線性代數(shù)實際教學問題討論

朱曉星++袁泉

【摘要】本文分析了線性代數(shù)課程的內(nèi)容特點，教學中所面臨的實際環(huán)境，以及目前較為普遍多樣的授課模式，探討在課程內(nèi)容銜接、主線確立、學習規(guī)律、數(shù)學之美、慕課模式借鑒等方面進行優(yōu)化教學。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) ?線性方程組 ?矩陣 ?秩

【中圖分類號】G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2016）11-0140-02

一、研究背景

線性代數(shù)作為諸多理工科課程的基礎(chǔ)課程，盡管本身學時不長，但對于后續(xù)課程的學習卻起著關(guān)鍵性的作用。在教學過程中既要使學生獲得必要的基礎(chǔ)知識， 同時又具有必要的基本能力。 能力的形成與思想方法的掌握是密不可分的。代數(shù)學的基本思想方法有技巧性的數(shù)學方法、邏輯性的數(shù)學方法、宏觀性的數(shù)學方法等[1]。關(guān)于如何合理安排教授內(nèi)容章節(jié)來教授線性代數(shù)，許多高校組織了學者進行探討教改，并且整理出版了自己的教材，其中以同濟大學的教改成果尤為突出，其出版的《線性代數(shù)》第三版還獲得了2000年中國高校科學技術(shù)二等獎。我校也依據(jù)本校學生特點，重新編寫了《線性代數(shù)》[2]教程，在此基礎(chǔ)上，進行了一系列教改探討及教學建設(shè)，該課程也被評選成為江蘇省精品課程。

二、教授線性代數(shù)課程面臨環(huán)境

1.學生初次學習線性代數(shù)課程，會覺得該課程概念多而且抽象，實際生活中也難找到佐證。行列式，方程組、矩陣、二次型等概念框架思路不同，彼此間也難發(fā)現(xiàn)其深層次聯(lián)系，證明繁多，且思路與高等數(shù)學證明體系完全不同，初學者極易產(chǎn)生畏懼心理。

2.針對線性代數(shù)課程中所遇問題，很多專家學者給出了不同的授課模式，諸如探究式課堂教學、問題解決型課堂教學等模式，然而，對于以上的教學模式，首先對授課人數(shù)有了要求，小班教學情況下，才有探究式教學的空間，這對教職工人數(shù)和工作量安排提出了較高的要求，在一般工科學校中很難有這樣的教學環(huán)境;問題解決型更是對學生的基本數(shù)學素養(yǎng)有較高的要求，這對于線性代數(shù)這樣的為大一大二學生而設(shè)的基礎(chǔ)必修課而言，也有由較大的難度。

三、線性代數(shù)的教學嘗試

1.課程銜接

線性代數(shù)雖然課時不多，但是和高等數(shù)學一樣是整個大學學習的重要理論基石。這點可以由研究生入學考試中必含有線性代數(shù)部分可以得到體現(xiàn)。大部分學生都有在大學二年級學習線性代數(shù)課程，經(jīng)過大一階段高等數(shù)學的學習，已經(jīng)掌握了學習高等數(shù)學時不同于初等數(shù)學的學習方法，然而高等數(shù)學重視解題能力，強調(diào)學以致用，這一點在大學物理的學習過程中也得到了充分體現(xiàn)。初上線性代數(shù)課程時可向?qū)W生說明，作為基礎(chǔ)課程，不一定能做到理論映射到現(xiàn)實生活中。所謂的學以致用，線性代數(shù)也在強調(diào)工具的應(yīng)用，但工具并非都是解決實際問題，解決數(shù)學問題、專業(yè)問題的也稱之為工具，線性代數(shù)這門學科主要鍛煉學生的抽象思維能力以及邏輯思維能力。這與高等數(shù)學體系的思維鍛煉側(cè)重點不一樣。當然，線性代數(shù)和高等數(shù)學也不是完全割裂的。例如說，可以在剛開始介紹行列式的時候提及解決隱函數(shù)方程組所用到的雅克比行列式，其實就是求解二元一次方程組的系數(shù)行列式。再如講到向量組的線性相關(guān)性，可以結(jié)合解析幾何中混合積的幾何意義加以釋義。諸如此類，讓學生能夠覺得數(shù)學課程雖然分類眾多，但彼此間聯(lián)系緊密。

2.確立主線

初學者在學習線性代數(shù)，容易被紛雜抽象的概念所嚇倒，有一定的消極心理，不能真正做到主動學習，即便學完線性代數(shù)課程，腦海中的印象也就止于一堆堆抽象的定義、枯燥的定理。其根本原因在于教師在授課時候沒有有效的給學生貫穿一條線性代數(shù)的學習主線，把繁多的知識點串聯(lián)起來。讓學生真正知道自己學到了什么，并用之于以后的進一步學習中。關(guān)于線性代數(shù)主線的討論，許多學者給出了自己的建議，有的從矩陣出發(fā)，有的從方程組出發(fā)，還有的從向量組出發(fā)，筆者認為以“初等變換”這一聯(lián)系方程組、矩陣、向量組三者之間的知識點作為主線或者更能收到成效。要把這一想法付諸實施，授課模塊的調(diào)整也是有需要的。將行列式和高斯消元法放至首章，緊隨著介紹矩陣的定義和基本性質(zhì)，然后再轉(zhuǎn)入向量組的學習，在利用向量組的知識講解方程組解的結(jié)構(gòu)時可進一步強調(diào)“初等變換”這一主線的重要性。

