概率的定義與發(fā)展史

王曉華

初中階段我們學(xué)習(xí)的概率內(nèi)容比較基礎(chǔ)，到了高中和大學(xué)階段，概率內(nèi)容將進(jìn)一步豐富和深化，為了讓同學(xué)們對(duì)概率知識(shí)板塊有個(gè)全面的了解，下面就概率的定義和發(fā)展史作一個(gè)簡單的介紹.

概率論起源于17世紀(jì)中葉，但是它的嚴(yán)格化卻是在20世紀(jì)完成的.在幾百年的時(shí)間里，人們對(duì)概率意義的認(rèn)識(shí)不斷深化，下面幾個(gè)定義就反映了這種認(rèn)識(shí)的發(fā)展.

1.古典定義

古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老.在數(shù)學(xué)史上，概率源于賭博.概率論的創(chuàng)立正是從研究賭博等問題入手，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，并從中逐步抽象出有關(guān)概率的一些初始概念.

17 世紀(jì)有個(gè)叫保羅的人，一天他與梅累兩個(gè)人一起賭錢，賭注是每人拿出6枚金幣，通過擲骰子，先勝三局者得到12枚金幣.剛賭完三局時(shí)，賭博因故不能進(jìn)行，此時(shí)保羅勝一局，精通賭博的梅累勝了兩局.因此，他們對(duì)賭注如何分配產(chǎn)生了爭吵.保羅認(rèn)為，根據(jù)勝的局?jǐn)?shù)，他應(yīng)得總數(shù)的[13]，即4枚金幣，梅累得總數(shù)的[23]，即8枚金幣.可是梅累卻不這樣想.于是他們一起去請(qǐng)教法國數(shù)學(xué)家帕斯卡.

“賭金分配”問題在幾年里一直困擾著帕斯卡.經(jīng)過反復(fù)研究，1654年帕斯卡終于取得了令人滿意的答案，于是他寫信把自己的心得告訴了好友（法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬），從此一場更深入的討論在兩人之間展開了.荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯也對(duì)他們研究的問題很感興趣，他潛心研究，于1657年出版了《論賭博中的計(jì)算》，該書塑造了概率論的雛形.

帕斯卡、費(fèi)馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計(jì)算、公式推導(dǎo)和擴(kuò)大應(yīng)用等方面做出了重大的貢獻(xiàn).但直到1812年，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯才在《概率的分析理論》中給出了概率的古典定義：如果試驗(yàn)的全部可能結(jié)果只有n（有限數(shù)）個(gè)，每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相等，其中 m個(gè)結(jié)果發(fā)生時(shí)必然導(dǎo)致事件A發(fā)生，那么分?jǐn)?shù)[mn]叫做事件 A 發(fā)生的概率，記作P（A）=[mn].古典定義通過簡單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡單可行的算法.

2 .幾何定義

概率的幾何定義提供了某種特殊類型的隨機(jī)試驗(yàn)：試驗(yàn)的一切可能結(jié)果是無限的且等可能的情形.1777 年，法國數(shù)學(xué)家布豐發(fā)表了《或然性算術(shù)試驗(yàn)》，首先提出并且解決了著名的“布豐投針問題”，開始了幾何概率的早期研究，形成概率的幾何定義.

試驗(yàn)如下：事先準(zhǔn)備一組相距為l的平行線，一根長為[l2]的針，將針隨機(jī)地投到畫了線的平面上，假如針與平行線相交，則稱“扔出有利”.這樣隨機(jī)投若干次，此時(shí)令人驚奇的結(jié)果出現(xiàn)了，“扔出有利”的概率為[1π]，如果反復(fù)進(jìn)行的次數(shù)越多，得到的[π]的值越精確.在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，圓周率的計(jì)算有著舉足輕重的地位，它曾經(jīng)是體現(xiàn)一個(gè)國家數(shù)學(xué)發(fā)展水平的重要標(biāo)志.而概率知識(shí)可以計(jì)算圓周率，對(duì)我們心靈是一個(gè)不小的震撼.此實(shí)驗(yàn)拓寬了人們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜問題的渠道，它已發(fā)展為一種新的數(shù)學(xué)方法——統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法，也就是著名的蒙特卡羅法.

