整體教學(xué)法在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

虞盛啟

[摘要]函數(shù)是高中教學(xué)的主線，函數(shù)的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。由于高中函數(shù)內(nèi)容的抽象性、分散性以及函數(shù)應(yīng)用的廣泛性、隱蔽性，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)大多數(shù)存在“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”的感覺(jué)，經(jīng)探究與實(shí)踐，筆者采用整體教學(xué)法進(jìn)行高中函數(shù)的教學(xué)，取得了較好的教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞]高中函數(shù)；整體教學(xué)法；函數(shù)結(jié)構(gòu)圖；函數(shù)教學(xué)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要板塊，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，函數(shù)的教學(xué)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中起到了橫向聯(lián)系和紐帶的作用，不僅貫穿于高中代數(shù)的全過(guò)程，也應(yīng)用于幾何問(wèn)題的解決（如在關(guān)于方程、不等式、解析幾何等知識(shí)學(xué)習(xí)中，函數(shù)的思想方法是最有力的工具），而且在以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)、微分方程及泛函分析等高等數(shù)學(xué)課程中，也是以函數(shù)作為基本概念和研究對(duì)象。另外，函數(shù)因其具有高度的抽象性和數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的廣泛，也是歷年高考考查的重頭戲。但是由于主觀和客觀上的諸多原因，大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)會(huì)有“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”、“丈二和尚摸不到頭腦”等現(xiàn)象。所以說(shuō)函數(shù)的教學(xué)既是高中教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，因此，如何更好地完成高中函數(shù)的教學(xué)任務(wù)，是我們每一位高中數(shù)學(xué)教師值得思考與探究的問(wèn)題。

一、高中函數(shù)的教學(xué)思路與方法———整體教學(xué)法

筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，多半老師在進(jìn)行函數(shù)教學(xué)時(shí)以章按節(jié)，照本宣科，往往只注重局部函數(shù)知識(shí)的教學(xué)，缺乏對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整合與聯(lián)系。例如在必修一的函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，有些老師不能很好地從整體上把握函數(shù)概念的教學(xué)目標(biāo)，不了解函數(shù)概念的教學(xué)不僅要以初中學(xué)習(xí)的函數(shù)基礎(chǔ)做鋪墊而且應(yīng)與后繼的基本初等函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來(lái)“螺旋上升”，而是急切地期望學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念理解能一步到位，于是對(duì)抽象的函數(shù)符號(hào)深扣深挖，并設(shè)置一些抽象的函數(shù)概念題進(jìn)行訓(xùn)練，結(jié)果把學(xué)生搞得暈頭轉(zhuǎn)向，從而對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)形成了一種恐懼心理，甚至影響后繼函數(shù)學(xué)習(xí)的信心。終其原因，主要是由于老師缺乏函數(shù)教學(xué)的整體觀念，不能很好地從整體上把握函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容以及設(shè)定相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)。經(jīng)思考與探究，筆者在教學(xué)中采用 “整體教學(xué)法”進(jìn)行高中函數(shù)的教學(xué)，所謂整體教學(xué)法就是根據(jù)系統(tǒng)科學(xué)的整體原理，重視學(xué)科結(jié)構(gòu)，所以整體教學(xué)法又稱為結(jié)構(gòu)教學(xué)法，20世紀(jì)50年代初布魯納就推崇結(jié)構(gòu)主義教學(xué)論，他提出了學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，他認(rèn)為教師的教學(xué)要重視學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，要對(duì)教材的結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，要幫助學(xué)生獲取和掌握學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。事實(shí)證明，掌握學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)有助于更好地設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移，提高學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效果。這里所謂的“學(xué)科結(jié)構(gòu)”指一門學(xué)科的概念、原理、思想、方法及其相互聯(lián)系形成整體。系統(tǒng)科學(xué)的整體原理告訴我們，學(xué)習(xí)和研究的最佳策略應(yīng)遵循這樣的公式：整體→部分→整體，即首先要認(rèn)識(shí)學(xué)科的整體輪廓即學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)，初步獲得學(xué)科的大體印象，然后再去研究部分，最后才能深入地認(rèn)識(shí)完整的整體。在進(jìn)行高中函數(shù)教學(xué)時(shí)，筆者首先精心梳理函數(shù)相關(guān)知識(shí)的結(jié)構(gòu)圖，在開(kāi)始學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時(shí)首先給學(xué)生呈現(xiàn)函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)，并介紹結(jié)構(gòu)中的各部分及其聯(lián)系，讓學(xué)生首先得到函數(shù)的“森林概貌”，初步形成“木與林”的部分與整體關(guān)系，并且在以后學(xué)習(xí)每一部分函數(shù)相關(guān)內(nèi)容時(shí)反復(fù)重現(xiàn)函數(shù)的這種整體結(jié)構(gòu)，這樣有利于學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中整體地把握與函數(shù)相關(guān)聯(lián)的各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系并不斷構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、高中函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)圖