3.螺旋式切入

實際授課環(huán)境中，由于概念定理的抽象性，不可機械地填鴨式教育。根據(jù)德國心理學家艾賓浩斯的遺忘曲線理論，如果能增強知識點的螺旋式切入，不斷的用已經(jīng)學過的知識點來“推陳出新”，讓學生做到前后銜接，融會貫通。例如：在方程組的講解過程中，利用高斯消元法求解方程組時，要重點強調(diào)“初等變換”知識點的學習，并將其作為后續(xù)知識點的重要串聯(lián)點。學習向量組的性質(zhì)時，為了能呼應(yīng)剛結(jié)束的方程組知識，可以通過分析線性齊次和非齊次方程組，利用方程組的初等變換來化簡方程組，可以得到關(guān)于向量組的兩個重要結(jié)論。

①即向量β可以由向量組α1，α2，…，αs線性表出的充要條件為以向量α1，α2，…，αs為系數(shù)列向量，β為常數(shù)項向量的線性方程組有解，并且每個解向量的分量就是一組組合系數(shù)。

② n維向量α1，α2，…，αs線性相關(guān)的充分必要條件是以α1，α2，…，αs為系數(shù)列向量的齊次線性方程組有非零解。

這樣從方程組的知識到的向量組知識構(gòu)成一個有效過渡。對于矩陣而言，矩陣可逆的相關(guān)結(jié)論可作為聯(lián)系向量組，方程組，矩陣之間的重要紐帶。

例如 ，矩陣可逆矩陣滿秩;

矩陣行列式不為零;

行（列）向量組線性無關(guān);

以該矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有唯一零解;

特征值均不為零;

任一可逆矩陣一定可以分解為一系列初等矩陣的乘積，即意味著可逆矩陣矩陣與任意矩陣相乘就是對該矩陣進行一系列初等變換。在這樣反復(fù)的把前面的知識點貫穿于新知識點的引入中，不但能使學生在初學概念時去除陌生感，也能同時鞏固了對于前面知識點的理解。至于相似矩陣和二次型的學習，更是將這方程組、矩陣、向量組的知識點交互在一起的效果得到集中體現(xiàn)。

4. 體驗數(shù)學之美

線性代數(shù)課程中盡管概念抽象，證明繁多，讓很多學生感覺頭疼，但如果選取一些典型證明，將證明思路詳細分析給學生，讓學生不僅在證明中學到如何應(yīng)用理論，從而避免了枯燥記憶的努力，同時也去除了定理太多，以至于無所適從的茫然，也讓學生可以從中學習到代數(shù)思考的方式，這點也是與高等數(shù)學不同之處。讓他們在其中體會到邏輯之美，數(shù)學之美，或許能激發(fā)學生對于抽象數(shù)學的熱忱。例如：定理3.7 矩陣的秩等于其列向量組的秩[1]，該定理的證明值得好好講解。學生能夠從其中仔細體會到行列式、方程組、向量組知識點互相轉(zhuǎn)換的思考模式;再如線性空間的定義，可從一些簡單的線性空間得介紹中體會到抽象數(shù)學之美;講到線性空間的基底和坐標時候，線性空間中向量之間的線性運算可以借助于其一一對應(yīng)的坐標的線性運算來實現(xiàn)，這樣就可以一般線性空間與我們熟知的 維向量空間之間的同構(gòu)，借此可以了解到不同線性空間的結(jié)構(gòu)。進一步，在不同的基底下可以得到不同的坐標系，可以適當介紹仿射坐標系，并與熟知的空間直角坐標系作類比，順帶引出施密特標準化，并介紹其應(yīng)用價值，并進一步引出一種特殊而重要的線性變化--正交變化，其在實際應(yīng)用中可起到旋轉(zhuǎn)坐標系的作用，解決了非標準二次曲面化標準型問題。

五、結(jié)束語

線性代數(shù)課程很緊湊，內(nèi)容卻很豐富，最能體現(xiàn)出代數(shù)學思想的就是線性空間部分，然而因為課時原因，線性空間教學部分被大大壓縮，如何能夠調(diào)整知識點，把線性空間的思想融入到課程當中去，也是一個重要課題。在探討不同教學模式的同時，對于知識點的分配和講解串聯(lián)，也需要教師們加強內(nèi)功修養(yǎng)，讓學生能夠更好地學習線性代數(shù)。

參考文獻：

[1] 李小平 關(guān)于《線性代數(shù)》教學改革的一些思考[J] 大學數(shù)學vol.27，NO.3，2011（6）

[2] 殷洪友，肖光世，張娟，袁泉，朱曉星 線性代數(shù)[M] 高等教育出版社，2012

項目來源：南京航空航天大學本科教學改革與建設(shè)項目“線性代數(shù)中的若干問題研究”基金編號S003-081