基本勾股數(shù)公式的一個新證法*

●呂孫忠　(北京師范大學(xué)研究生院　北京　100875)

?

基本勾股數(shù)公式的一個新證法*

●呂孫忠(北京師范大學(xué)研究生院北京100875)

摘要:文章從三角函數(shù)的角度證明了基本勾股數(shù)公式．首先說明了一個角的正弦和余弦值同時為有理數(shù)時，該半角的正切值為有理數(shù)，接著解釋了基本勾股數(shù)和單位圓上的有理點之間的關(guān)系，最后在這2個命題的基礎(chǔ)上證明了基本勾股數(shù)公式．

關(guān)鍵詞:基本勾股數(shù)公式;三角函數(shù)

在我國古代數(shù)學(xué)著作的《周髀算經(jīng)》中，就有“勾三，股四，弦五”的原始說法，繼而誕生了不定方程x2+y2=z2．人們稱滿足這種不定方程的正整數(shù)解(x，y，z)為勾股數(shù)．

勾股數(shù)有無數(shù)多組，并且:若(x，y，z)為勾股數(shù)，則(kx，ky，kz)也為勾股數(shù)．在這一類勾股數(shù)中找出最簡單的那一組(x，y，z)，其中，x，y，z兩兩互素，稱這樣的勾股數(shù)為基本勾股數(shù)［1］．

基本勾股數(shù)定理［2］不定方程x2+y2=z2適合條件“x＞0，y＞0，z＞0，(x，y)=1，x為偶數(shù)”的一切正整數(shù)解可以用下列公式表達出來:x= 2p2q2，y=p2－q2，z=p2+q2，p＞q＞0，(p，q)=1，且p，q一奇一偶．

分析先說明x，y，z兩兩互素，若(y，z)=d＞1，則d|y，d|z．由x2+y2=z2，可知d|x，與(x，y)=1矛盾，故(y，z)=1，同理可推出(x，y)=(x，z)=1．于是x，y，z兩兩互素．下面說明x，y一奇一偶，因為(x，y)=1，所以x，y不能同時為偶數(shù);若x，y同時為奇數(shù)，則z為偶數(shù)，此時

但z2≡0(mod4)，這與x2+y2=z2矛盾!因此x，y一奇一偶，在定理中，不妨規(guī)定x為偶數(shù)．

再將方程x2+y2=z2變形為

文獻［2］和文獻［3］分別利用了不定方程的理論和數(shù)形結(jié)合的思想證明了基本勾股數(shù)定理，具體證明請參考原文．此外，張景中院士在文獻［4］中用了一種初等變形，找到了全部的基本勾股數(shù)，這種方法頗具新意，證明也較為簡潔，這里對張院士的方法做簡要說明．

工傷保險的目的是為了讓被保人有能力再就業(yè)，使其恢復(fù)獲得基本生活保障能力，保證社會持續(xù)發(fā)展，因此工傷保險的重點應(yīng)是預(yù)防和康復(fù)，而不是賠償，賠償只是消極的事后補償措施。目前大眾對工傷保險的認識仍舊停留在補償上，往往忽略了對工傷的預(yù)防和康復(fù)，造成終身殘疾，使社會勞動力整體素質(zhì)下降。

代入x2+y2=z2，整理可得

分析x，y的代數(shù)結(jié)構(gòu)，使得它們成為整數(shù)，取z= (u2+v2)t，其中t為任意正整數(shù)，這樣可以得到

仔細觀察該式，當(dāng)t=1且(u，v)=1時，所有的基本勾股數(shù)就都在這里了．

筆者在前人的研究基礎(chǔ)之上，利用三角函數(shù)的知識，證明了基本勾股數(shù)定理．在介紹定理的證明前，先介紹2個命題．

證明根據(jù)萬能公式

得

命題2所有的基本勾股數(shù)和單位圓上第一象限內(nèi)所有的有理點構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系．

證明一方面，對于任意一組基本勾股數(shù)(x0， y0，z0)，滿足，它對應(yīng)單位圓上第一象限內(nèi)的一個點另一方面，對于第一象限內(nèi)單位圓上的任意一個有理點(x1，y1)，滿足x21+，不妨設(shè)，其中(p1，q1)=1且 (p2，q2)=1，則

2邊約去公因子，可得一組兩兩互素的數(shù)，這組數(shù)對應(yīng)著一組基本勾股數(shù)．于是，這就建立了2者之間的一一對應(yīng)關(guān)系．需要作一個假設(shè)，這里的基本勾股數(shù)，不根據(jù)奇偶性限定排序，例如(3，4，5)和(4，3，5)是2組不同的基本勾股數(shù)，它們對應(yīng)的點和是圓上2個不同的點．

根據(jù)命題2可知，全部的基本勾股數(shù)和單位圓上全部的有理點之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系，換一個角度來說，如果找到了第一象限內(nèi)單位圓上所有有理點的表示形式，再將它們的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為勾股數(shù)的表示形式，那么基本勾股數(shù)定理就得以證明了．沿著這條思路，展開以下證明．

命題3利用三角函數(shù)證明基本勾股數(shù)公式．

證明設(shè)(x0．y0)為第一象限內(nèi)的單位圓x2+ y2=1上一個有理點，利用三角代換，可得(x0，y0)=(cosθ，sinθ)，當(dāng)cosθ，sinθ都為有理數(shù)時，根據(jù)命題1可知為有理數(shù)，不妨設(shè)(p0，q0)=1．因為，所以p0＞ q0．若p0，q0一奇一偶，則令p=p0，q=q0，代入萬能公式，可得

若p0，q0為2個奇數(shù)，令，則(p，q)=1，且p，q一奇一偶，代入萬能公式，可得

結(jié)合上述2種情況，根據(jù)命題2，這個有理點對應(yīng)的基本勾股數(shù)為

其中(p，q)=1，且p，q一奇一偶，(x，y)=1，且x，y一奇一偶．這就找到了所有的基本勾股數(shù)．若根據(jù)奇偶性調(diào)整x，y的順序，將其中的偶數(shù)賦值給x，也就是基本勾股數(shù)定理的結(jié)論．命題3證畢．．

通過以上的討論，筆者巧用三角函數(shù)解決了基本勾股數(shù)的公式表示形式，而三角函數(shù)也有它的幾何意義，有興趣的讀者可以參考文獻［3］進行研究．

參考文獻

［1］居復(fù)蘇．勾股數(shù)，有理代換及其它［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，1988(08):15-18．

［2］閔嗣鶴，嚴(yán)士?。醯葦?shù)論．3版［M］．北京:高等教育出版社，2005．

［3］嚴(yán)鎮(zhèn)軍．基本勾股數(shù)公式的幾何證明［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1982(04):12-13．

［4］張景中．漫話數(shù)學(xué)［M］．北京:中國少年兒童出版社，2011．

作者簡介:呂孫忠(1991－)，男，浙江溫州人，碩士研究生，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-07;2016-01-04．

中圖分類號:O121

文獻標(biāo)識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-25-02