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    一題為基一通百通

    2016-11-07 23:40:35張文珠周麗萍
    初中生世界·九年級 2016年10期
    關(guān)鍵詞:摸球個球紅球

    張文珠 周麗萍

    概率問題的探究旨在讓同學(xué)們在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)和發(fā)展隨機(jī)觀念,初步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識.“等可能條件下的概率”是初中數(shù)學(xué)概率部分的重點(diǎn),用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結(jié)果來計算概率是學(xué)好本章的關(guān)鍵,也是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.本文以“摸球?qū)嶒灐睘榛灸P?,和同學(xué)們一起來探究在列舉的過程中如何有條理地思考,并把思考過程有序、直觀、簡捷地呈現(xiàn)出來,使得列舉的結(jié)果不重不漏,從而解決問題并形成解題模型,達(dá)到“一通百通”的目的.

    一、一題為基,外形多變

    例1 一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球,求摸到紅球的概率.

    變1:一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球,記錄顏色后放回,攪勻,再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

    變2:一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1個球,記錄顏色后不放回,攪勻,再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

    變3:一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出3個球.求三次都摸到紅球的概率.

    【分析】 一問:“摸球幾次?”

    請同學(xué)們仔細(xì)閱讀以上例題和變式,你會發(fā)現(xiàn)題目雷同卻存不同,在摸球?qū)嶒炛?,若摸一次球,則利用事件A發(fā)生的概率公式 P(A)=[mn](m為事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù);n為所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù))直接計算概率,如上題中的“例題”直接可求出P(摸到紅球)=[34];若摸球次數(shù)為2次或2次以上,則可以用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結(jié)果來計算概率.這“一問”是解題基礎(chǔ),“摸幾次”的答案直接將題目進(jìn)行分類,從而將題目“定性”;若摸球次數(shù)為2次或2次以上,可根據(jù)摸球的次數(shù)再次將樹狀圖或表格進(jìn)行“定形”.所以,同學(xué)們在審題時,一定要找準(zhǔn)這審題第一問的答案,為以下解題筑好基礎(chǔ).

    二問:“摸球以后放不放回?”

    在多數(shù)摸球?qū)嶒炛?,摸球次?shù)為2次或2次以上,所以,“二問”將目光瞄準(zhǔn)了此類題目.同學(xué)們在審題過程中,要找準(zhǔn)摸球?qū)嶒灥囊?guī)則和方法,找準(zhǔn)關(guān)鍵詞“放回”“不放回”.如“變1”強(qiáng)調(diào)了“放回”,“變2”強(qiáng)調(diào)了“不放回”.此類題目在樹狀圖或表格法的繪制上略有不同,如下:

    在變1、2題中,相同之處為摸球2 次,在樹狀圖中表現(xiàn)為樹狀圖分為兩層(如圖1、圖2);在表格的繪制上表現(xiàn)為表格的第一行和第一列(如圖3、圖4).若摸球3次(如變3題),則樹狀圖分為三層,以此類推.

    兩張樹狀圖的不同之處在于圖1第二層每個枝丫下分了4支,圖2每個枝丫下則分為了3支;兩張表格的不同之處在實驗結(jié)果的矩形對角線上.導(dǎo)致這些不同之處的原因,相信同學(xué)們都已經(jīng)找到了答案,那就是摸球后“放不放回”起了關(guān)鍵性的作用.

    由此可見,同學(xué)們在解題時,一定要找準(zhǔn)關(guān)鍵詞“放回”“不放回”,這是解此類概率題的易錯點(diǎn),也是畫對樹狀圖和表格的重中之重.但是,有一類題沒有明確的導(dǎo)向性字眼,如變3題,敘述為“摸出3個球”,其試驗?zāi)P蜑椤安环呕亍?,這就需要同學(xué)們在審題時結(jié)合生活情境仔細(xì)分析,從而得出“放回”“不放回”的結(jié)論用于解題.這也需要同學(xué)們接觸題目時多思考多總結(jié),找到題目特征,形成一套正確的判斷標(biāo)準(zhǔn).

    三問:“樹狀圖和表格法哪個更適用?”

