講解“線性代數(shù)與空間解析幾何”時(shí)常見問題

李晶+馮立康+孔婷婷

摘 要： 對(duì)于理工類專業(yè)的大學(xué)生來說，“線性代數(shù)與空間解析幾何”是一門極其重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，這門課程不僅包含的內(nèi)容比較多，而且整本書的邏輯性與抽象性非常強(qiáng).因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)“線性代數(shù)與空間解析幾何”的過程中經(jīng)常會(huì)遇到各種問題，為了更深入地理解這門學(xué)科，本文從以下三個(gè)方面進(jìn)行講解：定理中“充要條件”的深入理解；向量組的線性相關(guān)性；特征值與特征向量的概念及性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 充要條件 線性相關(guān)性 特征值與特征向量

一、引言

“線性代數(shù)與空間解析幾何”這門學(xué)科的教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生的能力，比如空間聯(lián)想、抽象思維、創(chuàng)造性思維、邏輯思維和自學(xué)等，而培養(yǎng)這些能力的前提條件是先讓學(xué)生理解基本概念和掌握基本理論，學(xué)會(huì)分析問題、解決問題的基本方法；最主要的是能夠充分了解各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及其內(nèi)在聯(lián)系；充分利用所學(xué)基礎(chǔ)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行推理證明，快速計(jì)算；充分將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到解決簡單的實(shí)際問題中.但是在教學(xué)過程中，經(jīng)常有學(xué)生反映“線性代數(shù)與空間解析幾何”這門學(xué)科內(nèi)容的層次太多，學(xué)起來比較難，找不到內(nèi)容的核心，更不能將所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來.為了解決這一問題，下面我們將結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，闡述“線性代數(shù)與空間解析幾何”這門學(xué)科中常見的問題，針對(duì)這些問題給出幾點(diǎn)建議.

二、知識(shí)體系

“線性代數(shù)與空間解析幾何”這門課程的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是：行列式，矩陣及相應(yīng)的運(yùn)算，向量、向量空間及歐式空間，線性方程組（分為齊次線性方程組和非齊次線性方程組），特征值和特征向量的相關(guān)內(nèi)容，相似矩陣，二次型等.這門課程實(shí)際上是將代數(shù)與幾何融為一體，具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，代數(shù)為幾何做鋪墊.與此同時(shí)，代數(shù)又在原有幾何空間的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展，課程重點(diǎn)在“線性代數(shù)”上.“線性代數(shù)”研究的核心內(nèi)容是討論線性方程組何時(shí)有解；若有解，討論其解是否唯一；若解不唯一，那么討論其解的結(jié)構(gòu)并研究方程組的解法.這門學(xué)科中之所以包含其他內(nèi)容，是因?yàn)槠渌麅?nèi)容為解方程組提供了便利.行列式作為常用的數(shù)學(xué)工具，為解方程組做了鋪墊——克拉默法則，但是克拉默法則本身又具有一定的局限性：它只能解決含有n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組解的問題.為了能更好地解決線性方程組的有關(guān)問題，我們又引入了矩陣的知識(shí)，進(jìn)而了解了矩陣的初等變換，而矩陣的初等變換為解決線性方程組提供了非常便利的條件.那么在教學(xué)過程中，對(duì)于“線性代數(shù)與空間解析幾何”這門學(xué)科來說具體有哪些問題呢？下面將一一列舉.

三、“線性代數(shù)與空間解析幾何”中常見的問題

1.定理中“充要條件”的深入理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，“充要條件”經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在各種題型中，尤其是在一些證明題中.“充要條件”包含了兩層含義，一個(gè)是充分性，一個(gè)是必要性，“充要條件”的證明實(shí)際上是一個(gè)雙向證明的過程，這對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說并不難理解，但是，由于對(duì)這一定義理解得不夠透徹，導(dǎo)致學(xué)生在證明“充要條件”的過程中容易混淆充分性及必要性的證明方向.本文將從定義、證明、性質(zhì)及其對(duì)應(yīng)的應(yīng)用等方面闡述“充要條件”的深層含義.

四、結(jié)論

本文重點(diǎn)介紹了“線性代數(shù)與空間解析幾何”教學(xué)中遇到的幾個(gè)常見的問題，主要集中在三個(gè)方面：對(duì)定理中出現(xiàn)的“充要條件”字眼的深入理解；對(duì)向量組的線性相關(guān)性的討論；特征值與特征向量的概念及其性質(zhì)的靈活應(yīng)用.“線性代數(shù)與空間解析幾何”是一門基礎(chǔ)學(xué)科，在各種代數(shù)分支中占據(jù)首要地位.由于這門學(xué)科比較抽象，學(xué)生普遍抓不住重點(diǎn)，多數(shù)同學(xué)只是掌握了代數(shù)方面的計(jì)算方法，卻忽略了這門學(xué)科的基礎(chǔ)概念和性質(zhì)的應(yīng)用，以及它們的內(nèi)在聯(lián)系和用途.要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)，對(duì)定義和定理的深入剖析至關(guān)重要.

參考文獻(xiàn)：

[1]于朝霞，張?zhí)K梅等.線性代數(shù)與空間解析幾何（第二版）.北京：高等教育出版社，2016.

[2]徐榮.《線性代數(shù)》課程學(xué)習(xí)技巧探討.中國教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011（2）：27-28.

[3]馬柏林，鄧愛珍.線性代數(shù)與解析幾何.科學(xué)出版社，2001.