等腰三角

孫衛(wèi)等腰三角形是最常見(jiàn)的幾何圖形，有著許多特殊性質(zhì)，在中考試題中應(yīng)用比較廣泛. 有些問(wèn)題中即使并不存在明顯的等腰三角形，我們經(jīng)過(guò)運(yùn)用角平分線、垂線、平行線、倍角等知識(shí)構(gòu)建等腰三角形，都可順利求得相關(guān)結(jié)論.模型構(gòu)建模型一 ?角平分線 + ?平行線如圖1①，若AD平分∠BAC，AD[?]EC，則△ACE是等腰三角形；如圖1②，AD平分∠BAC，DE[?]AC，則△ADE是等腰三角形；如圖1③，AD平分∠BAC，CE[?]AB，則△ACE是等腰三角形；如圖1④，

文／安娜等腰三角形是特殊的三角形，它有很多特有的性質(zhì)。在解決與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們常會(huì)遇到需要分類(lèi)討論的情況，現(xiàn)歸納幾類(lèi)，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。一、遇腰和底邊（頂角和底角）例1已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______?！惧e(cuò)解】三邊長(zhǎng)分別為3、3、5，周長(zhǎng)為11?！痉治觥繉?duì)于長(zhǎng)為3 的邊長(zhǎng)，要分腰和底兩種情況討論，同時(shí)注意驗(yàn)證三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊?！菊狻慨?dāng)腰長(zhǎng)是3 時(shí)，三邊長(zhǎng)為3、3、5，周長(zhǎng)為11；

方法.在求解等腰三角形問(wèn)題時(shí)，常常由于已知條件的不確定性，需要通過(guò)分類(lèi)討論來(lái)解答.對(duì)此，筆者就解答等腰三角形問(wèn)題時(shí)需分類(lèi)討論的幾種情形進(jìn)行了分析說(shuō)明.一、頂角與底角不確定在等腰三角形問(wèn)題中，若已知條件中沒(méi)有對(duì)頂角或底角做出明確的說(shuō)明，此時(shí)需要就這個(gè)已知角是頂角還是底角進(jìn)行分類(lèi)討論，否則會(huì)出現(xiàn)漏解.例1若等腰三角形中有一個(gè)內(nèi)角等于40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是（ ）.A.100° B.70° C.40° D.40°或100°分析：對(duì)于此題，很多同學(xué)容易

已知a，b是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且a，b滿(mǎn)足[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（ ）.A. 8 B. 6或8 C. 7 D. 7或8解析：∵[2a-3b+5] + （2a ?+ ?3b - 13）2 = 0，∴[2a-3b+5=0，2a+3b-13=0，]解得[a=2，b=3.]若以b為底，則三邊長(zhǎng)為2，2，3；若以a為底，則三邊長(zhǎng)為2，3，3.∵2 + 2 > 3， 2 + 3 > 3， ∴等腰三角形的

文頁(yè)等腰三角形是一類(lèi)特殊而又十分重要的三角形，它除了我們?cè)谡n本中學(xué)到的性質(zhì)外，還有許多特殊結(jié)論. 現(xiàn)簡(jiǎn)單歸納等腰三角形的5個(gè)常見(jiàn)結(jié)論．1.已知：如圖1，在△ABC中，AB = AC，AD為BC邊上的中線，P為AD上的任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn). 求證：PE = PF．（解析略）結(jié)論1：等腰三角形底邊的中線上一點(diǎn)到兩腰的距離相等.（這里的中線也可以改成頂角的平分線或底邊上的高）2.已知：如圖2，△ABC是等腰銳角三角形，AB = AC，