3.統(tǒng)計(jì)定義

概率的古典定義和幾何定義都要求在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中基本事件發(fā)生的可能性相等，但人們發(fā)現(xiàn)在相同的條件下做大量重復(fù)試驗(yàn)，一個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)N之比，在試驗(yàn)次數(shù)N很大時(shí)，它的值將穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近.N越大，這個(gè)比值“遠(yuǎn)離”這個(gè)常數(shù)的可能性越小，這個(gè)常數(shù)就稱為這個(gè)事件的概率.這個(gè)定義與統(tǒng)計(jì)有密切的關(guān)系，它建立在頻率穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，所以稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義.這種概率討論的對(duì)象不再限于隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果為等可能的情形，因而更具一般性.1919年德國數(shù)學(xué)家馮·米塞斯在《概率論基礎(chǔ)研究》一書中提出了此定義：在相同的條件下，做大量重復(fù)試驗(yàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，某個(gè)事件出現(xiàn)的頻率總是在一個(gè)固定數(shù)值的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個(gè)固定的數(shù)值定義為這一事件的概率.

3.公理化定義

概率的前三種定義屬于“描述性”定義，在敘述中都用了“可能性”一詞， 而概率恰是關(guān)于“可能性”的概念，所以這些定義從理論上看是不嚴(yán)格的，有循環(huán)定義之嫌.由于缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，常常被人找到一些可鉆的空子，其中最為典型的要算1889年法國數(shù)學(xué)家貝特蘭提出的概率悖論：在半徑為1的圓上隨機(jī)地取一條弦，問所取的弦其長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少？

這個(gè)提問者給出了三個(gè)不同的答案，產(chǎn)生的根本原因是三種解法所作的等可能假設(shè)是不同的，所對(duì)應(yīng)的樣本空間是不同的，它們是三個(gè)不同的隨機(jī)試驗(yàn). 因此，在樣本點(diǎn)為無限的情況下，必須對(duì)樣本空間及樣本點(diǎn)作具體限定，概率的公理化定義由此應(yīng)運(yùn)而生.

1900年，38歲的希爾伯特在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了建立概率公理系統(tǒng)的問題，這就是著名的“希爾伯特的23個(gè)問題”中的第6個(gè)問題，從而引導(dǎo)了一批數(shù)學(xué)家投入這方面的工作.在概率公理化的研究道路上，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫的成績最為顯著，1933年他在《概率論基礎(chǔ)》中，運(yùn)用集合論和測度論表示概率論的方法賦予了概率論以嚴(yán)密性.當(dāng)然理解這個(gè)定義，需要一定的預(yù)備知識(shí)，故此處不再贅述.公理化定義作為一個(gè)數(shù)學(xué)平臺(tái)，讓人們?cè)诖嘶A(chǔ)上進(jìn)行演繹，得到系統(tǒng)的概率論知識(shí)體系.這個(gè)定義的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的一座里程碑.

總之，“概率”概念的建構(gòu)，經(jīng)歷了古典概率、幾何概率、統(tǒng)計(jì)定義再到公理化定義，體現(xiàn)了概率定義“從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、從具體到抽象”的逐步變化，反映了人們對(duì)概率的認(rèn)識(shí)所經(jīng)歷的過程.各種定義產(chǎn)生的過程，也體現(xiàn)了人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象所走過的艱難曲折的道路，折射著概率發(fā)展的不同階段和水平，滲透著豐富的數(shù)學(xué)化、模型化思想方法，蘊(yùn)含了深刻的辯證哲理.

（作者單位：江蘇省無錫市新安中學(xué)）