讓“基本圖形”走一步，再走一步

錢綠英

摘要：任何一個(gè)復(fù)雜的幾何圖形往往或是基本圖形的變式，或由若干個(gè)基本圖形組合而成，幾何教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立基本圖形，并發(fā)揮“模型”的教育功能，對(duì)鍛煉學(xué)生的思維、提高學(xué)生的解題能力很有幫助。本文基于平時(shí)教學(xué)實(shí)踐中對(duì)相似三角形中“一線三等角”這一基本圖形的提煉、運(yùn)用、感悟，進(jìn)而拓展使之升華，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，使學(xué)生能抓住問題的本質(zhì)，學(xué)會(huì)歸類，繼而做到觸類旁通，從而有效地提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：基本圖形；一線三等角；模型；思維；能力

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）03-0119

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中關(guān)于“幾何直觀的培養(yǎng)”中指出：要掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問題，把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的應(yīng)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶的結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中的目標(biāo)。波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題訓(xùn)練”。解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著不容置疑的重要性。筆者認(rèn)為引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從數(shù)學(xué)問題中提煉出基本圖形，并學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，靈活運(yùn)用基本圖形對(duì)解決綜合問題，提高幾何解題能力有較大的幫助。因此，筆者想結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐積累，談?wù)勛约簩?duì)“一線三等角”這一基本圖形的認(rèn)識(shí)和看法。

一、從習(xí)題中提煉基本圖形，激發(fā)學(xué)生歸納意識(shí)

在幾何領(lǐng)域中，組成一個(gè)幾何問題的圖形是最簡(jiǎn)單、最基本、最重要但又是具有特定的性質(zhì)，能明確地闡明應(yīng)用條件和應(yīng)用方法的圖形，稱為基本圖形?；緢D形往往在定理或典型的習(xí)例題問題中給出。

問題：如圖1，B、P、D三點(diǎn)共線，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且PA⊥PC，圖中兩個(gè)三角形相似嗎？請(qǐng)說明理由。

針對(duì)這個(gè)題目，我們要迅速把握題目的內(nèi)涵，從而挖掘題目中的內(nèi)在聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行變式，把條件中三個(gè)“直角”換成“60度角”或“130度角”等，推廣到一般情況：如圖2，B、P、D三點(diǎn)共線，∠B =∠APC =∠D =α°，則△BAP∽△DPC。

我們要利用學(xué)生思維的正遷移，通過學(xué)生的類比探究，感受圖形變中不變之處，進(jìn)而提煉出基本圖形——“一線三等角”，化特殊為一般，培養(yǎng)學(xué)生的幾何建模意識(shí)，激發(fā)學(xué)生探究與歸納知識(shí)的意識(shí)；同時(shí)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)圖形的奧妙，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

二、在應(yīng)用中分解基本圖形，提高學(xué)生的識(shí)圖能力

識(shí)圖即從幾何圖形中準(zhǔn)確地分解出基本圖形的能力，而基本圖形的直接應(yīng)用能加強(qiáng)基本圖形的“模型”意識(shí)感，這種意識(shí)感才能產(chǎn)生一種內(nèi)驅(qū)力，完成基本圖形在幾何圖形中的分解，提高學(xué)生的識(shí)圖能力，為解更復(fù)雜的命題做準(zhǔn)備。

【例1】如圖3，兩個(gè)等邊三角形△ABC與△EFG，E、F分別在AB，BC上，寫出圖中與△BEF相似的三角形。

略解：由已知可得∠A=∠GEF=∠B= 60°；∠B=∠EFG=∠C= 60°從圖形中分解出“一線三等角”基本圖形得到：△CFN、△AME與△BEF相似，易得△GMN與△AME相似，所以與△BEF相似的三角形有△CFN、△AME、△GMN。

【例2】如圖，一條直線與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A（1，5），B（5，n）兩點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，AC⊥x軸，垂足為C，（1）如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖乙，若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，連接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點(diǎn)，試說明△CDE∽△EAF。

