高等代數(shù)的技巧命題探討

郭 茜，吳貴康（成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130）

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高等代數(shù)的技巧命題探討

郭 茜，吳貴康
（成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130）

摘 要：學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練是教學(xué)工作的重要任務(wù)，而高等代數(shù)是數(shù)學(xué)系學(xué)生必修的課程.本文從題帶參數(shù)，逆轉(zhuǎn)命題和一題多解三個(gè)方面討論教師如何運(yùn)用高等代數(shù)的技巧命題來提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；數(shù)學(xué)命題；數(shù)學(xué)教育；學(xué)生思維

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)系學(xué)生必修的專業(yè)課，如何通過高等代數(shù)命題來反映教學(xué)中的重難點(diǎn)，檢驗(yàn)學(xué)生對知識的掌握程度，是高等代數(shù)教學(xué)工作的一個(gè)重要環(huán)節(jié)；合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)命題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是授課老師必須關(guān)注的問題.本文主要從題帶參數(shù)，逆轉(zhuǎn)命題和一題多解這三個(gè)方面討論教師如何運(yùn)用高等代數(shù)命題在教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.本文中相關(guān)概念參考文獻(xiàn)［1］.

1 題帶參數(shù)，訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性，主要指思路開闊，善于全面考慮問題［2］.為了培養(yǎng)學(xué)生思路的廣闊性，可以建立帶有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題，因它隨著參數(shù)的變化而變，其結(jié)果一般不確定，需要學(xué)生多方位的去分析解答，產(chǎn)生廣泛聯(lián)想.例如在設(shè)計(jì)求解線性方程組的問題時(shí)，我們可以通過在系數(shù)矩陣的設(shè)置上適當(dāng)添入一些參數(shù)，讓學(xué)生在解題的過程中對參數(shù)進(jìn)行討論，從而在一道試題中全面考查到線性方程組求解理論的全部知識點(diǎn).

例1 求下列線性方程組的一般解，其中a，b為任意實(shí)數(shù).

解

當(dāng)b≠3時(shí)，方程組無解；

當(dāng)b=3，a=2時(shí)，方程組的通解為

（-8,6,0,0）'+k1（10,-7,1,0）'+k2（8,-7,0,1）'其中 k1，k2為常數(shù)；

當(dāng)b=3,a≠2時(shí)，方程組的通解為 （-8,6,0,0）'+k1（10,-7, 1,0）'其中k1為常數(shù).

又如，求一個(gè)多項(xiàng)式f（x）重根的問題，如果多項(xiàng)式的系數(shù)只是數(shù)字，這樣的題目放在大題上就會(huì)顯得單薄.于是可以考慮在系數(shù)中適當(dāng)?shù)募尤胍恍﹨?shù)，做到既不過多的增加計(jì)算量，又可以讓學(xué)生運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法理論中的相關(guān)知識點(diǎn)對參數(shù)進(jìn)行討論，最后依據(jù)討論的情況得到答案.

例2 求t值，使f（x）=x3-6x2+tx-8有重根.

解 因?yàn)閒（x）有重根的充分必要條件是f（x）與f'（x）公共根，為此求f（x）與f'（x）的最大公因式.作輾轉(zhuǎn)相除法得

于如果t≠12，則

因?yàn)槿绻╢（x）,f'（x）=1，則f（x）沒有重根；所以，當(dāng)f（x）有重根時(shí)，（f'（x）,2x-1）就必須等于x+1，即f（x）有2重根-1，此時(shí)必有f'（-1）=0，可算出t=-15.

總結(jié)以上討論，可得當(dāng)t=12時(shí)，f（x）有3重根2；當(dāng)t=-15時(shí)，f（x）有2重根-1.

財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)的防范控制一直以來都是國內(nèi)外企業(yè)經(jīng)營管理領(lǐng)域研究的重要方面。隨著我國改革開放的深入和世界經(jīng)濟(jì)一體化的加快，而目前很多企業(yè)存在著財(cái)務(wù)結(jié)構(gòu)不合理，融資不恰當(dāng)?shù)仍?，面臨的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)也逐漸的增加，因此企業(yè)財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)的防控管理研究越來越受到學(xué)術(shù)界的關(guān)注，很多企業(yè)期望通過財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)管理的辦法來降低企業(yè)面臨的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)，促進(jìn)企業(yè)穩(wěn)定、長遠(yuǎn)的快速發(fā)展。雖然很多公司在財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)管理方面做出了一些努力，但是依舊存在著一些問題，阻礙了企業(yè)的發(fā)展。由此，本文對企業(yè)財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)管理存在的問題展開分析，提出相應(yīng)的改進(jìn)策略，幫助企業(yè)提升財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)管理水平，為企業(yè)的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)管理提供一些參考價(jià)值。

2 逆轉(zhuǎn)命題，訓(xùn)練思維的逆向性

克魯切茨基認(rèn)為，組成數(shù)學(xué)能力特殊因素的基本成分中，包括了逆轉(zhuǎn)心理過程能力，即從順向的思維轉(zhuǎn)到逆向思維里.所以，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)適時(shí)地將原命題逆向轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生去思考它的逆命題是否成立，并且對于不成立的情況，有沒有方法使逆命題成立；或者構(gòu)造一個(gè)反例.