在進(jìn)行函數(shù)教學(xué)前教師有必要首先認(rèn)真梳理高中數(shù)學(xué)課程中函數(shù)的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，了解函數(shù)教學(xué)的課程目標(biāo)，這不僅有助于教師整體把握函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容、形成整體的教學(xué)思路、設(shè)定各部分的教學(xué)目標(biāo)，而且有助于學(xué)生在了解函數(shù)的“森林概貌”的情況下，能更好地把握函數(shù)的學(xué)習(xí)主線，而且在以后的函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中 “既能見(jiàn)木又能見(jiàn)林”，便于更好地把握與函數(shù)相關(guān)聯(lián)的各部分知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、構(gòu)建函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、形成應(yīng)用意識(shí)。

高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)為函數(shù)的概念、具體的函數(shù)模型、函數(shù)的應(yīng)用和研究函數(shù)的思想工具，整體函數(shù)結(jié)構(gòu)圖如下：

三、高中各階段的函數(shù)教學(xué)分析及筆者作法

由上述的整體函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖可以看出，函數(shù)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，所以應(yīng)整體地、本質(zhì)地理解和把握高中函數(shù)的主脈，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)及其思想方法學(xué)習(xí)與函數(shù)相關(guān)的其他數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還應(yīng)了解和把握不同年級(jí)階段對(duì)函數(shù)教學(xué)內(nèi)容的不同教學(xué)要求和教學(xué)目標(biāo)，體教學(xué)分析如下：

高一階段學(xué)習(xí)函數(shù)是在初中初步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、表示方法以及函數(shù)的作圖并具體地學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念再認(rèn)識(shí)，即用集合、映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)的一般定義，加深對(duì)函數(shù)概念的理解，并在此基礎(chǔ)上研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，從而使學(xué)生在第一階段函數(shù)的學(xué)習(xí)中獲得較為系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí)，并初步培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)應(yīng)用意識(shí)，為今后學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。這一階段教學(xué)應(yīng)建立在銜接過(guò)度、發(fā)展學(xué)生的思維層面上，主要是建立學(xué)生識(shí)別圖像、利用圖像和畫(huà)出圖像的能力，初步形成數(shù)形結(jié)合的思想方法。此階段教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在概念的形成與建立上。高一數(shù)學(xué)必修一的教材第一章內(nèi)容主題就是函數(shù)概念及函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)概念，教材這樣安排使學(xué)生未見(jiàn)樹(shù)木先看見(jiàn)森林的功效，對(duì)后面深入研究每一類具體函數(shù)有著指導(dǎo)意義。實(shí)踐證明，最初得到“森林概貌”（對(duì)函數(shù)包括定義、圖像、定義域、單調(diào)性、奇偶性、最值等的認(rèn)識(shí)），能使學(xué)生在對(duì)具體函數(shù)研究上始終聯(lián)系著“一般”（森林），用“一般”作指導(dǎo)，待具體函數(shù)都弄清以后，再總結(jié)概括為一般，而這時(shí)的一般是以具體問(wèn)題為背景的。這時(shí)的具體問(wèn)題又是以一般為指導(dǎo)的。從教材編排來(lái)看，這樣做可使學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)更加科學(xué)系統(tǒng)，更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更富啟發(fā)性。此階段教學(xué)應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)與滲透。

高二階段要進(jìn)行不等式、線性規(guī)劃、數(shù)列、圓錐曲線等知識(shí)的教學(xué)，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)使學(xué)生了解意識(shí)到這些知識(shí)都可以從函數(shù)角度加以認(rèn)識(shí)，都是函數(shù)的不同展示形式，引導(dǎo)學(xué)生能夠從函數(shù)的角度把問(wèn)題轉(zhuǎn)化。這一階段教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在函數(shù)的應(yīng)用上，通過(guò)函數(shù)這個(gè)載體，提升學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解、應(yīng)用及解決問(wèn)題的能力，這一階段的學(xué)習(xí)學(xué)生容易淡化函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要性。在這些知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要將函數(shù)思想及其簡(jiǎn)單應(yīng)用穿插其中，需要不斷引導(dǎo)、強(qiáng)化，不斷形成用函數(shù)觀點(diǎn)看待問(wèn)題，逐漸理解函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合等思想方法，并加以簡(jiǎn)單應(yīng)用。再加上該階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之后，使得函數(shù)研究如虎添翼。導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)銜接點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用為我們解決基本初等函數(shù)及簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題提供了一種一般性方法，是解決實(shí)際問(wèn)題強(qiáng)有力的工具，如在研究函數(shù)單調(diào)性、討論函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)、求極值和最值、不等式恒成立等問(wèn)題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題能化繁為簡(jiǎn)，具有事半功倍的作用。

