淺議高中數(shù)學(xué)中抽象函數(shù)問題的解法

羅鑫

摘要：本文從多個(gè)方面介紹了抽象函數(shù)的應(yīng)用，特別是從平移的角度說明了抽象函數(shù)的對稱問題，并就典型例題加以分析解答，對學(xué)生的常見錯(cuò)誤進(jìn)行了剖析。

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；定義域；周期；對稱；平移；解析式

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1992-7711（2016）03-0114

抽象函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，關(guān)于抽象函數(shù)題目類型較多，形式靈活多變，考查內(nèi)容無論從深度和廣度，給人耳目一新的感受，現(xiàn)就其中幾個(gè)主要問題加以分類解析。

一、求抽象函數(shù)的定義域

1. 若已知函數(shù)f [g（x）]的定義域?yàn)閤∈（a，b），求函數(shù)f（x）。

解決這類問題的方法是：利用a

例1. 已知函數(shù)f（x+1）的定義域是[-2，3]，求y=f（x）的定義域。

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x+1）的定義域是[-2，3]，所以-2≤x≤3

所以-1≤x+1≤4， 因此y=f（x）的定義域是[-1，4]

2. 若已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈（a，b），求f [g（x）]函數(shù)的定義域。

解決這類問題的方法是：a

例2. 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1]，求函數(shù)g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1]

所以0

由于-

所以不等式組（Ⅰ）的解為-a

即g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-

二、抽象函數(shù)的周期性和奇偶性

1. 抽象函數(shù)的周期性

例3. 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+2），且當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，f（x）=x2+2x，

求當(dāng)x∈（3，5]時(shí)，f（x）的解析式。

解：∵f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）

∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)

設(shè)x∈（3，5]時(shí)，則-1

∴f（x）=f（x-4）=（x+4）2+2（x-4）=x2-6x+8（3

評注：若對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意，恒有下列條件之一成立（以下式子分母不為零，a≠0）

①f（x+a）=-f（x） ②f（x+a）= ③f（x+a）=-

④f（x+a）=- ⑤f（x+a）=- ⑥f（x+a）=f（x-a）

則函數(shù)f（x）是以2a為周期的周期函數(shù)①

2. 抽象函數(shù)的奇偶性

奇、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，有時(shí)為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，也往往需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡，或運(yùn)用定義的等價(jià)形式，但對于抽象函數(shù)的奇偶性的判斷主要是用賦值法，構(gòu)造出定義的形式。

例4. 已知定義在上的函數(shù)f（x），對于任意x，y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0

（1）求f（0）的值

（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性

解：（1）令x=y=0，則有2f（0）=2[f（0）]2 ∵f（0）≠0∴ f（0）=1

（2）令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）·f（y）=2f（y）

所以f（-y）=f（y）這說明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)。

三、抽象函數(shù)圖像的對稱變換

結(jié)論1：①函數(shù)y=f（-x）與函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱；

②函數(shù)y=-f（x）與函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于軸對稱；

③函數(shù)y=-f（-x）與函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)軸對稱；

④函數(shù)y=f-1（x）與函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線y=x軸對稱。

結(jié)論2：若對定義域內(nèi)的一切x均有f（x+m）=f（n-x）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x= 對稱。

結(jié)論3：函數(shù)y=f（x+a）與y=f（-x+b）的圖像關(guān)于直線x=對稱（a，b為常數(shù)）。

例5. 設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)?，則函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖像關(guān)于（ ）

A. 直線y=0對稱 B. 直線x=0對稱

C. 直線y=1對稱 D. 直線x=1對稱

錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x-1）=f（1-x），所以函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=0對稱，故選擇B。

錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的原因是將兩個(gè)不同的對稱問題混為一談，即將兩個(gè)不同函數(shù)圖像的對稱問題，錯(cuò)誤地當(dāng)成一個(gè)函數(shù)的圖像對稱問題，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

正解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，而y=f（x-1）的圖像是y=f（x）圖像向右平移1個(gè)單位而得到的f（1-x）=f[-（x-1）]的圖像是y=f（-x）圖像向右平移1個(gè)單位而得到的，又因?yàn)閒（x）與f（-x）的圖像關(guān)于y軸對稱，因此函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x的圖像關(guān)于直線x=1對稱，故應(yīng)該選擇D。

四、求抽象函數(shù)的解析式

解決抽象函數(shù)解析式的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)f（x）。通常采取賦值法，賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式后，通過合理運(yùn)算推理，最后得出結(jié)論。

例6. 已知f（0）=1，f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），求函數(shù)f（x）的解析式。

解：令a=0，則 f（-b）=f（0）-b（-b-1）=1+b（b-1）=b2-b+1

再令-b=x，即得f（x）=x2+x+1

（作者單位：貴州省遵義市第四高級中學(xué) 563000）