中考“連連看”概率“消消樂”

張小霞

初中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”部分中“概率”內(nèi)容雖然很少，但也是重要知識點，是中考的必考內(nèi)容之一.中考中關(guān)于概率試題通常背景新穎，貼近生活，讓人感到真實親切，體現(xiàn)了概率的應(yīng)用性和趣味性.近幾年來，中考考題中比較密集的題型有如下這些.

一、計算概率

例1 （2015·山東泰安）如圖，在方格紙中，隨機選擇標(biāo)有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成軸對稱圖形的概率是（ ）

【分析】隨機選擇標(biāo)有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，共有5種等可能的結(jié)果，與圖中陰影部分構(gòu)成軸對稱圖形的有3種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】選C.

【點評】運用公式P（A）=[mn]求簡單事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是要能分清一次試驗中會出現(xiàn)哪些等可能的結(jié)果數(shù)n，以及使事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)m.

例2 （2015·安徽）A、B、C三人玩籃球傳球游戲，游戲規(guī)則是：第一次傳球由A將球隨機地傳給B、C兩人中的某一人，以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機地傳給其他兩人中的某一人.

（1）求兩次傳球后，球恰在B手中的概率；

（2）求三次傳球后，球恰在A手中的概率.

【分析】要想準(zhǔn)確地解答本題，我們首先要仔細地審題，反復(fù)推敲文字表達的意思，解決以下兩個問題：（1）游戲分幾步完成；（2）類比“摸球”問題，分清每次游戲是“放回”還是“不放回”.若第一次出現(xiàn)的結(jié)果在第二次仍可出現(xiàn)則是“放回”的.若第一次出現(xiàn)的結(jié)果在第二次不能再出現(xiàn)則是“不放回”的.注意本題中的文字信息“每一次傳球都是由上次的傳球者隨機地傳給其他兩人中的某一人”，即意味著“不放回”.

【解答】（1）本題求兩次傳球后，球恰在B手中的概率，即游戲分兩步完成，所以既可以用樹狀圖法又可以用列表法分析解決.

方法一：樹狀圖法

兩種方法均可得到4種等可能結(jié)果，而恰好落在B手中只有1種情況，故答案為[14].

（2）本題求三次傳球后，球恰在B手中的概率，即游戲分三步完成，所以只可以用樹狀圖法解決.

畫樹狀圖得：

∵共有8種等可能的結(jié)果，三次傳球后，球恰在A手中有2種情況，∴三次傳球后，球恰在A手中的概率為[28]=[14].

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，解題時要注意分清此題是放回試驗還是不放回試驗，并注意概率為所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、利用概率判斷游戲的公平性并設(shè)計相應(yīng)的游戲規(guī)則

例3 （2015·云南）現(xiàn)有一個六面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6且質(zhì)地均勻的正方形骰子，另有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的卡片（卡片除數(shù)字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，記下骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字，然后由小王從三張背面朝上放置在桌面上的卡片中隨機抽取一張，記下卡片上的數(shù)字.

（1）請用列表或畫樹狀圖的方法，求出骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為6的概率；

（2）小明和小王做游戲，約定游戲規(guī)則如下：若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積大于7，則小明贏；若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積小于7，則小王贏.你認(rèn)為這樣的游戲規(guī)則公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，請你修改游戲規(guī)則，使之公平.

【分析】列舉出所有情況，看向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為6的情況占總情況的多少即可.

【解答】（1）由樹狀圖或列表法分析可得：

共18種情況，數(shù)字之積為6的情況數(shù)有3種，∴P（數(shù)字之積為6）=[318]=[16].

（2）該游戲所有可能的結(jié)果共18種，其中骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積大于7的有7種，骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積小于7的有11種，所以小明贏的概率=[718]，小王贏的概率=[1118]，故小王贏的可能性更大，游戲不公平.

修改規(guī)則的方法不唯一，只要使得游戲雙方獲勝的概率相等即可.例如：若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為2，則小明贏，若骰子向上一面出現(xiàn)的數(shù)字與卡片上的數(shù)字之積為3，則小王贏，否則視為平局，繼續(xù)上述游戲，直至分出勝負(fù)為止.

【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性與否就要計算每個參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平.這也為制定公平的游戲規(guī)則提供了一種思路和方法.

三、統(tǒng)計與概率知識的綜合運用

例4 （2015·湖北咸寧）某校九年級兩個班，各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“漢字聽寫”大賽預(yù)賽.各參賽選手的成績?nèi)缦拢?/p>

九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100

九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99

通過整理，得到數(shù)據(jù)分析表如下：

（1）直接寫出表中m、n的值；

（2）依據(jù)數(shù)據(jù)分析表，有人說：“最高分在（1）班，（1）班的成績比（2）班好”，但也有人說（2）班的成績要好，請給出兩條支持九（2）班成績好的理由；

（3）若從兩班的參賽選手中選四名同學(xué)參加決賽，其中兩個班的第一名直接進入決賽，另外兩個名額在四個“98分”的學(xué)生中任選二個，試求另外兩個決賽名額落在同一個班的概率.

【分析】（3）畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出另外兩個決賽名額落在同一個班的情況數(shù)，即可求出所求的概率.注意：可以用A1，B1表示九（1）班兩名98分的同學(xué)，C2，D2表示九（2）班兩名98分的同學(xué)，可使樹狀圖較為簡潔.

【解答】（1）m=94，n=95.5（求中位數(shù)需先排序）；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成績比九（1）班穩(wěn)定；③九（2）班的成績集中在中上游，故支持九（2）班成績好（任意選兩個即可）；（3）所有等可能的情況有12種，其中另外兩個決賽名額落在同一個班的情況有4種，則P （另外兩個決賽名額落在同一個班）=[412]=[13].

【點評】 此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識是概率為所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、概率與多個知識的整體考核

例5 （2015·四川）甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字-1，-2，0.現(xiàn)從甲袋中隨機抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為x，再從乙袋中隨機抽取一個小球，記錄標(biāo)有的數(shù)字為y，確定點M坐標(biāo)為（x，y）.

（1）用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標(biāo)；

（2）求點M（x，y）在函數(shù)y=-x+1的圖像上的概率；

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是2，求過點M（x，y）能作⊙O的切線的概率.

【分析】（1）用樹狀圖法（列表法）展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)；

（2）根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，從9個點中找出滿足條件的點，然后用概率公式計算；

（3）利用點與圓的位置關(guān)系找出圓上的點和圓外的點，由于過這些點可作⊙O的切線，則可計算出過點M（x，y）能作⊙O的切線的概率.

【解答】（1）共九種等可能結(jié)果（樹狀圖略）.

（2）共有9種等可能結(jié)果，其中在函數(shù)y=-x+1圖像上的點有2種，故概率為[29].

（3）在⊙O上的點有（0，-2），（2，0），在⊙O外的點有（1，-2），（2，-1），（2，-2），所以過點M（x，y）能作⊙O的切線的點有5個，所以過點M（x，y）能作⊙O的切線的概率=[59].

【點評】 本題的亮點在于將概率與函數(shù)、圓的知識結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的相互交融，要想順利地解決此類問題需要對各個知識點掌握扎實，才能運用自如.

概率是中考命題的重點之一，經(jīng)常與統(tǒng)計、函數(shù)、幾何圖形等知識綜合在一起考查，我們需牢固掌握樹狀圖（列表）法，利用概率公式解決此類問題.題目千變?nèi)f化，需要我們養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，善于總結(jié)歸納，力爭讓自己不斷進步.

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學(xué)）