數學基本活動經驗：數學核心素養(yǎng)的“營養(yǎng)基”

【摘要】數學基本活動經驗是數學基本活動的“過程”與“對象”的有機統一，是數學思維模式與認知方式的綜合習得，數學直覺為其最高表現層次。數學基本活動經驗是學生數學核心素養(yǎng)的本原與根基。問題驅動的數學活動教學能有效促進學生獲得生動且深刻的數學基本活動經驗。

【關鍵詞】經驗；數學基本活動；數學基本活動經驗；數學核心素養(yǎng)；問題驅動

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）21-0032-03

【作者簡介】陸曉林，江蘇省海安縣實驗小學（江蘇海安，226600），高級教師，南通市數學學科帶頭人。

不同學科在學生核心素養(yǎng)的涵育中具有獨特且不可替代的功能和價值。鄭毓信教授認為，學生數學核心素養(yǎng)的著力點是通過數學學會思維，尤其是創(chuàng)造性思維。創(chuàng)造的心理本質是基于問題解決活動經驗基礎之上的直覺、靈感與頓悟，因此，基本活動經驗成為數學課程的直接目標是課改的必然要求。

一、數學基本活動經驗內涵再探：數學基本活動“過程”與“對象”的有機統一

1.什么是經驗？

對“經驗”一詞常見的理解主要有三：一是經歷、體驗；二是泛指由實踐得來的知識、技能或由歷史證明了的結論；三是指感性認識。在教育哲學領域，美國教育家杜威認為，經驗包括經驗的事物和經驗的過程，是活動的過程和結果，也是課程與教學的基礎構件。

經驗不同于知識，知識是經驗的結晶，經驗是知識的源泉。經驗也不同于技能與能力，技能與能力有強弱和不同方面的表現，直接影響活動的效率，通過訓練獲得，經驗更為綜合、內隱，是個性化的感悟，難以說明其強弱或有無。從廣義上講，經驗是人們在實踐中形成的一種過程性知識與活動圖式，是行事方式與思維模式的綜合、個性化、原生態(tài)的內部習得。普遍認為，經驗由知識的、技能的、情感的和觀念的四種成分構成，如同一個完美的四面體，四種成分是其不同的側面，相輔相成，相生相融。

2.什么是數學基本活動？

數學活動在歷史上有兩條不同的路徑：一是以中國古代數學為代表的歸納體系，重視經驗性算法；二是以古希臘數學為代表的演繹體系，強調形式化證明。美籍匈牙利數學家波利亞曾說：“數學具有兩個面……以歐幾里得方式表現出來的數學看上去是一種系統的演繹科學；但在形成過程中的數學看上去是一種實驗性的歸納科學?！弊罨?、最核心的數學活動是以經驗為特征的歸納發(fā)現活動和以邏輯為特征的演繹論證活動，數學歸納活動與數學演繹活動應稱為“數學基本活動”。

依據新課標提出的“數學活動經驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀”和十個核心概念，教學實踐層面的數學基本活動及經驗可以具體化為三類：一是“做數學”的“操作—探究”類活動，獲得的是直接的實踐經驗；二是“想數學”的“思辨—建構”類活動，獲得的是間接的思維經驗；三是“用數學”的“情境—問題”類活動，獲得的是兼顧直接與間接的復合經驗。

3.什么是數學基本活動經驗？

從哲學的視角看，數學基本活動經驗是數學基本活動“過程”（經歷活動的所有程序和階段）與“對象”（在活動過程中形成的感性認識、情緒體驗、思維方法、應用意識等）的有機統一，體現了活動過程、情緒體驗與思維經歷的完整性和自然性。過程是第一性的，是經驗的物質所在；對象是第二性的，是經驗的精神存在。從數學學習的角度看，數學基本活動經驗是學習者參與數學基本活動過程（經歷歸納與演繹的完整過程）形成的過程性知識與活動圖式，是生成積淀的數學思維模式和認知方式的綜合。

完整的數學基本活動始于數學歸納、完善于數學演繹，以直觀的操作探究性活動和特例的觀察、分析與聯想為起始，通過算法化與形式化的過程逐步涵育思維模式，進而形成個性化的數學直覺。即數學基本活動經驗可分為三個層次：底層是直觀活動和特例觀察的經驗，中間層是算法化與形式化的經驗，最高層是數學直覺。

