一次數(shù)學(xué)教研活動(dòng)引發(fā)的探究

☉貴州省綏陽(yáng)縣小關(guān)中學(xué) 梁可霜

在一次數(shù)學(xué)教研活動(dòng)上，筆者遇到了這樣的問(wèn)題：“有一個(gè)三角形，其內(nèi)角分別為：20°，40°，120°.怎樣把三角形分成兩個(gè)等腰三角形？畫出圖形，試試看，將此題從特殊推廣到一般，可變?yōu)椤鰽BC滿足什么條件，可以用過(guò)頂點(diǎn)的一條直線將它分割成兩個(gè)等腰三角形？如何分？有幾種分法？筆者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了探究，現(xiàn)寫出來(lái)以供同行參考.

筆者認(rèn)為，過(guò)最小角的頂點(diǎn)的直線不能把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.這個(gè)“問(wèn)題”與角有關(guān)，所以我們不妨從角的角度去思考，應(yīng)當(dāng)首先找到度數(shù)最小的角（后面簡(jiǎn)稱“最小角”，其次，度數(shù)最大的角簡(jiǎn)稱“最大角”，介于兩者之間的角簡(jiǎn)稱“次大角”）.

已知：如圖1，△ABC中，∠ABC＜∠A，∠ABC＜∠C，∠ABC是△ABC中的最小角，過(guò)點(diǎn)B的直線BD把△ABC分割成△ABD和△CBD，則兩個(gè)三角形不可能同時(shí)是等腰三角形.

圖1

證明： 在△ABD中，∠A＞∠1，∠3＞∠C＞∠ABC＞∠1，在△CBD中，∠C＞∠2，∠4＞∠A＞∠ABC＞∠2，可見，只剩下∠3=∠A，∠4=∠C的可能性了，那么它們能不能同時(shí)成立呢？因?yàn)椤?+∠4=180°，所以∠A+∠C=180°，顯然這個(gè)結(jié)論是不可能的，所以，∠3=∠A與∠4=∠C不能同時(shí)成立.

于是得出以下結(jié)論：

結(jié)論1：過(guò)最小角的頂點(diǎn)的直線不能把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

結(jié)論2：三角形有三個(gè)相等的最小角，分割該等邊三角形為兩個(gè)較小的等腰三角形的直線不存在.

結(jié)論3：只有三個(gè)角都不相等和僅有兩個(gè)角相等的兩類三角形才有可能被分割成兩個(gè)等腰三角形.

下面，我們先從三角形三邊都不相等的三角形開始研究，還需要附加什么條件，使一個(gè)三角形具有過(guò)某個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將它分割成兩個(gè)等腰三角形.

如圖2，在△ABC中，∠B＜∠ACB＜∠BAC，∠B為最小角，不能再分割，那么∠B將成為分割△ABC后得到的其中一個(gè)等腰三角形的角，運(yùn)用分類討論思想，∠B可能是這個(gè)等腰三角形的頂角，也可以是底角，并且當(dāng)∠B是底角時(shí)，又可以分為兩類：以AB為底邊或以BC為底邊.可見，就∠B而言，先分三大類：

1.當(dāng)∠B為頂角時(shí)，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于D，作直線AD把△ABC分割成△ABD和△ACD，顯然△ABD是等腰三角形，欲使△ACD成等腰三角形，又可以分為三種情況考慮：∠C=∠DAC，或者∠C=∠ADC，或者∠DAC=∠ADC.但是，結(jié)合圖形仔細(xì)分析一下，因?yàn)椤螦DB是銳角，所以∠ADC是鈍角，顯然只有∠C=∠DAC成立.

圖2

可以看出，當(dāng)最大角是次大角的3倍時(shí)，從最大角中分割出一個(gè)與次大角相等的角，并且要求這個(gè)角與次大角有一條公用邊，那么分割最大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.

2.當(dāng)∠B為底角且以AB邊為底邊時(shí)，作AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，作直線AD，顯然△ABD是等腰三角形，欲使△ACD成為等腰三角形，也可分為三種情況考慮.

圖3

（2）當(dāng)∠B為底角且以AB邊為底邊時(shí)，若∠C=∠ADC，設(shè)∠B=α（如圖4），則∠C=∠ADC=2α，所以∠C=2∠B.可以看出，當(dāng)次大角是最小角的2倍時(shí)，從最大角中分割出一個(gè)與最小角相等的角，并且要求這個(gè)角與最小角有一條公共邊，那么分割最大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．

圖4

圖5

（3）當(dāng)∠B為底角且以AB邊為底邊時(shí)，若∠DAC=∠ADC，設(shè)∠B＝α（如圖5），則∠DAC=∠ADC＝2α，所以∠BAC=α+2α=3α=3∠B.可以看出，當(dāng)最大角是最小角的3倍時(shí)，從最大角中分割出一個(gè)與最小角相等的角，并且要求這個(gè)角與最小角有一條公用邊，那么分割成最大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．

3．當(dāng)∠B為底角且以BC邊為底邊時(shí)，作BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線CD把△ABC分割成△BCD和△ACD（如圖6），顯然△BCD是等腰三角形，欲使△ACD成等腰三角形，又可以分為三種情況考慮：∠A=∠ACD，或者∠A=∠ADC，或者∠ACD=∠ADC.但是結(jié)合圖形分析一下，因?yàn)椤螦為最大角，∠ACB為次大角，所以淘汰掉∠A=∠ADC．