張娜等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線和頂角平分線相互重合，我們將等腰三角形的這一特性稱(chēng)為“三線合一”，具體可以歸納如下：如圖1所示，在△ABC 中，AB = AC，D 為BC 上一點(diǎn)，下列三個(gè)條件中：（1）∠BAD =∠CAD ;（2）AD ⊥ BD ;（3）BD = CD ，滿(mǎn)足其中任意一個(gè)條件時(shí)，都能直接推出其余兩個(gè)條件成立.由此可見(jiàn)，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是一個(gè)多功能的性質(zhì)定理，是解答幾何問(wèn)題的有效策略，可用于證明兩角相等或倍分，證明線段相等

華角平分線與等腰三角形有著密不可分的聯(lián)系. 在許多幾何問(wèn)題中，遇到等腰三角形就會(huì)想到頂角的平分線，遇到角平分線又會(huì)想到構(gòu)造等腰三角形.一、角平分線 + 平行線→等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形. 在圖1①中，若AD平分∠BAC，AD[?]EC，則△ACE是等腰三角形;在圖1②中，AD平分∠BAC，DE[?]AC，則△ADE是等腰三角形;在圖1③中，AD平分∠BAC，CE[?]AB，則△ACE是等腰三角形;在圖1④中

的學(xué)習(xí)內(nèi)容，等腰三角形更是重中之重。等腰三角形的許多問(wèn)題需要用分類(lèi)討論的方法去解決，同學(xué)們往往會(huì)在解題過(guò)程中，由于審題不清、知識(shí)點(diǎn)掌握不牢或考慮不全面等原因造成“錯(cuò)解”。為避免同學(xué)們?cè)俅纬霈F(xiàn)此類(lèi)問(wèn)題，下面老師對(duì)于常出現(xiàn)的一些易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。一、等腰三角形上的高例1在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，交直線BC于點(diǎn)D，若求△ABC的頂角的度數(shù)?！痉治觥拷鉀Q此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：①?zèng)]有明確是腰上的高還是底邊上的高，應(yīng)分類(lèi)討論；②對(duì)于等腰三角形

識(shí)點(diǎn)睛】考查等腰三角形的性質(zhì)、內(nèi)角和及三邊關(guān)系，并根據(jù)不同情況畫(huà)出圖形.【注意事項(xiàng)】1.求等腰三角形的邊要考慮腰和底兩種情況，并滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理，如第1、2題.2.等腰三角形的角可分底角和頂角，如第3題.3.等腰三角形一腰上的高可在三角形的內(nèi)部或外部.4.等腰三角形被一腰上的中線分成的兩部分可能包含底邊或腰.5.可畫(huà)出兩種圖形：中垂線和AC邊或是CA延長(zhǎng)線夾角為50°.6.注意第6題、第7題的圖形中都有兩個(gè)等腰三角形.8.證明線段和問(wèn)題，要聯(lián)想截長(zhǎng)補(bǔ)

為普遍的，而等腰三角形又是一種極其特殊的三角形，“一底二腰三條邊，二角同架頂角尖;兩腰等來(lái)兩底等，計(jì)算運(yùn)用想在先?！边@就是對(duì)等腰三角形特殊元素及其性質(zhì)的概括：即底邊和腰（兩腰相等），頂角和底角（兩底角相等）。因?yàn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">等腰三角形有頂角和底角之分，其邊有腰和底之分，因而，在解決等腰三角形實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常出現(xiàn)一題多解，學(xué)生也常常會(huì)忽視答案的另一種可能。根據(jù)本人十余年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)將教學(xué)中最為常見(jiàn)的多解問(wèn)題作如下簡(jiǎn)要分析。一、等腰三角形一題多解問(wèn)題的教學(xué)建議1. 明確

0) 郭旭彬等腰三角形是一類(lèi)特殊的三角形，具有非常豐富的幾何性質(zhì).一般情況下，若所討論的問(wèn)題涉及等腰三角形，并且題目沒(méi)指明頂角或底角、腰或底邊，則均需要進(jìn)行討論.圖形的切分是構(gòu)建幾何問(wèn)題的一種常見(jiàn)方法，例如根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可知，任意直角三角形都可以被斜邊中線切分成兩個(gè)等腰三角形.但是通過(guò)具體的例子不難得出，并不是任何的鈍角三角形或銳角三角形都可以被某條直線切分成兩個(gè)等腰三角形的.在日常教學(xué)中，學(xué)生如果碰到把一個(gè)三角形切分成兩個(gè)等腰三角形的問(wèn)題，

