突破“集中趨勢”，縮小“離散程度”

張偉俊

一、求平均數(shù)

例1 （2016·江蘇鹽城）甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)測試，各項成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?/p>

如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐的成績按3：3：2：2計算，那么甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績分別為多少分？

【解析】運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)的計算公式進(jìn)行計算：甲的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績?yōu)閇90×3+93×3+89×2+90×23+3+2+2]=90.7（分），乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績?yōu)閇94×3+92×3+94×2+86×23+3+2+2]=91.8（分）.

【點評】在實際生活中，一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的重要程度并不總是相同的，有時有些數(shù)據(jù)比其他數(shù)據(jù)更重要.所以，我們在計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，往往根據(jù)其重要程度，分別給每個數(shù)據(jù)一個“權(quán)”.一般地，對于n個數(shù)x1， x2，…， xn，它們的權(quán)依次為w1 ， w2 ，…，wn，則稱 [x1w1+x2w2 +…+xnwnw1+w2 +…+wn]為這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).

二、求中位數(shù)和眾數(shù)

例2 （2016·江蘇蘇州）根據(jù)國家發(fā)改委實施“階梯水價”的有關(guān)文件要求，某市結(jié)合地方實際，決定從2016年1月1日起對居民生活用水按照新的“階梯水價”標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們在社會實踐活動中調(diào)查了30戶家庭某月的用水量，如下表所示：

則這30戶家庭該月用水量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）.

A.25 ，27.5 B.25，25

C.30 ，27.5 D.30，25

【解析】由統(tǒng)計表可知，這組數(shù)據(jù)一共有30個數(shù)據(jù)，分別是3個15，6個20，7個25，9個30和5個35，其中30出現(xiàn)的次數(shù)最多，達(dá)9次，因此所求眾數(shù)為30； 同時可以將這30個數(shù)據(jù)理解成是從小到大排列的，中位數(shù)是第15、16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于第15、16個數(shù)據(jù)都是25，因此所求中位數(shù)為25.故選D.

【點評】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)，或者是處于最中間位置上的兩個數(shù)的平均數(shù).也就是說：如果一組數(shù)據(jù)共有n個，那么按照大小順序排列后，當(dāng)n為奇數(shù)時，中位數(shù)就是第[n+12]個數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時，中位數(shù)就是第[n2]、 （ [n2][+1]）個數(shù)的平均數(shù).

例3 （2016·山東威海）某電腦公司銷售部為了定制下個月的銷售計劃，對20位銷售員本月的銷售量進(jìn)行了統(tǒng)計，繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，則這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是（ ）.

A. 19，20，14 B. 19，20，20

C. 18.4，20，20 D. 18.4，25，20

【解析】由扇形統(tǒng)計圖可知：銷售12臺的人數(shù)是20×20%=4（人），銷售14臺的人數(shù)是20×25%=5（人），銷售20臺的人數(shù)是20×40%=8（人），銷售30臺的人數(shù)是20×15%=3（人），所以這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)為[12×4+14×5+20×8+30×320]=18.4（臺）；把這些數(shù)從小到大排列，第10、11個數(shù)均為20，所以中位數(shù)為20；銷售20臺的人數(shù)最多，所以眾數(shù)為20.故答案選C.

【點評】扇形統(tǒng)計圖中的信息，還可以直接理解成“12臺”的權(quán)為“20%”，“14臺”的權(quán)為“25%”，“20臺”的權(quán)為“40%”，“30臺”的權(quán)為“15%”，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為12×20%+14×25%+20×40%+30×15%=18.4（臺）；扇形統(tǒng)計圖中，從“12臺”起順時針方向排列可以看成是將數(shù)據(jù)從小到大排列，累計第50%、51%的位置都對應(yīng)“20臺”，所以中位數(shù)為20；“20臺”的權(quán)重最大，達(dá)“40%”，所以眾數(shù)為20.這樣一種理解，既簡單，也更趨于本質(zhì).

三、求方差

例4 （2016·四川達(dá)州）已知一組數(shù)據(jù)0，1，2，2，x，3的平均數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的方差是 .

【解析】由“這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2”易求得x=4，然后運(yùn)用方差公式求出這組數(shù)據(jù)的方差為=[16][（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（2-2）2+（4-2）2+（3-2）2]=[53].故答案為[53].

【點評】描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的方差是指這組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，如果一組數(shù)據(jù)x1、 x2、…、xn 的平均數(shù)為[x]，那么它的方差可表示為s2=[1n][（x1-[x]）2+（x2-[x]）2+…+（xn -[x]）2].

四、數(shù)據(jù)集中趨勢的靈活應(yīng)用

例5 （2016·湖南懷化）某校進(jìn)行書法比賽，有39名同學(xué)參加預(yù)賽，只能有19名同學(xué)參加決賽，他們預(yù)賽的成績各不相同，其中一名同學(xué)想知道自己能否進(jìn)入決賽，不僅要了解自己的預(yù)賽成績，還要了解這39名同學(xué)預(yù)賽成績的（ ）.

A. 平均數(shù) B. 中位數(shù)

C. 方差 D. 眾數(shù)

【解析】39個不同的成績按大小順序排列后，中位數(shù)之前的共有19個數(shù)，所以只要知道自己的成績和中位數(shù)就可以知道是否進(jìn)入決賽.故答案選B.

【點評】當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)的大小差異很大時，通常用中位數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的集中程度.中位數(shù)從“中等水平”的角度（位置處于“最中間”）描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，克服了極端值對“平均水平”的影響.

例6 （2015·浙江寧波）在端午節(jié)到來之前，學(xué)校食堂推薦了A，B，C三家粽子專賣店，對全校師生愛吃哪家店的粽子作調(diào)查，以決定最終向哪家店采購.下面的統(tǒng)計量中，最值得關(guān)注的是（ ）.

A. 方差 B. 平均數(shù) C. 中位數(shù) D. 眾數(shù)

【解析】學(xué)校食堂最應(yīng)該關(guān)注的是哪家粽子專賣店愛吃的人數(shù)最多，由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以學(xué)校食堂最應(yīng)該關(guān)注的是統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)的眾數(shù).故答案選D.

【點評】眾數(shù)從“多數(shù)水平”的角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有較多重復(fù)數(shù)據(jù)時，通常選擇用眾數(shù)描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

五、數(shù)據(jù)離散程度的靈活應(yīng)用

例7 （2016·河南）下表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動員最近幾次選拔賽成績的平均數(shù)與方差：

根據(jù)表中數(shù)據(jù) ，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動員參加比賽，應(yīng)該選擇（ ）.

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【解析】從平均數(shù)的角度看，甲、丙的平均水平相等，高于乙、丁，可以排除乙、丁兩人.從方差的角度看，甲的方差小于丙的方差，甲的發(fā)揮比丙穩(wěn)定.故答案選A.

【點評】一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定.題目中“成績好且發(fā)揮穩(wěn)定”，也就是要平均成績高且方差小，由此可以作出選擇.

由上述題型可以看出，數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度在中考中的考查題型不多，難度不大，只要你能熟練理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的意義和求法，你就一定能在這部分的考查中穩(wěn)操勝券.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實驗中學(xué)）