概率融于游戲中問題解答顯智慧

陸莉萍

經(jīng)典游戲：小明、小月兩人輪流連續(xù)報數(shù)，小明先報“1”或“1、2”，小月接著連續(xù)報數(shù)，可以說一個數(shù)或兩個數(shù)，然后又輪到小明，再接著連續(xù)報數(shù)，同樣可以說一個數(shù)或兩個數(shù)，這樣兩人反復輪流，但不可以不說，誰先搶到30誰就得勝.問：誰將最終獲勝？制勝策略是什么？

【分析】這是一個經(jīng)典游戲，其中蘊含了豐富的數(shù)學知識與思想方法.常見的解題方法是逆推法.具體分析如下：要想搶到30，必先搶到27，要想搶到27，必先搶到24，…，要想搶到6，必先搶到3.因此，這個游戲的制勝策略是“搶到3的倍數(shù)”.

那么，這個結(jié)果是否可以進行推廣呢？下面不妨對游戲進行推廣，將搶“30”改為搶“31”，如果再用逆推法進行分析，那么我們就會發(fā)現(xiàn)原來的規(guī)律改變了.這說明剛才的解法是不全面、不深刻的，并非是解決這類問題的通法.本文將以此問題為例介紹解決這類問題的通法，并給出一個可以推廣的制勝策略.

這個游戲是與自然數(shù)有關的問題.解決這類問題時，我們可以先把問題一般化，也就是將搶“30”的問題變成搶“n”（n是自然數(shù)）的問題.又因為n是一個自然數(shù)，它可以取1、2、3……這些值，所以我們可以用“從特殊到一般再到特殊”的方法將問題特殊化，先研究n=1、2、3……時的情況，再通過比較、分析猜想出其中的規(guī)律，最后再對猜想出的規(guī)律進行證實或證偽.因此，解決與自然數(shù)有關問題的一般步驟可歸納為：“問題一般化→問題特殊化→猜想規(guī)律→證明規(guī)律→解決問題”.下面我們就用這四個步驟解決“搶30”游戲問題.

第1步：問題一般化

將“搶30”問題推廣到“搶n”（n是自然數(shù)）問題，下面以甲、乙兩人為例，即甲、乙兩人連續(xù)報數(shù)，甲先報，乙后報，可以說1個數(shù)或2個數(shù)，誰搶到n誰就得勝.問：此游戲是否有制勝策略？如果有，制勝策略是什么？

第2步：問題特殊化

因為n是自然數(shù)，所以我們讓n取1、2、3、4……這些特殊的值.

①當n=1時，因為甲先報數(shù)，他報1即可獲勝.

②當n=2時，甲報1、2即可獲勝.

③當n=3時，甲有兩種報數(shù)方式，一是報1，二是報1、2.當甲報1時，乙報2、3；當甲報1、2時，乙報3.所以乙勝.

④當n=4時，甲只要先報1個數(shù)，那么再報剩下的3個數(shù)時就是乙先報、甲后報的情況.根據(jù)③可知，當報3個數(shù)時，后報者勝，所以甲勝.

⑤當n=5時，甲只要先報2個數(shù)，那么又剩下了3個數(shù)，且甲是后報者，所以甲勝.

⑥當n=6時，因為甲只能報1個數(shù)或2個數(shù)，所以乙只要在甲報數(shù)的基礎上報2個數(shù)或1個數(shù)，就能使剩下的數(shù)為3個，并且他是后報者，所以這種情況是乙勝.

⑦當n=7時，甲只要報1，那么再報剩下的6個數(shù)時就是乙先報、甲后報的情況.根據(jù)⑥可知，當報6個數(shù)時，后報者勝，所以甲勝.

⑧當n=8時，甲只要報2，那么又剩下了6個數(shù)，且甲是后報者，所以甲勝.

⑨當n=9時，甲報數(shù)只能報1或1、2，乙只要報2、3或3就能剩余6個數(shù)，再報剩下的6個數(shù)時就是乙后報，所以這種情況是乙勝.

⑩當n=10時，甲只要先報1個數(shù)，那么再報剩下的9個數(shù)時就是乙先報、甲后報的情況.根據(jù)⑨可知，當報9個數(shù)時，后報者勝，所以甲勝.

……

第3步：猜想規(guī)律

通過上述特殊情況，我們不難發(fā)現(xiàn)當n=3、6、9時，乙勝，其余情況都是甲勝.由此，我們猜測“當所報數(shù)的個數(shù)是3的倍數(shù)時，后報者勝”，也可以說成“把3的倍數(shù)個數(shù)留給對方，我方贏”.

第4步：證明猜想

上述規(guī)律是根據(jù)許多特殊情況猜測出來的，它不一定是正確的，需要通過證實或證偽.下面我們證明上述規(guī)律“把3的倍數(shù)個數(shù)留給對方，我方贏”.此命題可以改述為“對于所有的自然數(shù)k，把3k個數(shù)留給對方，我方贏”.下面我們用數(shù)學歸納法（注：此法是高中數(shù)學中最重要的方法之一哦）進行證明.

首先，當k=1時，即把3個數(shù)留給對方，根據(jù)上述第③種情況可以得出命題成立.

其次，假設把3（k-1）個數(shù)留給對方，我方能贏，去證明把k個數(shù)留給對方，我方贏.

當有k個數(shù)留給對方后，對方有兩種報數(shù)方式：

第①種，對方報1個數(shù)，則我方報2個數(shù)，還剩3k-3個數(shù)，就把3（k-1）個數(shù)留給了對方，我方贏.

第②種，對方報2個數(shù)，則我方報1個數(shù)，就又把3（k-1）個數(shù)留給了對方，我方贏.

綜上所述，命題對于所有的自然數(shù)k成立.

通過上述探究，我們不難發(fā)現(xiàn)“搶n”游戲的制勝策略是“把3的倍數(shù)個數(shù)留給對方，我方贏”.再回過頭來看“搶30”游戲，不難分析后報者能勝，因為甲、乙需要報數(shù)的個數(shù)是3的倍數(shù)，且甲先報，乙后報，所以乙贏.具體報數(shù)的方法是當甲報1個數(shù)時，乙接著報2個數(shù)；當甲報2個數(shù)時，乙接著報1個數(shù).這樣乙就能始終把3的倍數(shù)個數(shù)留給甲，從而乙能贏.

下面將“搶30”改為“搶31”.由于前面的制勝策略是針對“搶n”游戲的，那么對于“搶31”游戲也應該適用.根據(jù)制勝策略可知先報者能贏，具體報數(shù)的方法是甲先報1個數(shù)，留下30（3的倍數(shù)）個數(shù)給乙，接下去當乙報1個數(shù)時，甲報2個數(shù)，當乙報2個數(shù)時，甲報1個數(shù)，這樣甲就能贏.

綜上所述，從此類問題的解決過程中可以看出，研究制勝策略體現(xiàn)了從特殊向一般的轉(zhuǎn)換過程，而將概率作用（獲勝機會）發(fā)揮到最大化，也表明必勝策略研究是屬于概率研究范疇之內(nèi)的問題，同學們確實應該學會分析、仔細體會、不斷提高.

（作者單位：江蘇省無錫市宜興實驗中學）