果.綜上所述，當(dāng)x≤xP，即x≤0.5時(shí)，此程序無論運(yùn)算多少次都不能輸出.

圖2

四、參數(shù)調(diào)節(jié)

圖3

圖4

筆者還探究了對(duì)應(yīng)一次函數(shù)k=1時(shí)的兩種情況，如圖5所示.

圖5

而對(duì)于k＜0的情形，依照此法，可以同理探究，譬如當(dāng)k=-1時(shí)，結(jié)果如圖6所示.

圖6

五、蛛網(wǎng)理論

以上的探究過程其實(shí)就是經(jīng)濟(jì)學(xué)中所謂的“蛛網(wǎng)模型”.“蛛網(wǎng)模型”是1934年由英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家卡爾多命名，是用彈性理論考察價(jià)格波動(dòng)對(duì)下一周期生產(chǎn)的影響及由此產(chǎn)生的均衡變動(dòng)的理論.按照這種理論繪制出來的供求曲線圖，形狀近似蛛網(wǎng).這個(gè)理論之所以在20世紀(jì)30年代盛行，與上世紀(jì)30年代的大危機(jī)相關(guān).大危機(jī)使經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了劇烈波動(dòng)，通過自由競(jìng)爭(zhēng)自行調(diào)節(jié)和維持均衡的理論，已不能解釋現(xiàn)實(shí)問題.蛛網(wǎng)理論就是在這種背景下提出來用以解釋價(jià)格的劇烈波動(dòng)及其所產(chǎn)生的影響.蛛網(wǎng)模型可以分為三種不同的類型：收斂型蛛網(wǎng)、發(fā)散型蛛網(wǎng)以及循環(huán)型蛛網(wǎng).上面探討的幾種結(jié)果其實(shí)就對(duì)應(yīng)著這幾種類型的蛛網(wǎng)模型.

六、函數(shù)探討

初中階段主要學(xué)習(xí)三大函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù).當(dāng)此程序框圖的運(yùn)算對(duì)應(yīng)的是反比例函數(shù)或者二次函數(shù)，又會(huì)有怎樣的結(jié)果呢？筆者對(duì)此，做了進(jìn)一步的探究，現(xiàn)將結(jié)果呈現(xiàn)如下：當(dāng)程序運(yùn)算對(duì)應(yīng)的是反比例函數(shù)時(shí)，無論輸入何值，結(jié)果都會(huì)與圖6類似，進(jìn)入一個(gè)“環(huán)形式”的死循環(huán)，即對(duì)應(yīng)循環(huán)型蛛網(wǎng)，如圖7所示.

圖7

而當(dāng)程序運(yùn)算對(duì)應(yīng)的是二次函數(shù)時(shí)，結(jié)果最為復(fù)雜，這里二次函數(shù)取y=x2-2.筆者首先針對(duì)可能出現(xiàn)的如圖6及圖7所示的循環(huán)型蛛網(wǎng)結(jié)果做了理論上的分析，如圖8所示.

圖8

設(shè)A(x，x2-2)，

則B(x2-2，x2-2)，C(x2-2，(x2-2)2-2)，

D((x2-2)2-2，(x2-2)2-2).

令(x2-2)2-2=x，

則x4-4x2-x+2=0,

即(x-2)(x3+2x2-1)=0，(x-2)(x+1)(x2+x-1)=0.

即當(dāng)點(diǎn)A橫坐標(biāo)取以上四個(gè)值時(shí)，此程序會(huì)進(jìn)入“死循環(huán)”.事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)A橫坐標(biāo)取以上四個(gè)值的相反數(shù)時(shí)，程序也會(huì)進(jìn)入“死循環(huán)”，這一點(diǎn)可以通過二次函數(shù)圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱性看出.圖9給出了幾種“死循環(huán)”的結(jié)果(xA=2或-1的情況未作)，形象地說，當(dāng)取xA這四個(gè)臨界值或者其相反數(shù)時(shí)，該程序會(huì)“收斂”到某個(gè)點(diǎn)處或某個(gè)“環(huán)”上，從而進(jìn)入死循環(huán).

圖9

事實(shí)上，只要當(dāng)程序運(yùn)行到這些點(diǎn)處或者“環(huán)”上，程序就會(huì)進(jìn)入“死循環(huán)”.例如，圖10給出了當(dāng)xA=0時(shí)的結(jié)果.

圖10

當(dāng)xA＜-2或者xA＞2時(shí)，結(jié)果如圖11所示，程序會(huì)“發(fā)散到正無窮遠(yuǎn)處”.事實(shí)上，還有一種情形，程序也會(huì)“發(fā)散到正無窮遠(yuǎn)處”，如圖12所示，此時(shí)二次函數(shù)取y=x2-4.

圖11

圖12

當(dāng)-2＜xA＜2且xA不等于以上幾個(gè)臨界值時(shí)，結(jié)果是最復(fù)雜的，圖13給出了兩種情形.

圖13

七、反思與展望

圖11中的結(jié)果最終能否“收斂”到某個(gè)點(diǎn)處或某個(gè)“環(huán)”上呢？這值得我們進(jìn)一步地研究.此外，關(guān)于這里的動(dòng)態(tài)結(jié)果能否經(jīng)過理論分析來解釋，也值得我們?nèi)ヌ剿?而這些反思與展望也正是數(shù)學(xué)的無窮魅力所在！這道程序框圖題背景下的“蛛網(wǎng)模型”，既能激發(fā)學(xué)生今后學(xué)習(xí)編程的興趣，又能為學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)埋下一顆希望的種子，實(shí)屬難能可貴！而這也符合我們?yōu)槿藥煹某踔裕航虝?，播下種子，等待花開爛漫，碩果累累！

入職恰逢一年，本文的探究過程讓筆者仿佛又回到了讀研期間那孜孜不倦地努力探索之路上.而這種執(zhí)著的探索精神應(yīng)該也正是我們培養(yǎng)和傳遞給學(xué)生的一種最重要的品質(zhì).前輩們?cè)谇把責(zé)o悔地探索，后輩們?cè)诤蠓讲煌５亟影?，相信我們的研究之路?huì)走得很長很長！

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.

［3］卞少云．關(guān)于數(shù)學(xué)問題評(píng)析有效性的思考［J］.中國數(shù)學(xué)數(shù)育（初中版），2015（9）：41-44.

2016—09—10

段廣猛（1989—），男，新聘教師，理學(xué)碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)教學(xué)研究.