由一道高考題對形如“”類數(shù)列放縮的思考*

●虞關(guān)壽　張惠民　(紹興魯迅中學(xué)　浙江紹興　321000)

?

●虞關(guān)壽張惠民(紹興魯迅中學(xué)浙江紹興321000)

摘要:由一道高考題引出對形如類數(shù)列放縮的5點(diǎn)思考．通過這5點(diǎn)的思考，指導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題的過程中，要學(xué)會(huì)放縮，學(xué)會(huì)選用合適的形式進(jìn)行放縮，學(xué)會(huì)根據(jù)具體問題的特點(diǎn)靈活選用．

關(guān)鍵詞:數(shù)列;求和;放縮

引題設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知(其中

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2013年廣東省數(shù)學(xué)高考試題)

即

此時(shí)

因此Sk+1更加逼近．

當(dāng)n=1時(shí)，

當(dāng)n≥2時(shí)，

可行．

可行．

由上面思考3與思考4知，當(dāng)p=1，p=2時(shí)是可行的，下面驗(yàn)證p=3，p=4是否可行．

發(fā)現(xiàn)能裂項(xiàng)但不能相消，盡管當(dāng)n為有限數(shù)值且相對較小的正整數(shù)時(shí)，可通過計(jì)算驗(yàn)證不等式是否成立，但當(dāng)n→∞時(shí)，實(shí)在不容易證明不等式成立．因此采這種放縮是不可取的．

同樣可發(fā)現(xiàn)能裂項(xiàng)但不能相消，盡管當(dāng)n為有限數(shù)值且相對較小的正整數(shù)時(shí)，可通過計(jì)算驗(yàn)證不等式是否成立，但當(dāng)n→∞時(shí)，實(shí)在不容易證明不等式成立．因此采這種放縮也是不可取的．下面探求一般情況的可行性．

由上述討論知當(dāng)p=1，p=2時(shí)是可行的．下探求當(dāng)p≥3時(shí)的情形．當(dāng)n≥1時(shí)，

若能裂項(xiàng)相消，則條件是存在k，t∈N*，k－t≥1，有kp－1=pt+1，得因?yàn)?，所以k－t=1或 k－t=2，從而p=1或p=2，于是p≥3是不可取的．

當(dāng)然，在解決具體問題的過程中，選用哪種形式的放縮要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)靈活選用，下面舉3個(gè)例子說明．

例1已知數(shù)列{an}滿足a1=2，且

本文根據(jù)MTConnect標(biāo)準(zhǔn)，針對車間數(shù)控機(jī)床數(shù)據(jù)采集需求及機(jī)床的構(gòu)成組件，建立了目標(biāo)車間數(shù)控機(jī)床設(shè)備信息模型，如圖1所示。圖中矩形框表示的元素為DateItem元素。數(shù)控機(jī)床的設(shè)備信息模型主要包括軸、控制器和系統(tǒng)3個(gè)組件(component)，軸的子組件(subcomponent)包括一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸主軸和3個(gè)進(jìn)給軸X、Y、Z軸，控制器的子組件為加工路徑信息，系統(tǒng)的子組件為電氣系統(tǒng)信息。

不等式成立．

例2在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n－1，a2n，a2n+1成等差數(shù)列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比數(shù)列，n=1，2，3，…．

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2014年湖北省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

綜上所述，{an}的通項(xiàng)公式為

又因?yàn)?n+2)2=(n+2)(n+2)＜(n+2)(n+3)，所以

因此

例3設(shè)Tn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積，滿足Tn=1－an，其中n∈N*．

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

2)設(shè)Sn=T21+T22+…+T2n，求證:

(2015年湖北省高二數(shù)學(xué)競賽試題)

另一方面，

作者簡介:虞關(guān)壽(1966－)，男，浙江紹興人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-11-05;2016-01-28．

中圖分類號(hào):O122

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1003－6407(2016)04-37-06