二、數學基本活動經驗價值再思：數學核心素養(yǎng)的“營養(yǎng)基”

1.從“事實性課程”到“實踐性課程”的必然選擇。

過去，數學課程一味追求知識的系統性、邏輯性、抽象性，注重知識傳遞，課程即知識，課程即教材，學生缺乏再創(chuàng)造的數學化經驗，好奇心、判斷力、創(chuàng)造力等被缺席。事實上，數學的產生、發(fā)展并不是嚴格按照邏輯逐步推演出來的，邏輯只是數學生長、發(fā)展過程中“體檢”“保健”與“治療”的手段，問題與經驗才是數學繁衍、發(fā)育、成長的“一日三餐”，在與數學相關的問題中，直覺比嚴密的邏輯過程起著更為重要的作用。數學是可誤、可糾正、動態(tài)發(fā)展的，是學生在活動中“生產”出的若干經驗之間的意義、關系與過程。數學基本活動經驗成為課程目標，是數學課程由“事實”（數學概念、定理、法則等知識）堆積到“實踐”（操作、探究、實驗或經歷、體驗數學化與形式化的過程等數學活動）存在的必然選擇。

創(chuàng)新意識與能力是核心素養(yǎng)的構成與表征，數學創(chuàng)造的過程是高度聚焦某個數學問題產生的直覺與頓悟，依賴于長期的基本活動經驗積累。數學的實踐性決定了基本活動經驗是數學核心知識、創(chuàng)造性思維、基本思想方法和積極情感態(tài)度形成、發(fā)展的基礎，可稱為數學核心素養(yǎng)的“營養(yǎng)基”。

2.從“以知識為目的”到“以兒童為目的”的本原回歸。

靜態(tài)數學觀下的數學是一門純粹的演繹科學，課程只是預設的學習“跑道”。以知識為目的的數學教育，課程是中心，課中無“人”，輕視個人體驗，漠視甚至反對主觀知識。新課標把基本活動經驗作為學生必須獲得的發(fā)展基礎之一，提倡“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發(fā)展”，是對主體經驗及經驗價值的認可，是課程以兒童為目的的本原回歸。要獲得數學基本活動經驗，必須回到數學發(fā)生、發(fā)現、發(fā)展的初始樣態(tài)，讓學生在再創(chuàng)造的過程中收獲“經驗的數學”和“數學的經驗”。關注基本活動經驗，本質是關注兒童生命發(fā)展的狀態(tài)。課程只有聚焦于兒童與兒童經驗才有意義，因為只有在經驗中，任何理論才具有活力和證實的意義。

三、數學基本活動經驗教學策略再尋：問題驅動的數學活動教學

德國數學家希爾伯特說：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題的缺乏則預示著這門科學獨立發(fā)展的衰亡或終止……數學這門科學究竟以什么作為其問題的源泉呢？在每個數學分支中，那些最初、最古老的問題肯定是起源于經驗?！碧K聯數學教育家斯托利亞爾認為：“數學教學是數學活動的教學……提高學生數學活動能力的最有效的方法是‘通過問題教學?！笨梢姡瑪祵W研究、發(fā)展與學習以問題為動力和核心，問題來自經驗，也是數學活動教學的關鍵所在。圍繞讓學生獲得生動且深刻的數學基本活動經驗與良好的數學基本素養(yǎng)，我們提出了問題驅動的數學活動教學的基本策略。

1.課堂結構板塊化：聚焦核心知識整體性經驗的生成與結晶。

課堂結構板塊化，即課堂數學活動呈現以核心知識（核心知識通常用突出關鍵內容與知識本質、彰顯基本思想與方法、反映主要聯系的本原性問題來表征）為中心、板塊的組織形態(tài)具有開放性、多維性、多向鏈接性，板塊的劃分與安排要基本遵循數學知識結構、教材結構、學生認知與能力結構動態(tài)統一的原則，其中每個板塊又可以根據需要以衍生知識點為次級中心，形成多層次、蛛網式的板塊結構。

