借“元”輔助 柳暗花明

魏大付（安徽省合肥市第四十八中學(xué)）

借“元”輔助 柳暗花明

魏大付（安徽省合肥市第四十八中學(xué)）

對于某些比較難以上手的應(yīng)用題，適當(dāng)?shù)脑鲈O(shè)輔助“元”，根據(jù)題意翻譯出含輔助元的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程（組）或不等式（組）等，輔助“元”幫忙，題中數(shù)量關(guān)系明朗，再結(jié)合整體思想、消元策略等即可化繁為簡、化難為易.此時，解題思路更加清晰、順暢，真的簡簡單單、自自然然.

借“元”輔助；構(gòu)建方程；數(shù)量關(guān)系；解題思路

一、原題呈現(xiàn)

題目（2015年安徽卷）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80 m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖1所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．

圖1

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

該題以圖形的面積最值為立意，凸顯“函數(shù)模型思想”，重在考查學(xué)生獨(dú)立思考問題，分析問題，進(jìn)而解決問題的能力.試題素材源于教材（滬科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊“21.1二次函數(shù)”問題1），高于教材，體現(xiàn)了以本為本、以生為本的理念.內(nèi)容樸實(shí)，為學(xué)生所熟悉，看到此題，學(xué)生第一反應(yīng)就是自己見過，教師講過，緊繃的那根弦就放松很多，于是就“躍躍欲試”的興奮，感覺“果實(shí)”就在自己的頭頂上，伸手就能摘到.可當(dāng)真正下手解題時，陌生感又隨之而來.

該題的出現(xiàn)，讓許多教師眼睛一亮，認(rèn)為試題源于教材，學(xué)生一定能尋找到解決問題的策略與方法.可是，考試結(jié)束后，不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己對此題缺少深度的認(rèn)識，缺少細(xì)節(jié)的探究，沒有完成此題的解答.但筆者所授課班級的一名中等生興奮地說：老師，我按你教的，順其自然，不知道就找字母（輔助元）幫忙，很快就解出來了，真高興！筆者聽了，也很高興，因?yàn)閷W(xué)生領(lǐng)悟了教師所教的解決應(yīng)用題的策略，自自然然解題……真是“借‘元’輔助，柳暗花明”.

這里的自自然然解題就是指借“元”解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，借“元”的策略非常簡單，就是“逢山開路，遇水搭橋”，這個“橋”，這個“路”就是“元（字母）”.“元”幫忙，題中數(shù)量關(guān)系明朗，依據(jù)題意翻譯出含輔助元的數(shù)量關(guān)系，建立方程（組）或不等式（組）等，在求解的過程中，輔助“元”可以整體求出或者在寫出結(jié)果時可消去，思路清晰……真的簡簡單單、自自然然.

二、解法探究

下面分析2015年安徽卷第22題的解題思路.

該題線段較多，直接寫出矩形區(qū)域ABCD的面積y與線段BC的長度x之間的關(guān)系，真的不好入手，此時只要想到矩形的面積等于長×寬，已知一邊，還少一邊，怎么辦？很好辦，找字母（輔助元）幫忙.設(shè)BE=a，根據(jù)三個矩形面積相等，可得出AE=2BE=2a，進(jìn)而可得方程組消去字母a便得出y與x的關(guān)系式，并求出x的取值范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時x的值即可．

三、解法應(yīng)用

下面再擷取兩例依據(jù)題意構(gòu)造方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型的實(shí)例來解讀這個策略與大家共享.

例1（2015年福建·漳州卷）國慶期間，為了滿足百姓的消費(fèi)需求，某商店計劃用170 000元購進(jìn)一批家電，這批家電的進(jìn)價和售價如表1所示.

表1

若在現(xiàn)有資金允許的范圍內(nèi)，購買表中三類家電共100臺，其中彩電臺數(shù)是冰箱臺數(shù)的2倍，購買洗衣機(jī)多少臺時，能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大？最大利潤為多少？

此題涉及量較多，直接列函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求解不容易.設(shè)購買冰箱a臺，彩電b臺，洗衣機(jī)x臺，商家獲得的利潤為y元.彩電臺數(shù)是冰箱臺數(shù)的2倍，所以b= 2a.由購買表中三類家電共100臺，易知x+a+b= 100，x=100-a-b=100-3a.又由利潤y=（2 300-2 000）a+（1 800-1 600）b+（1 100-1 000）x=300a+ 200b+100x=300a+200×2a+100（100-3a）= 10 000+400a，然后借助一次函數(shù)的增減性易得出答案.

例2（2015年浙江·義烏卷）某校規(guī)劃在一塊長AD為18 m，寬AB為13 m的長方形場地ABCD上，設(shè)計分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮．如圖2，若設(shè)計三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN=8∶9，問通道的寬是多少？

圖2

利用AM∶AN=8∶9，設(shè)通道的寬為xm，AM=8ym，則AN=9y.進(jìn)而利用AD為18 m，寬AB為13 m，得出方程組消去y，求出x即可.

解數(shù)學(xué)題時，常會遇到一些比較難以上手的應(yīng)用題，似乎問題解決到了“山窮水盡”的地步，此時，若適當(dāng)?shù)脑鲈O(shè)“元”，根據(jù)題意翻譯出含輔助元的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程（組）或不等式（組）等，輔助“元”幫忙，題中數(shù)量關(guān)系明朗，隱性條件顯性化，解題思路優(yōu)化，產(chǎn)生了意想不到的效果，給人一種“柳暗花明”的感覺.借助輔助“元”解題是一種“手段”，有助于開闊解題思路，有助于數(shù)學(xué)思維能力的升華.由此可見，在教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維方法，能使他們不受固定模式的束縛，學(xué)會改變思維角度，發(fā)現(xiàn)解決問題的新方法，實(shí)現(xiàn)思維創(chuàng)新，突破思維定勢的束縛.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］羅增儒.數(shù)學(xué)解題教學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

［4］李培華.妙用“設(shè)而不求”法巧解五則應(yīng)用題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（2）：45.

［5］鄔云德.寓“過程教育”于“認(rèn)識不等式”教學(xué)探索及反思［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（1/2）：68-70.

［6］孫慶民，于彬.基于“導(dǎo)學(xué)·反思”教學(xué)法的教學(xué)案例及幾點(diǎn)思考：以“平行四邊形的性質(zhì)（第一課時）”為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（6）：46-49.

2016—08—24

魏大付（1970—），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)及試題編制與解題研究.