（1）當(dāng)∠B為底角且以AB邊為底邊時(shí)，若∠A=∠ACD，設(shè)∠B＝α，（如圖6），則∠A=∠ADC＝2α，所以∠A=2∠B，可以看出：當(dāng)最大角是最小角的2倍時(shí)，從次大角中分割出一個(gè)與最小角相等的角，并且要求這個(gè)角與最小角有一條公用邊，那么分割次大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．

圖6

圖7

（2）當(dāng)∠B為底角且以BC邊為底邊時(shí)，若∠ACD=∠ADC，設(shè)∠B＝α（如圖7），則∠ACD=∠ADC=α+2α=3α，顯然∠ACB=3∠B.可以看出，當(dāng)次大角是最小角的3倍時(shí)，從次大角中分割出一個(gè)與最小角相等的角，并且要求這個(gè)角與最小角有一條公用邊，那么分割次大角的這條直線把原來(lái)的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．

綜上所述，三個(gè)角都不相等的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的情形如下：

情形1：有一個(gè)角是90°.分割的方法：作斜邊上的中線所在的直線．

情形2：有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍（筆者為了能描述清楚，令這里的較小角叫“單倍角”，較大的角為“三倍角”）.有三種可能：最大角是最小角的3倍，或次大角是最小角的3倍，或最大角是次大角的3倍.分割方法：從三倍角中分割出一個(gè)與單倍角相等的角，并且要求這個(gè)角與單倍角有一條公用邊，即與這個(gè)角以單倍角為兩個(gè)內(nèi)角構(gòu)成一個(gè)較小的等腰三角形．

情形3：有一個(gè)角是最小角的2倍（筆者令這里的較大角叫“二倍角”，最大的角為“三倍角”，并且強(qiáng)調(diào)一下：必須是最小角的2倍）.有兩種可能：最大角是最小角的2倍，或次大角是最小角的2倍．分割方法：從第三個(gè)角（除最小角和“二倍角”）中分割出一個(gè)與最小角相等的角，并且要求這個(gè)角與最小角有一條公用邊，即以這個(gè)角與最小角為兩個(gè)內(nèi)角構(gòu)成一個(gè)較小的等腰三角形．

值得注意的是：當(dāng)三角形的三個(gè)內(nèi)角滿足上述的多種情形，比如既有3倍關(guān)系，又有2倍關(guān)系，那么分割方法可能不唯一．

接下來(lái)，我們研究：兩個(gè)角相等的等腰三角形，還需要附加什么條件，使該等腰三角形能分割成兩個(gè)較小的等腰三角形．

（1）當(dāng)該等腰三角形只有一個(gè)最小角時(shí)，最小角必是頂角，另外兩個(gè)較大角是底角，如果我們把兩個(gè)相等的較大的底角，一個(gè)看成是最大角，另一個(gè)看成次大角，那么該等腰三角形上也有上面情形2、3的分割方法，只是要多考慮到等腰三角形的軸對(duì)稱性，分割該等腰三角形為兩個(gè)較小的等腰三角形的直線有兩條，研究過(guò)程與上面相似，這里就不一一敘述了．

（2）當(dāng)該等腰三角形有兩個(gè)相等的最小角時(shí)，第三個(gè)角必是最大角且是頂角，兩個(gè)相等的最小角是底角，如果我們把兩個(gè)相等的最小的底角，一個(gè)看成是最小角，另一個(gè)看成次大角，那么該等腰三角形也有上述情形1、2的分割方法，當(dāng)為情形2時(shí)，也要考慮等腰三角形的軸對(duì)稱性，研究過(guò)程與上面相似，這里省略．

問(wèn)題1：在△ABC中，若過(guò)其中一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線，將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)．

解析：①如圖8，在△ABC中，若底角是頂角的2倍，設(shè)∠A＝α，∠B=∠C＝2α，則α＋2α＋2α＝180°，α＝36°，三內(nèi)角的度數(shù)分別為：36°、72°、72°．

②如圖9，在△ABC中，若頂角是底角的2倍，設(shè)∠B=∠C＝α，∠A＝2α，則α＋α＋2α＝180°，α＝45°，三內(nèi)角的度數(shù)分別為：90°、45°、45°．

③如圖10，在△ABC中，若頂角是底角的3倍，設(shè)∠B=∠C=α，∠A=3α，則α+α+3α=180°，α=36°，三內(nèi)角的度數(shù)分別為：108°、36°、36°.

圖8

圖9

圖10

問(wèn)題2：如果一個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角為40°，且過(guò)某一頂點(diǎn)能將該三角形分成兩個(gè)等腰三角形，則該三角形其余兩個(gè)角的度數(shù)是多少？

解析：①首先考慮，當(dāng)這個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，其余兩個(gè)角的度數(shù)是50°和90°.

②當(dāng)這個(gè)40°的內(nèi)角為最小角時(shí)，另外兩個(gè)較大的角可能與最小角有2倍或3倍關(guān)系，或者最大角是次大角的3倍，所以所得其余兩個(gè)角的度數(shù)為60°和80°.