近年來(lái)，有關(guān)等腰三角形的試題經(jīng)常出現(xiàn)在中考中，并且形式多樣，內(nèi)容新穎.其重要考點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)與判定，下面就重要考點(diǎn)舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明，與同學(xué)們交流分享.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，利用了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，是比較常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)錢(qián)清鎮(zhèn)中學(xué)）

類(lèi)討論思想在等腰三角形中的運(yùn)用黃學(xué)財(cái)（江西省贛州中學(xué)）數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的促進(jìn)和指導(dǎo)作用，它不僅是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，還是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)，形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。很多學(xué)生不太重視數(shù)學(xué)思想方法，只是一味做題，不會(huì)總結(jié)，很難達(dá)到“懂一題、曉一類(lèi)、通一片”，因此要有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意識(shí)，并在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不斷挖掘和滲透。等腰三角形；分類(lèi)討論；坐標(biāo)系；周長(zhǎng)考查等腰三角形的題目時(shí)，學(xué)生很容易漏解，主要是學(xué)生沒(méi)有認(rèn)

中學(xué) 龔 杰等腰三角形中悟分類(lèi)思想江蘇省海門(mén)市海南中學(xué) 龔 杰分類(lèi)思想是初中階段的核心數(shù)學(xué)思想，也是中考的必考點(diǎn)。正確進(jìn)行分類(lèi)討論的關(guān)鍵是弄清楚分類(lèi)的依據(jù)。對(duì)于初二學(xué)生而言，代數(shù)的分類(lèi)經(jīng)歷過(guò)絕對(duì)值的分類(lèi)、方程無(wú)解的分類(lèi)，幾何上遇到的分類(lèi)情況就更少了，遇到分類(lèi)討論比較多的就是等腰三角形這一特殊的三角形。等腰三角形中有很多涉及分類(lèi)思想的題目，遇到這類(lèi)題目，常犯的錯(cuò)誤就是“漏解”，怎么才能避免這種情況的產(chǎn)生呢？如何從對(duì)等腰三角形的分類(lèi)有進(jìn)一步的理解后對(duì)分類(lèi)思想有

性，巧妙構(gòu)造等腰三角形，借助等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，往往能夠迅速找到解題途徑，直觀易懂，簡(jiǎn)捷明快.一、圖形含有垂線（或高線），以垂線（或高線）為對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造等腰三角形例1如圖1，已知A D⊥B C于點(diǎn)D，且∠B＝2∠C，試說(shuō)明：A B＋B D＝D C.圖1分析：因?yàn)锳 D⊥B C，以A D為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行變換，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E必落在B C上，連接A E，則△A B E為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)使問(wèn)題迎刃而解.解：因?yàn)锳 D⊥B C，以A D為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行變換，

線、平行線與等腰三角形□苗賽莉角平分線、平行線與等腰三角形關(guān)系密切，在題設(shè)中若見(jiàn)其一，應(yīng)思其二，想其三，這種解題思路往往是打開(kāi)第一道大門(mén)的金鑰匙，突破解題的一個(gè)難點(diǎn)，使一類(lèi)題目變難為易成為可能.這種思維方法稱(chēng)為“知識(shí)板塊”思維法.為幫助大家更好理解，現(xiàn)作如下歸納：1.角平分線遇平行線出現(xiàn)等腰三角形.①直線與角的一邊平行出現(xiàn)等腰三角形.如圖1，已知：O D平分∠A O B，C D∥O A，則可得△O C D為等腰三角形.圖1②直線與角的平分線平行出現(xiàn)等腰三角