例3設(shè)f（x），g（x），h（x）為任意多項(xiàng)式，且f（x）≠0，如果（f（x）,g（x）h（x）=（f（x）,h（x），那么（f（x）,g（x）=1是否成立？

解 它的原命題是如果（f（x）,g（x）=1，那么（f（x）,g（x）h（x）=（f （x）,h（x）.在證明了原命題以后，還可以進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生去思考它的逆命題是否成立，對此可以構(gòu)造如下的反例，如f（x）= （x+3）（x-2）,g（x）=（x+3）,h（x）=（x-2）2（x+3），則（f（x）,g（x）h（x）=f（x）,h（x）= （x+3）（x-2），但是（f（x）,g（x）=（x+3）≠1.

例4 特征值都是實(shí)數(shù)的實(shí)矩陣是對稱矩陣.

解 此命題是“實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)［3］”的逆命題.可以利用特征值構(gòu)造矩陣，顯然A的特征值就是1,5,3.它們都是實(shí)數(shù)，但是很明顯A≠A'，于是逆命題不真.

3 一題多解，訓(xùn)練思維的發(fā)散性

思維定勢對解決相同類型的問題有積極的作用，思維的靈活卻能針對不同問題善于迅速地引起聯(lián)想，建立聯(lián)系［3］.而培養(yǎng)學(xué)生具有靈活性的數(shù)學(xué)思維，離不開數(shù)學(xué)題的練習(xí).教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在解題時(shí)多進(jìn)行一題多解，并以此將一個(gè)問題相關(guān)的多個(gè)知識點(diǎn)有機(jī)的串聯(lián)起來，內(nèi)化形成自己的知識體系，從而達(dá)到對知識更深刻的理解和掌握.

解 這個(gè)題目是文［1］的一道習(xí)題，在［5］中提供了用數(shù)學(xué)歸納法來求解，教師在習(xí)題評講時(shí)采用了化三角法，把行列式按第n列展開，再求解.隨后學(xué)生又給出了另外一種計(jì)算方式，就是把第一行乘以1/x，加到第二行，消去-1；然后把第二行乘以1/x，加到第三行，消去-1；…；直到把第n-1行乘以1/x，加到第n行，消去-1.

例6 設(shè)P為數(shù)域，給出P3的兩個(gè)子空間為

證明 P3=W1⊕W2

證明 這個(gè)例題主要是證明“和是直和”，可以利用不同的判別條件分別進(jìn)行證明.這里一共展示了三種證明方式，面對不同的題目，可以選擇最優(yōu)的方式解答.

證法1 易知W1=L（1,0,1）,（0,0,1），W2=L（1,1,1），?（x1,y1, z1）∈P3，有

因而P3=W1+W2.又維（W1）=2，維（W2）=1，從而維（W1）+維（W2）=維（W1+W2），故P3=W1⊕W2.

證法2 對于P3=W1+W2，設(shè)（x1,y1,z1）∈W1∩W2，則有（x1, y1,z1）∈W1，可推出x1=y1=z1.由（x1,y1,z1）∈W2，可推出x1=0，因此，x1=y1=z1=0，即W1∩W2=｛0｝，從而P3=W1⊕W2.

證法3 對于P3=W1+W2，取W1的基（1，0，0），（0，0，1），取W2的基（1，1，1），顯然有（1，0，0），（0，0，1），（1,1,1）為P3的基，即W1與W2的基的聯(lián)合為P3=W1+W2的基，因此P3=W1⊕W2.

當(dāng)然，利用高等代數(shù)去培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的方式方法還有很多，這里只能列舉一部分，更多的需要在教學(xué)中不斷去探索和總結(jié).

參考文獻(xiàn)：

〔1〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，王萼芳石生明修訂.高代代數(shù)（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2013.

〔2〕濮安山.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論（修訂版）［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

〔3〕胡典順，徐漢文.數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社，2012.

〔4〕梁武，杜玉霞，段鵬舉.高等代數(shù)中的反例研究［J］.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，26（4）：93-95.

〔5〕王萼芳，石生明.高代代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答［M］.北京：高等教育出版社，2014.

中圖分類號：O151

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）06-0001-02

收稿日期：2016-03-30

基金項(xiàng)目：四川省教育廳自然科學(xué)基金（15ZB0346），成都師范學(xué)院科研基金項(xiàng)目（CS14ZB06）