高三階段一般要進(jìn)行高考全面復(fù)習(xí)，函數(shù)復(fù)習(xí)仍然是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，首先應(yīng)整體把握高考對(duì)函數(shù)內(nèi)容的考法。我們知道函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中函數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位。其試題不但考察函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，而且注重考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法。 從歷年高考真題來(lái)看，考察內(nèi)容主要為初等數(shù)學(xué)所學(xué)的函數(shù)內(nèi)容，也不乏以高等數(shù)學(xué)函數(shù)相關(guān)的重要定理?yè)Q成初等數(shù)學(xué)的敘述方式出題（如拉格朗日中值定理，有界性定理、函數(shù)的凹凸性、不動(dòng)點(diǎn)原理等）。考察形式為填空題、選擇題與解答題，選擇、填空題履蓋了函數(shù)的大部分內(nèi)容，如函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的圖像與性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性等），而解答題除了三角函數(shù)屬于基礎(chǔ)題外其余的多以知識(shí)交匯題為主，不僅在內(nèi)容上涉及函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、方程的曲線等多方面內(nèi)容甚至以抽象函數(shù)或高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景，更注重對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力以及數(shù)學(xué)思想方法的考查。因此，在函數(shù)復(fù)習(xí)過(guò)程中，首先應(yīng)把握高考命題題型與趨勢(shì)，其次復(fù)習(xí)策略的選擇也很重要。此階段，首先應(yīng)夯實(shí)基礎(chǔ)。筆者在復(fù)習(xí)過(guò)程中反復(fù)結(jié)合上述的函數(shù)整體結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)一步強(qiáng)化“總-分-總”的學(xué)習(xí)策略，同時(shí)要求學(xué)生進(jìn)一步細(xì)化拓展這份結(jié)構(gòu)圖，使得每一部分內(nèi)容都豐富起來(lái)，將所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化。 通過(guò)這種繼續(xù)構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，最后組成了一張龐大的函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)，幾乎呈現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的全部基礎(chǔ)知識(shí)及其相互聯(lián)系，這樣在整個(gè)復(fù)習(xí)過(guò)程中相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)得到了夯實(shí)。其次，帶領(lǐng)學(xué)生熟悉考綱，明確考綱規(guī)定的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及基本的數(shù)學(xué)思想方法，研究和把握高考命題趨勢(shì)和題型，抓住重點(diǎn)知識(shí)，設(shè)置好例題和習(xí)題的類型、梯度和難度，注重解題方法及數(shù)學(xué)思想方法的提煉與概括，循序漸進(jìn)地提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)注意鍛煉學(xué)生的心理素質(zhì)。

上述為筆者在高中函數(shù)教學(xué)過(guò)程中的整體教學(xué)思路方法及作法，不管是在高一高二的新授課階段還是在高三的復(fù)習(xí)課階段，在教學(xué)過(guò)程中筆者都始終注重函數(shù)知識(shí)體系的整體把握，注重函數(shù)知識(shí)間的聯(lián)系，注重函數(shù)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，不斷完善和優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。我們經(jīng)常在想數(shù)學(xué)應(yīng)該“教什么”，章見(jiàn)躍博士指出數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)“教

結(jié)構(gòu)良好的知識(shí)”、應(yīng)當(dāng)“既講邏輯又講思想”，所以我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注重知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，注重知識(shí)的系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化及數(shù)學(xué)思想方法的紐帶作用，這樣才能更好地把握住知識(shí)體系的核心和關(guān)鍵，才可以從宏觀上更好地理解學(xué)科知識(shí)，避免“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”。筆者在教學(xué)中采用整體教學(xué)法進(jìn)行函數(shù)的教學(xué)，從實(shí)踐結(jié)果來(lái)看取得了較好的教學(xué)效果，當(dāng)然這只是整體教學(xué)法在函數(shù)模塊教學(xué)中的應(yīng)用，其實(shí)高中數(shù)學(xué)的其他知識(shí)模塊也可采用類似的方法進(jìn)行教學(xué)?？傊?，教學(xué)是不斷探索和創(chuàng)新的過(guò)程，作為一線教師我們應(yīng)不斷地求索。

[參考文獻(xiàn)]

[1]王庚。數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育——數(shù)學(xué)文化報(bào)告集。 北京：科學(xué)出版社，2004。

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)[M]。北京：人民教育出版社。