已知條件獲取等腰三角形或構(gòu)造出一個(gè)等腰三角形則能開(kāi)啟思維的閘門(mén)，使問(wèn)題迎刃而解.1角平分線+平行線等腰三角形過(guò)角平分線上任一點(diǎn)作該角一邊的平行線，則這條直線和另一邊相交構(gòu)成的三角形為等腰三角形.如圖1，若CB平分∠MCN且AB∥NC，則AB=AC.作者簡(jiǎn)介劉家良，男，1966年生，中學(xué)高級(jí)教師.先后榮獲縣級(jí)教改積極分子、縣級(jí)優(yōu)秀班主任和縣級(jí)優(yōu)秀教師稱(chēng)號(hào).130多篇文章發(fā)表，其中5篇被人大書(shū)報(bào)資料中心《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.

林明小朋友，等腰三角形是三角形中的“另類(lèi)”，它仰仗著自己的優(yōu)勢(shì)“打家劫舍，胡作非為”，這也許讓你很頭痛。其實(shí)，等腰三角形是只“紙糊的老虎”，只要你懂得要領(lǐng)，向它的“軟肋”輕輕一戳，它就會(huì)應(yīng)聲倒地！招法1——擒“角”例1.圖1是從一個(gè)等腰三角形上撕下來(lái)的一個(gè)角，問(wèn)原等腰三角形的其他兩個(gè)角可能是多少度？我是這樣解的。由于等腰三角形具備兩個(gè)底角相等的性質(zhì)，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和的關(guān)系，可借助“頂角+底角×2=180°”來(lái)表達(dá)。這個(gè)公式，就是我們擒“角”的利器！因?yàn)?/div>

數(shù)學(xué)小靈通·3-4年級(jí) 2015年4期2015-05-30

角形分成兩個(gè)等腰三角形？畫(huà)出圖形，試試看，將此題從特殊推廣到一般，可變?yōu)椤鰽BC滿(mǎn)足什么條件，可以用過(guò)頂點(diǎn)的一條直線將它分割成兩個(gè)等腰三角形？如何分？有幾種分法？筆者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了探究，現(xiàn)寫(xiě)出來(lái)以供同行參考.筆者認(rèn)為，過(guò)最小角的頂點(diǎn)的直線不能把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.這個(gè)“問(wèn)題”與角有關(guān)，所以我們不妨從角的角度去思考，應(yīng)當(dāng)首先找到度數(shù)最小的角（后面簡(jiǎn)稱(chēng)“最小角”，其次，度數(shù)最大的角簡(jiǎn)稱(chēng)“最大角”，介于兩者之間的角簡(jiǎn)稱(chēng)“次大角”）.已知：如圖1，△

中學(xué) 崔明月等腰三角形中的漏解、多解和錯(cuò)解☉山東省萊西市第四中學(xué) 崔明月等腰三角形中關(guān)于邊角求解的分類(lèi)討論問(wèn)題，一直是令同學(xué)們頭疼的一個(gè)問(wèn)題，有時(shí)忘記分類(lèi)討論，導(dǎo)致漏解；有時(shí)得出兩個(gè)答案，又因沒(méi)有檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足三角形內(nèi)角和定理和三邊關(guān)系，導(dǎo)致多解．下面我們舉例分析這類(lèi)問(wèn)題，看其有何規(guī)律．一、關(guān)于等腰三角形角度的求解例1 若等腰三角形有一個(gè)角是70°，則其他兩個(gè)角的度數(shù)是_______．答案：55°和55°；40°和70°例2 若等腰三角形有一個(gè)角是120°，