    “工欲善其事,必先利其器”,只有選對了工具,才能事半功倍.在題目涉及用樹狀圖和表格法解決時,同學(xué)們要思考一下:“樹狀圖和表格法哪個更適用?”當(dāng)試驗中摸球2次,則樹狀圖和表格法都可以用.但實際繪制中可以發(fā)現(xiàn),所有等可能事件的結(jié)果數(shù)量較少時,樹狀圖是一個很好的選擇;反之,所有等可能事件的結(jié)果數(shù)量較多時,表格法更加清晰明了.當(dāng)試驗中摸球3次或3次以上,則表格法就不適用了,這時樹狀圖更加適合.

    【解答】當(dāng)審題三問都明確答案后,進(jìn)入解題程序:

    第一步:用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結(jié)果;

    第二步:結(jié)合題意挑選出符合要求的結(jié)果(為了不漏解,可在圖表上做上恰當(dāng)?shù)臉?biāo)注),并做好分析,如變1分析為“共有16種等可能的結(jié)果,其中‘2次都摸到紅球的有9種”;

    第三步:計算概率,下好結(jié)論,如變1的計算過程為“P(2次都摸到紅球)=[916],即2次都摸到紅球的概率是[916]”.

    【點(diǎn)評】“等可能條件下的概率”中概率值的求得,一定要明確三個要點(diǎn):1.明確題型列結(jié)果;2.找準(zhǔn)目的取所需;3.精準(zhǔn)計算得概率.第一個要點(diǎn)是在“三問”的基礎(chǔ)上得出的;第二個要點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了要根據(jù)題意明確目的找自己需要的結(jié)果,在這一環(huán)節(jié)上,同學(xué)們較容易犯錯,少解、漏解情況頻頻發(fā)生;第三個要點(diǎn)要注意計算的正確性.

    二、一題為基,方法多解

    例2 在一個盒子中裝有紅球、綠球、白球各1個,這三個球除顏色外都相同,小明先從盒子中摸出2個球后放回,小李再從盒子中摸出2個球.請用列表或畫樹狀圖法求他們摸到的4個球恰好包含所有顏色的概率.

    【解答】設(shè)紅—R、綠—G、白—W;

    法1:畫出樹狀圖:

    共有36種等可能的結(jié)果,其中“4個球包含所有顏色”的結(jié)果有24種;

    P(4個球包含所有顏色)=[2436]=[23],

    所以4個球包含所有顏色的概率為[23].

    法2:畫出樹狀圖:

    共有9種等可能的結(jié)果,其中“4個球包含所有顏色”的結(jié)果有6種.P(4個球包含所有顏色)=[69]=[23],所以4個球包含所有顏色的概率為[23] .

    法3:畫出樹狀圖:

    共有9種等可能的結(jié)果,其中“4個球包含所有顏色”的結(jié)果有6種.P(4個球包含所有顏色)=[69]=[23],所以4個球包含所有顏色的概率為[23].

    【點(diǎn)評】法1體現(xiàn)了“一通百通”的精髓,即:摸球摸了4次,小明、小李摸球以后都不放回,但是在樹狀圖的繪制上較復(fù)雜,在找需要的等可能結(jié)果時工作量也較大,容易犯錯;法2用枚舉法直接列舉了小明、小李摸球2次的結(jié)果,將結(jié)果看成整體繪制樹狀圖,本質(zhì)為“不放回”,較為簡潔,但是在枚舉時容易遺漏;法3則是換了一個角度思考問題,考慮的是小明、小李摸球兩次后剩下的球,本質(zhì)為“不放回”,樹狀圖也較為簡潔,但是在找需要的等可能結(jié)果時也需要反向思維.三種方法在解題時都遵循了三要素:明確題型列結(jié)果;找準(zhǔn)目的取所需;精準(zhǔn)計算得概率.在解題過程中的“化繁為簡”也是同學(xué)們在方法、技巧學(xué)習(xí)上的一個升華,這樣往往能夠達(dá)到事半功倍的效果.

    本章內(nèi)容緊密聯(lián)系生活實際,涉及的題目背景內(nèi)容寬泛,但萬變不離其宗,對于題目的“華麗變身”,我們要建立“摸球試驗”的模型,找異同、抓本質(zhì),審題時緊扣“三問”、解題時踐行“三步”、檢驗時遵循“三要”,靈活機(jī)動考慮問題.相信同學(xué)們抓住了這些,就能做到真正的“一通百通”.

    (作者單位:江蘇省無錫市新吳區(qū)第一實驗學(xué)校)

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