一個基本模型的運用

牟方田

首先，給出一個關(guān)于等腰三角形的基本模型.

如圖1，OC平分∠AOB，CD∥OB，CD交OA于D點，則△OCD是等腰三角形．

證明：∵OC平分∠AOB，

∴∠1=∠2．

∵CD∥OB，∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3，DO=DC，即△OCD是等腰三角形．

由圖1知，“角平分線＋平行線”就能構(gòu)造出等腰三角形．這個關(guān)于等腰三角形的基本模型隨處可見，應(yīng)用廣泛，要加以重視．

一、判斷等腰三角形的個數(shù)

例1如圖2，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC，DF∥AB．請問：圖中除了△ABC外，還有多少個等腰三角形？

解析：由“DE∥BC”可推知△ADE是等腰三角形，同理△CDF也是等腰三角形.由于BD是∠ABC的平分線，由等腰三角形的基本模型可知△BDE、△BDF都是等腰三角形．

故圖中還有4個等腰三角形：△ADE、△BDE、△BDF、△CDF．

二、求線段的長

例2如圖3，四邊形ABCD是平行四邊形（對邊平行的四邊形），AB=3 cm，AD=5 cm.∠B的平分線與CD的延長線交于E點，BE與 AD交于點F.試計算AF、DE的長．

解析：由于BE平分∠ABC，AF∥BC，由等腰三角形的基本模型知△ABF是等腰三角形，從而可知△DEF也是等腰三角形，所以AF=AB=3 cm．而DF=AD-AF=2（cm），故DE=DF=2 cm．

三、求三角形的周長

例3如圖4，在△ABC中，BC=5 cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線.PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周長．

解析：由等腰三角形的基本模型知△BDP、△CEP都是等腰三角形，則PD=BD，PE=CE，于是△PDE的周長轉(zhuǎn)化為BC邊的長．

∴△PDE的周長=BC=5 cm．

四、探究線段之間的關(guān)系

例4如圖5，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O.過點O作BC的平行線，分別交AB、AC于點D、E．先猜想線段BD、CE、DE之間的關(guān)系，再說明理由．

解析：由等腰三角形的基本模型，知△BDO、△CEO都是等腰三角形，則DO=DB，EO=EC，于是有DE=BD+CE．