給出一個(gè)關(guān)于等腰三角形的基本模型.如圖1，OC平分∠AOB，CD∥OB，CD交OA于D點(diǎn)，則△OCD是等腰三角形．證明：∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠2．∵CD∥OB，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3，DO=DC，即△OCD是等腰三角形．由圖1知，“角平分線＋平行線”就能構(gòu)造出等腰三角形．這個(gè)關(guān)于等腰三角形的基本模型隨處可見(jiàn)，應(yīng)用廣泛，要加以重視．一、判斷等腰三角形的個(gè)數(shù)例1如圖2，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC，DF∥AB．請(qǐng)問(wèn)：

現(xiàn)出一大批以等腰三角形為背景，內(nèi)涵豐富、設(shè)計(jì)新穎獨(dú)特的創(chuàng)新試題，下面舉例說(shuō)明.1. 條件探索型例1 如圖1，在△ABC中，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O.給出下列四個(gè)條件：① ∠EBO=∠DCO；② ∠BEO=∠CDO；③ BE＝CD；④ OB＝OC．（1） 上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定△ABC是等腰三角形？（用序號(hào)寫(xiě)出所有情況）（2） 選（1）小題中的一種情形，證明△ABC是等腰三角形.解：（1） ①③，①④，②③，②④四種情況可判

任曉金等腰三角形是一種特殊的三角形，除具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有獨(dú)特的性質(zhì)，即兩底角相等，兩腰相等.正是由于它的特殊性質(zhì)，解答等腰三角形問(wèn)題時(shí)易產(chǎn)生漏解現(xiàn)象.尤其當(dāng)題目中沒(méi)有給出具體圖形時(shí)，更應(yīng)謹(jǐn)慎解題.現(xiàn)分類(lèi)舉例說(shuō)明.一 角不明確時(shí)要分類(lèi)討論例1如果等腰三角形的一個(gè)角為50°，那么其他兩角的大小分別為_(kāi)_.解析：當(dāng)50°的角為頂角時(shí)，則每個(gè)底角的大小為：1/2（180°-50°）=65°.當(dāng)50°的角為底角時(shí)，另一個(gè)底角也為50°，則其頂角的大小為：

龐如蘭等腰三角形是初中幾何中的重要內(nèi)容之一.借助等腰三角形的判定和性質(zhì)，我們可以很方便地解決不少問(wèn)題.當(dāng)題目中沒(méi)有明確給出等腰三角形時(shí)，我們可以通過(guò)作輔助線構(gòu)造等腰三角形來(lái)解決問(wèn)題.下面舉例說(shuō)明如何作輔助線構(gòu)造等腰三角形.1. 角平分線+平行線例1如圖1，在等腰△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線.求證：AD+BD=BC.證明：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°.如圖2，在BC上截取BG=BD，則△BGD為等腰

分）1． 若等腰三角形周長(zhǎng)為30，一條邊長(zhǎng)為12，則另兩邊的長(zhǎng)為_(kāi)_；若等腰三角形周長(zhǎng)為30，一條邊長(zhǎng)為4，則另兩邊的長(zhǎng)為_(kāi)_.2． 若等腰三角形的頂角和一個(gè)底角的和是110°，則它的一個(gè)底角為_(kāi)_.3． 等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12 cm和21 cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是__.4． 如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于D.請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使△ABC是等腰三角形.你添加的條件是：__.5． 如圖2，△ABC中，AD⊥BC，

安艷菊等腰三角形的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，一直備受中考命題者的青睞，在歷年各省中考試題中頻繁出現(xiàn).特別是等腰三角形的有些題目經(jīng)常需要分類(lèi)討論才能作出解答，這使得等腰三角形在同學(xué)們面前又多了一層神秘的面紗.其實(shí)，解此類(lèi)問(wèn)題還是有規(guī)律可循的.下面是筆者歸納的幾種有關(guān)等腰三角形的分類(lèi)討論題，希望對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助.筆者以為解等腰三角形類(lèi)題型一般要考慮以下幾種情形.一?考慮哪一條邊是底邊，哪一條邊為腰例1已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為4和6，那么它的周長(zhǎng)為( ).A.14B