略解：（1）①用待定系數(shù)法得y= ②易得n=1；過點(diǎn)A（1，5）、B（5，1）直線解析式為：y=-x+6，則點(diǎn)D為（6，0）；（2）因?yàn)锳C⊥x軸，AC=CD=5，則△ACD為等腰直角三角形，所以可得∠CAE=∠CDE =∠FEC=45°，從圖形中分解出“一線三等角”基本圖形得到△CDE∽△EAF。

從例1、例2中發(fā)現(xiàn)，雖然是比較復(fù)雜的圖形，但是我們可以在分析中找到基本圖形的條件并分解出這樣的基本圖形，從而輕松發(fā)現(xiàn)相似三角形。實(shí)踐證明分解法是幫助學(xué)生在識(shí)圖旅途中拾級(jí)而上的得力“拐杖”，而模型的定格作用常能迅速抓住問題的核心，使復(fù)雜問題迎刃而解。

三、在變式中感悟基本圖形，宕開學(xué)生解題思路

數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、不同的側(cè)面、不同的背景，從多個(gè)方面變更所提供的數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式。學(xué)生在例1、例2中已獲得了一定的經(jīng)驗(yàn)，筆者通過對(duì)以“一線三等角”為載體的命題的題設(shè)、結(jié)論、圖形等多種變式途徑幫助學(xué)生對(duì)“一線三等角”基本圖形進(jìn)行多角度、多層次的思考，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本圖形的理解。

【例3】如圖4，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn) P、D 分別在邊 BC、 AC 上，BP=12，∠APD = ∠B，求 CD的長(zhǎng)度。

略解：已知條件AB=AC，則∠APD=∠B=∠C得“一線三等角”基本圖形可以證明△BAP∽△CPD，由對(duì)應(yīng)邊成比例得CD=4.8。

變式1：特殊點(diǎn)下“一線三等角”基本圖形的特性

如圖5（甲）旋轉(zhuǎn)圖4中的∠APD使AP邊與AB邊交與點(diǎn)E，則∠EPD=∠B，將“BP=12”這個(gè)條件改為“點(diǎn)P為BC為中點(diǎn)”，保持其他條件不變。

（1）求證：BEP與EPD相似；

（2）在∠EPD繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P到ED的距離是否發(fā)生改變，說明理由；

（3）如圖5（乙），旋轉(zhuǎn)∠EPD使角的兩邊分別與BA的延長(zhǎng)線和AC分別交與點(diǎn)E，D，（1）（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？

略解：（1）由“一線三等角”基本圖形得到△BEP∽△CPD得到比例式 = ，由BP=PC，∠EPD=∠B得△BEP∽△PED；（2）由△BEP∽△PED得∠BEP=∠DEP利用角平分線性質(zhì)定理可得點(diǎn)P到ED的距離不變；（3）成立，同理。

學(xué)生在變式1中感悟“一線三等角”基本圖形在特殊情況下的特點(diǎn)：

①如圖5甲、乙，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)∠EPD中始終有△BEP∽△PED∽△CPD，則EP、DP分別為∠BED和∠CDE的角平分線，所以點(diǎn)P到ED距離保持不變；

②還可以讓學(xué)生思考若P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，何時(shí)BEP與EPD相似？當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)或ED∥BC時(shí)△BEP∽△PED∽ △CPD。

變式2：動(dòng)態(tài)中的“一線三等角”基本圖形的規(guī)律

如圖6，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），∠EPD=∠B=α，PD交AC于點(diǎn)D，PE交AB于點(diǎn)E，且BE=8，cosα=

（1）當(dāng)BP=8時(shí)，△EBP與△PCD全等；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，△PDC是否有可能是一個(gè)直角三角形？若有可能請(qǐng)求出BP的長(zhǎng)；若不能請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，△EPD是否有可能是一個(gè)等腰三角形？若有可能請(qǐng)求出BP的長(zhǎng)；若不能請(qǐng)說明理由。

略解：變式1中由基本圖形已得△BEP∽△CPD，（1）由BP=8得CP=8即△BEP∽△CPD相似比為1，即全等，是“一線三等角”基本圖形的特殊情況；（2）因?yàn)椤鰾EP∽△CPD，把△PDC為直角三角形轉(zhuǎn)化為△BEP為直角三角形，得BP為10或6.4；（3）當(dāng)PE=PD時(shí)，△EBP與△PCD全等，BP=8；當(dāng)EP=ED時(shí)，過點(diǎn)E作EFDP（圖略）則DP=2PF，由△BEP∽△CPD得 =2 =2cosα，求得BP=3.2；當(dāng)DE=DP時(shí)，同理求得BP=11。

