數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度知識梳理及典型問題

薛飛

《數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度》這一章中我們主要學(xué)習(xí)了體現(xiàn)數(shù)據(jù)集中趨勢的三種“數(shù)”——平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)以及體現(xiàn)數(shù)據(jù)離散程度的兩種“差”——極差與方差.

平均數(shù)分“算術(shù)平均數(shù)”與“加權(quán)平均數(shù)”，我們重點(diǎn)理解加權(quán)平均數(shù).加權(quán)平均數(shù)重在理解什么是“權(quán)”.課本中是這樣定義“權(quán)”的：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅與這組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān).我們把衡量各個數(shù)據(jù)的“重要程度”的數(shù)值叫做“權(quán)”.

例1 學(xué)校食堂午餐供應(yīng)3元、4元和5元三種價格的盒飯，根據(jù)食堂某月銷售午餐盒飯的統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算該月食堂銷售午餐盒飯的平均價格.

【分析】 這個題目給出的兩組數(shù)據(jù)分別是：①午餐盒飯的價格為3元、4元和5元；②不同價格的盒飯所占的比例.題目最后要求的是午餐盒飯的平均價格，也就是說第①組數(shù)據(jù)是題目研究的數(shù)據(jù)對象，第②組數(shù)據(jù)中盒飯所占的比例是“權(quán)”.

解：該月食堂銷售午餐盒飯的平均價格為

[15%×5+25%×3+60%×415%+25%+60%]=3.9（元）.

答：該月食堂銷售的午餐盒飯的平均價格為3.9元.

求中位數(shù)的一般步驟：①把數(shù)據(jù)從小到大排列；②若該數(shù)據(jù)含有奇數(shù)個數(shù)，位于中間位置的數(shù)是中位數(shù)，若該數(shù)據(jù)含有偶數(shù)個數(shù)，位于中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).

例2 有奇數(shù)個數(shù)據(jù)10，20，80，40，30，90，50，40，50，40，60，求這一組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【分析】 把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列10、20、30、40、40、40、50、50、60、80、90，該數(shù)據(jù)含有奇數(shù)個數(shù)，位于中間位置的數(shù)是中位數(shù)，所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為40.

例3 一組數(shù)據(jù)分別為1，2，8，4，3，9，5，4，5，6，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【分析】 首先把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列1，2，3，4，4，5，5，6，8，9，該組數(shù)據(jù)共有10個，所以第5個和第6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)4.5為中位數(shù).

【點(diǎn)評】中位數(shù)的求法一定要注意先排序，后根據(jù)總數(shù)的奇偶來找出中位數(shù)，從例3中可以看出中位數(shù)4.5并不是原始數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)也不一定是原始數(shù)據(jù)中的一個.

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).眾數(shù)可以沒有，可以只有一個，也可以有多個.

例3 一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)后，老師將全班40名學(xué)生的成績整理后繪制成頻數(shù)分布直方圖，判斷下列命題正確的是.

①全班成績的中位數(shù)在84～96這一組；

②全班成績的眾數(shù)在84～96這一組.

【分析】命題①正確，命題②在判斷眾數(shù)的時候往往會掉入陷阱，看到84～96這一組最高，所以眾數(shù)確定就在這一組.舉個反例便知錯在哪里：84～96之間一共是12人，其中84分，85分，86分，87分各3人，而72～84這一組中的9人分?jǐn)?shù)都是80分，顯然全班成績的眾數(shù)不在84～96這一組，所以這題正確的只有命題①.

極差概念簡單，通俗地說就是最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差，反映了一組數(shù)據(jù)的變化范圍.

例4 某位射擊運(yùn)動員射擊5次命中的環(huán)數(shù)分別為6，7，9，10，8，求極差.

【分析】找出最大值和最小值即可，最大值為10環(huán)，最小值為6環(huán)，所以極差為10-6=4.

描述一組數(shù)據(jù)的離散程度還有方差，方差的計(jì)算公式：

s2=[ （x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n].

例6 為了從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們的射擊成績進(jìn)行了測試，5次打靶命中的環(huán)數(shù)如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7.

（1）將下表填寫完整：

（2）根據(jù)以上信息，若你是教練，選擇誰參加射擊比賽，理由是什么？

（3）若乙再射擊一次，命中8環(huán)，則乙這6次射擊成績的方差會 .（填變大或變小或不變）

【分析】通過計(jì)算得出甲乙兩人的平均數(shù)都是8環(huán)，但是甲的極差比乙小，更重要的是甲的方差也比乙小，方差越小越穩(wěn)定，所以教練會選擇發(fā)揮較為穩(wěn)定的甲參加比賽.第（3）問的解決需要用到方差的計(jì)算公式，原來5次射擊的方差是這樣計(jì)算的

s2（5次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）25]，

增加一次8環(huán)的射擊后，方差計(jì)算變成

s2（6次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）2+（8-8）5+12].

不難發(fā)現(xiàn)分子雖然增加了一項(xiàng)，但是分子的值并沒有變化，但是分母卻變大了，所以分子不變，分母變大，最終方差變小.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）