數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與離散程度“疑難雜癥”會(huì)診

陸櫻花

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)《數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與離散程度》這一章節(jié)時(shí)，會(huì)遇到一些共性的問(wèn)題，現(xiàn)在我們將相關(guān)的典型錯(cuò)題做如下整理，希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助.

一、認(rèn)清本質(zhì)，算對(duì)平均數(shù)

例1 （2015·廣西玉林）學(xué)校抽查了30名學(xué)生參加“學(xué)雷鋒社會(huì)實(shí)踐”活動(dòng)的次數(shù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制成了條形統(tǒng)計(jì)圖，則30名學(xué)生參加活動(dòng)的平均次數(shù)是_________.

【錯(cuò)誤解答】 x=[3+5+11+114]=7.5.

【診斷分析】30名同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)次數(shù)的平均數(shù)不僅與個(gè)人社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)次數(shù)有關(guān)，還與不同活動(dòng)次數(shù)所對(duì)應(yīng)的人員數(shù)量有關(guān).

【正確解答】

x=[3×1+5×2+11×3+11×43+5+11+11]=3.

二、應(yīng)對(duì)中位數(shù)，排序是關(guān)鍵，奇偶有區(qū)別

例2 學(xué)校團(tuán)委組織“陽(yáng)光助殘”捐款活動(dòng)，九（1）班學(xué)生捐款情況如下表：

則學(xué)生捐款金額的中位數(shù)是 .

【錯(cuò)誤解答】將捐款金額5，10，20，50排序，所以取10和20的平均數(shù)15（元）；將捐款人數(shù)10，12，13，15排序，故12.5（人）.

【診斷分析】對(duì)于這種求表格中數(shù)據(jù)中位數(shù)的題目，首先要看清研究對(duì)象，此處要求研究捐款金額的中位數(shù)，則確定要分析的是以元為單位的那組數(shù)據(jù).

【正確解答】若從小到大排列，則為10個(gè)5，13個(gè)10，12個(gè)20，15個(gè)50，共有50個(gè)數(shù)，則中位數(shù)為第25、26個(gè)數(shù)的平均數(shù)，第25、26個(gè)數(shù)均為20，所以中位數(shù)是20.

三、多則為“眾”，眾數(shù)必存在于原數(shù)據(jù)中

（1）眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而非出現(xiàn)的次數(shù).

例3 某鞋店銷售了9雙鞋，各種尺碼的銷售量如下表：

計(jì)算這9雙鞋尺碼的眾數(shù).

【錯(cuò)誤解答】22出現(xiàn)了4次，所以眾數(shù)為4.

【診斷分析】本題研究對(duì)象是鞋的尺碼，所以眾數(shù)應(yīng)圍繞鞋的尺碼求解.在理解上要明確出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)的次數(shù).

【正確解答】這9個(gè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是22，所以眾數(shù)是22.

（2） 一組數(shù)據(jù)可以同時(shí)有多個(gè)眾數(shù).

例4 10名工人，某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，則這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 .

【錯(cuò)誤解答】15.

【診斷分析】一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè).求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，若幾個(gè)數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時(shí)眾數(shù)就是這多個(gè)數(shù)據(jù).若每個(gè)數(shù)據(jù)都只出現(xiàn)一次，則這組數(shù)據(jù)沒(méi)有眾數(shù).

【正確解答】題中14、15、17都出現(xiàn)2次，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是14、15和17.

四、極差考慮要全面，不確定時(shí)要分類

例5 已知一組數(shù)據(jù)：-1，4，6，x的極差為9，則x的值為 .

【錯(cuò)誤解答】8.

【診斷分析】一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差，即極差=最大值-最小值.本題中，確定的三個(gè)數(shù)據(jù)-1<4<6，6-（-1）=7<9，所以x必為最大值或最小值.當(dāng)x為最小值時(shí)，6為最大值；當(dāng)x為最大值，則-1為最小值 .

【正確解答】x-（-1）=9，x的值為8；6-x=9，x的值為-3.所以x的值為8或-3.

五、方差公式要熟練，重要結(jié)論要記牢

（1） 連續(xù)五個(gè)整數(shù)的方差均為2.

例6 （2015·內(nèi)蒙古包頭）一組數(shù)據(jù)5，2，x，6，4的平均數(shù)是4，這組數(shù)據(jù)的方差是________.

【錯(cuò)誤解答】10.

【診斷分析】方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量，通常用s2表示.計(jì)算時(shí)，經(jīng)常要用到公式s2=[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2].記錯(cuò)公式及計(jì)算能力不過(guò)關(guān)是造成錯(cuò)誤的主要原因.若能巧用“連續(xù)五個(gè)整數(shù)方差為2”這一結(jié)論，此處可起到事半功倍的效果.此結(jié)論說(shuō)明如下：不妨設(shè)連續(xù)5個(gè)整數(shù)為 a-2， a-1，a，a+1，a+2，則這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為a，代入公式得：s2=[15]（4+1+4+1）=2.

【正確解答】2.

（2）①若一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是s2，則數(shù)據(jù)x1+b，x2+b，…，xn+b的方差還是s2；

①若一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是s2，則數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差是a2s2。

③ 若一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是s2，則數(shù)據(jù)的ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差是a2s2.

例7 （2015·貴州遵義）如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的方差是4，那么另一組數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是_______.

【錯(cuò)誤解答】7.

【診斷分析】當(dāng)一組數(shù)據(jù)同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)后，新數(shù)據(jù)的方差不變.

【正確解答】4.

本次“會(huì)診”到此就要結(jié)束了，相信同學(xué)們可以借助診斷結(jié)論，在“作戰(zhàn)”中靈活應(yīng)用，享受不俗的作戰(zhàn)成果！

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）