學(xué)生在變式2求解中體會(huì)到點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，雖△BEP、△PED、△CPD形狀發(fā)生了改變，但“一線三等角”基本圖形一直存在，△BEP∽△CPD始終成立，所以在滿足一定的規(guī)律下這三個(gè)三角形會(huì)成為特殊三角形：

如圖6，當(dāng)∠EPD=∠B=∠C時(shí)

①當(dāng)△PDC為直角三角形時(shí)，則BP=BEcosα或 。反之也成立；②當(dāng)△EPD為等腰三角形時(shí)，設(shè)△CPD∽△BEP的相似比k，則k=1或 或2cosα。反之亦成立。

變式1、2從不同層面研究“一線三等角”基本圖形，從易到難，層層推進(jìn)，步步深入，使學(xué)生感悟到了這一基本圖形的特性及規(guī)律，加深了對(duì)基本圖形的把握，培養(yǎng)了思維的深刻性；另方面通過一題多變，將一個(gè)問題從多角度來研究的形式使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來，從而培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、推理、歸納分析問題和解決問題的能力。

四、在拓展中構(gòu)造基本圖形，鍛煉學(xué)生構(gòu)圖思維

基本圖形往往具有典型性，又具有遷移性和延伸性。將基本圖形進(jìn)行適當(dāng)拓展，一方面可起到舉一反三之效，另一方面可開闊視野，培養(yǎng)探索和創(chuàng)新精神，從而提升解題能力。將“一線三等角”基本圖形進(jìn)行拓展：如圖7，點(diǎn)P在直線BC上時(shí)（即點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線），∠APD=∠ABC=∠ACB=α°，則△BAP與△CPD相似。

【例4】（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上點(diǎn)P不與（點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持∠APQ=∠ABC。①若點(diǎn)P在線段CB上（如圖8），且BP=6，求線段CQ的長(zhǎng)；②若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；（2）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5（如圖9），點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持∠APQ=90度。當(dāng)CQ=1時(shí)，寫出線段BP的長(zhǎng)（不需要計(jì)算過程，請(qǐng)直接寫出結(jié)果）。

略解：（1）①根據(jù)已知條件AB=AC，則∠APQ=∠B=∠C得“一線三等角”基本圖形，可以證明△QCP∽△PBA，由比例關(guān)系式得出CQ= ；②當(dāng)點(diǎn)P 在線段BC上時(shí)，由△QCP∽△PBA得y= x2+ x（0

此例題其實(shí)是對(duì)“一線三等角”基本圖形進(jìn)行了拓展，對(duì)此題的解答，更深化了學(xué)生對(duì)基本圖形的理解，培養(yǎng)了學(xué)生基本圖形的靈活構(gòu)圖能力；同時(shí)對(duì)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，將學(xué)生從“題?！敝薪饷摮鰜?，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性和靈活性有一定的促進(jìn)作用。

以上我們通過對(duì)“一線三等角”這一基本圖形的提煉、合理運(yùn)用、巧妙分離、拓展應(yīng)用，提高了學(xué)生觀察、歸納、分析、識(shí)圖、構(gòu)圖的能力和解決問題的能力。波利亞曾說過：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)（上接第120頁）當(dāng)在四周找找，很可能四周就有好幾個(gè)。”這句至理名言寓示著解題本身就是一個(gè)“串點(diǎn)成線”的過程。因此，在解題過程中，要加強(qiáng)對(duì)基本圖形的研究，不斷挖掘基本圖形的內(nèi)在潛能，將基本圖形有效的串聯(lián)起來，從而展示知識(shí)的聯(lián)系性，啟迪學(xué)生思考、探求、歸類，有效地幫助學(xué)生提高復(fù)習(xí)的效率，增強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

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（作者單位：浙江省諸暨市馬劍鎮(zhèn)中 311800）