中考數(shù)學(xué)中的幾何最值問題

姚婉若

最值問題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是中考命題的熱點(diǎn)，它是初中數(shù)學(xué)中的常見問題.這類問題出現(xiàn)的試題，內(nèi)容豐富，知識點(diǎn)多，涉及面廣，解法靈活多樣，且具有一定的難度.它主要是考查變量之間的變化規(guī)律，從而確定其最大值或最小值，一般分為代數(shù)最值問題和幾何最值問題.代數(shù)最值問題是利用函數(shù)的性質(zhì)研究變量之間的變化規(guī)律，從而確定最值；幾何最值是利用幾何的基本性質(zhì)研究變量之間的變化規(guī)律，從而確定最值.

在平面幾何的動態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)及它們的和與差）的最大值或最小值問題，被稱為幾何最值問題.解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對稱、平移、折疊的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用圓求最值；（5）應(yīng)用其他知識求最值.下面選取近年來幾道有關(guān)例題，依托例題分析，總結(jié)中考數(shù)學(xué)中關(guān)于幾何最值問題的常見解題方法.

1.正方體（長方體）、圓錐（圓柱）中的最值問題：此類問題往往是將空間圖形沿棱或母線剪開，轉(zhuǎn)化為平面圖形，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來找出最短的路線，從而求出最值.

例：如圖圓錐的底面半徑為1，母線長為3，一只螞蟻從底面圓周上的B出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬到母線AB的軸截面上另一母線AC的中點(diǎn)D，問螞蟻沿怎樣的路線爬行，使路程最短？最短路程是多少？

解：圓錐側(cè)面展開圖如圖所示∠BAD==60°

在Rt△ABD中，AD=Atan60°=答：螞蟻爬行的最短路程是.

2.運(yùn)用“三角形兩邊之和大于第三邊”求最值.

例：已知邊長為α的等邊三角形ABC，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點(diǎn)C在第一象限，連接OC，則OC的長的最大值是？搖 ？搖.

解：取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD、OC，則OD=a，且CD⊥AB，∴CD=a，當(dāng)C，D，O三點(diǎn)共線時，

OC=OD+CD，否則OC

分析：本題求一條線段的最大值，關(guān)鍵是抓住斜邊長度確定，斜邊上的中線長也確定，利用三角形兩邊之和大于第三邊，尋找突破口從而求解.

3.運(yùn)用軸對稱或平移，結(jié)合“三角形兩邊之和大于第三邊”求最值.

例：在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，2），B（1，5）.

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），當(dāng)m=？搖 ？搖時，△PAB的周長最短；

（2）若點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，a）、（0，a+4），則當(dāng)a=？搖 ？搖時，四邊形ABCD的周長最短.

解：（1）如圖，過點(diǎn)A作關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P的位置.

解：（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，則A′的坐標(biāo)為（-3，2），把A′向上平移4個單位得到點(diǎn)B′（-3，6），連接BB′，與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的位置.

分析：問題（1）中AB長度一定，只要AP+BP長度最小，周長就最小，△PAB周長的最小值問題轉(zhuǎn)為求一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離和的最小值問題，通過作對稱點(diǎn)的方法，當(dāng)三點(diǎn)共線時，兩條線段和最小.

問題（2）要使四邊形ABCD的周長最小，注意到AB、DC的長為定值，故只需AC+BD最小，用軸對稱及平移方法設(shè)法將BD、AC集中到一條直線上解決問題，此時AC+BD=B′D+BD=BB′最小.

4.折疊最值：折疊背景下的最值問題，考查的是動手操作能力和合情推理能力，方法是（1）在折疊中感受大小變化規(guī)律，（2）通過特殊位置求最值.

例：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)E、F分別在線段AB、BC上，將△BEF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處.如圖，當(dāng)B′在AD上時，B′D的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：可以想象兩個極端情況：

①如圖1，當(dāng)F點(diǎn)無限接近C點(diǎn)，此時B′F=BC=5，CD=3，所以B′D=4，

這是B′D的最大值.

②如圖2，當(dāng)E點(diǎn)無限接近A點(diǎn)，此時B′E=B′A=AB=3，所以B′D=5-3=2.

這是B′D的最小值.

5.運(yùn)用“垂線段最短”求最值.

例：如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為？搖 ？搖.

分析：連接OQ、OP，可得PQ=OP-OQ，而OQ為定值，所以只需OP最短即可，運(yùn)用“垂線段最短”可知，當(dāng)OP⊥AB時，OP最短.

6.構(gòu)造圓求最值.

例：如圖，等腰直角三角形ABC，斜邊AC長為4，D是斜邊AC的中點(diǎn)，直角∠FDE分別交AB、BC于E、F，則線段EF的最小值是？搖 ？搖.

分析：因為∠FDE+∠ABC=180°，所以點(diǎn)B、F、D、E四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上，在這個圓中，總有EF≥BD，所以它的最小值等于BD的長.

例：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（，0），B（3，0），C（0，5），點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，且∠ADB=60°.線段CD的長的最小值為？搖 ？搖.

分析：由∠ADB=60°得D在一個圓的圓周上運(yùn)動，該圓為⊿ABD的外接圓，不妨先讓△ABD為等邊三角形，方便求出圓心P（21），連接CP交該圓于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在點(diǎn)C、P之間，這時CD的長最小.

7.線段差求最大值：可運(yùn)用“三角形兩邊之差小于第三邊”求最值.

例：已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO.試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大？

分析：存在點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大.∵點(diǎn)O、點(diǎn)E關(guān)于直線x=對稱，∴TO=TE要使得|TO-TB|的值最大，即是使得|TE-TB|的值最大，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)T、E、B三點(diǎn)在同一直線上時，|TE-TB|的值最大.