數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

馬力

摘 要：數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。這里的“數(shù)”指數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式及用語(yǔ)言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實(shí)物類教學(xué)資源等形象材料，以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息的方式。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；以數(shù)助形；以形助數(shù)

數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)單。所謂“數(shù)形”結(jié)合就是通過(guò)數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想方法。它可將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，使抽象思維與形象思維相結(jié)合，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。有些數(shù)量關(guān)系，借助于圖形的性質(zhì)，可以使抽象的概念和關(guān)系直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化；而圖形的一些性質(zhì)，借助于數(shù)量的計(jì)量和分析，得以嚴(yán)謹(jǐn)化，能從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。

用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類：

類型之一 “數(shù)”到“形”的思想應(yīng)用（以形助數(shù)）

題型一：數(shù)形結(jié)合思想在不等式組中的應(yīng)用

例1（實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系）求不等式組的整數(shù)解。

解析：解不等式1得x<2

解不等式2得x≥-1

∴原不等式組的解集為：-1≤x<2

結(jié)合數(shù)軸，直接可以讀出不等式組的整數(shù)解為-1，0， 1

題型二：數(shù)形結(jié)合思想在邏輯推理題中的應(yīng)用

例2：某班共30人，其中15人喜歡籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜歡，則喜歡籃球卻不喜歡乒乓球的人有

解：畫(huà)出韋恩圖

此題可以利用韋恩圖，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想使得題目更加直觀形象化，簡(jiǎn)單化，便于解題。

題型三：數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例3：“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解，解決下面問(wèn)題：若m、n（m

A . m

解析：根據(jù)題目中的要求，可以得出：若m、n（m

二次函數(shù)也好，一次函數(shù)也好，甚至是反比例函數(shù)，都可以結(jié)合圖形使問(wèn)題直觀化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想。

題型四：數(shù)形結(jié)合思想在恒等證明中的應(yīng)用

例4：已知x、y、z都是正數(shù)，且x2+y2=z2， z= x2 求證：rz=xy

解析：可以構(gòu)造直角三角形，如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高

不妨設(shè)AB=y，BC=x，AC=z，BD=r，利用勾股定理可以得出AB2+BC2=AC2，即x2+y2=z2 ，結(jié)合射影定理BC2=AC·CD，即 z= x2 ，再結(jié)合三角形的面積計(jì)算方法，可以得出結(jié)論rz=xy，從中說(shuō)明很多恒等式可以結(jié)合幾何圖形，能使問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系變得明顯，推理變得輕松，書(shū)寫(xiě)變得簡(jiǎn)潔。（涉及到與平方有關(guān)的恒等證明，可以構(gòu)造出與之對(duì)應(yīng)的三角形或者圓。）

類型之二 “形”到“數(shù)”的思想應(yīng)用（以數(shù)助形）

題型五：數(shù)形結(jié)合思想在幾何證明題中的應(yīng)用

例5：如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，求證：∠A=2∠E

解析：此題可以用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，設(shè)∠ABE=∠EBD=a ， ∠ACE=∠ECD=b ，∠A=y，∠E=x，列出方程組得出y=2x，即∠A=2∠E，本題通過(guò)三角形的外角構(gòu)造方程組，不是求方程組的解，而是利用未知數(shù)之間的關(guān)系達(dá)到解決問(wèn)題的目的，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。用我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚的一首詞來(lái)總結(jié)就是： 數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。 數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體， 永遠(yuǎn)聯(lián)系，且莫分離。