以蘇教版二下《認識角》一課為例。全課圍繞“角是什么樣的圖形”這一本原問題，安排了三個板塊（如圖1），對核心知識的探究各有指向，讓學生從角的外顯特征（不封閉）、角的靜態(tài)描述（從一點引出兩條射線）、角的動態(tài)刻畫（一條射線繞端點旋轉而成）三個層面豐富體驗、積累經驗、深化認知，逐步貼近角的數學本質。板塊間也是相互聯系與驗證的，角的外顯特征是由邊的特性、數量所決定的，靜態(tài)意義與動態(tài)意義只是研究視角不同，能為學生后續(xù)學習、深入研究角的知識儲備較完整且貼近本質意義的形式化“前經驗”。板塊化的教學更整體、更上位，更大的思考與探究空間有利于積淀豐富鮮活、生長力強、聚焦核心知識的活動經驗。

2.板塊設計活動化：關注“再創(chuàng)造”的數學化經驗與基本思想的持續(xù)沉積。

課程內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法，過程與結果、經驗生成與思想積淀的有機融合必須依附于數學活動的有效組織與教學。數學活動是一個組織經驗領域的活動，學習的過程必須含有直接創(chuàng)造的側面，用“發(fā)生的方法”來教數學，抓住數學實踐性的本質，突出再創(chuàng)造的數學化過程，持續(xù)滲透歸納、演繹的基本思想。

以蘇教版二上《認識厘米》一課的教學為例。一是討論辨析活動：為什么要有長度單位？創(chuàng)設沖突情境，引導學生體會度量標準統一的必要性。二是體驗建構活動：1厘米有多長？引導學生通過觀察、比劃、試畫、尋找1厘米建立概念表象。三是操作探究活動：直尺是怎么創(chuàng)造出來的？引導學生用1厘米小棒首尾相連粘貼成“小棒尺”，復演直尺的創(chuàng)造過程。四是應用實踐活動：直尺怎么使用？引導學生用直尺測量和畫線段，內化度量的技能。教學著力于復演前人為什么要創(chuàng)造和怎樣創(chuàng)造直尺的活動，學生能直觀地“看見”并“做出”數學本身，教學的過程與結果真正實現了統一。

3.活動教學問題化：涵育積極的問題意識與求

知態(tài)度。

以問題引導學習應當成為數學教學的一條基本原則。問題既能反映數學知識的組織結構，也能引領、驅動學生開展數學學習活動。問題從何而來？一是學生提出的觸及內容本質的本原性問題；二是教師預設的反映課程內容的關鍵性問題。教師應注重培養(yǎng)學生的發(fā)問意識和質疑能力，以學生問題為起點，以教師問題為引導，以學科本原性問題為目標，在這樣的教學中，學生興趣度高，探究主動性強，體驗會更深刻，生成積淀更豐富，創(chuàng)造性也最活躍。

以蘇教版五下《圓的認識》一課的教學為例。在學生提出想要探究的問題后，師生共同梳理，明確本課的本原性問題：圓有什么基本特征？帶著這一問題，學生思考三個不同的問題并動手操作：怎樣才能畫出圓？怎樣畫更大的圓？利用有彈性的橡皮筋能畫出圓嗎？先讓學生學會畫圓技能，種植直接經驗；再使學生明白“半徑決定大小”，生長間接經驗；最后直抵知識的本質，發(fā)現“一中同長”是圓的本質特征。

綜上所述，板塊化的設計更顯數學活動的簡約，問題驅動的策略、再創(chuàng)造的數學學習方式能使學生生成的經驗更加豐富、生動且深刻。教師應堅持把核心知識、創(chuàng)造性思維、基本思想方法、積極的問題意識和求知態(tài)度根植于數學基本活動經驗，如此，學生數學素養(yǎng)的生長與發(fā)展將會更加枝繁葉茂。

【參考文獻】

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3]約翰·杜威.民主主義與教育[M].王承旭，譯.北京：人民教育出版社，2001.

[4]希爾伯特.數學問題[M].李文林，袁向東，譯.大連：大連理工大學出版社，2009.

[5]A.A.斯托利亞爾.數學教育學[M].丁爾陞，等，譯.北京：人民教育出版社，1984.

[6]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.