巧用概率方法證明不等式

賈朝勇，潘玉榮（蚌埠學(xué)院數(shù)理系，安徽蚌埠233030）

?

巧用概率方法證明不等式

賈朝勇，潘玉榮
（蚌埠學(xué)院數(shù)理系，安徽蚌埠233030）

摘要：通過實(shí)例展示了如何巧妙借助概率論的思想方法來證明不等式，其關(guān)鍵點(diǎn)是：根據(jù)待證不等式具體形式去構(gòu)造適當(dāng)概率模型，再應(yīng)用隨機(jī)事件的運(yùn)算、概率的相關(guān)性質(zhì)、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定義、切比雪夫不等式或馬爾克夫不等式等證明不等式。此種證明方法不僅為證明不等式提供了一種新思路，而且還溝通了不同數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：不等式；概率模型；隨機(jī)變量；切比雪夫不等式；馬爾克夫不等式

不論是在初等數(shù)學(xué)還是在高等數(shù)學(xué)中，不等式證明都是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是難點(diǎn)。不等式的證明常見方法有比較法、分析法、放縮法、反證法和構(gòu)造函數(shù)法（導(dǎo)數(shù)法）等，但對(duì)于一些特殊不等式的證明用這些方法可能很難證明出來，此時(shí)可借助其他數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)來證明，其中用概率方法證明不等式，是概率論的一個(gè)重要研究方向［1］。已有學(xué)者用概率方法證明一些關(guān)系式，例如，劉軍、張曉梅等研究了用概率方法證明某些等式［2-3］；劉敬、湯茂林等研究了用概率論中數(shù)學(xué)期望或數(shù)學(xué)期望相關(guān)的不等式去證明不等式［4-5］。本文將利用兩類概率方法證明不等式，其中第1類是根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造合適的概率模型，利用隨機(jī)事件的運(yùn)算、概率的性質(zhì)、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)等證明不等式；第2類是根據(jù)不等式的特點(diǎn)利用概率論中的重要不等式：切比雪夫不等式、馬爾克夫不等式去證明不等式。

1　構(gòu)造概率模型證明不等式

1.1利用概率的性質(zhì)證明不等式

性質(zhì)1隨機(jī)事件的概率總介于0和1之間。

例1已知0＜xi＜1，i=1，2，3，求證

分析：構(gòu)造一個(gè)事件，使得不等式的左邊恰好是某一隨機(jī)事件的概率，再根據(jù)隨機(jī)事件概率不超過1即可證明該不等式。

證明構(gòu)造3個(gè)相互獨(dú)立的事件，設(shè)A1、A2、A3是3個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，對(duì)應(yīng)的概率分別為對(duì)立事件的概率分別為則

又因?yàn)镻（A1∪A2∪A3）≤1，所以

性質(zhì)2任意兩個(gè)隨機(jī)事件A、B和的概率不大于事件A與事件B的概率之和，即P（A∪B）≤P（A） +P（B），更一般的結(jié)果是：A1，A2，…，An是n個(gè)隨機(jī)事件，則有再注意事件的概率均為0到1之間的數(shù)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，通過構(gòu)造合適的和事件證明不等式［6-7］。

證明構(gòu)造這樣一個(gè)摸球模型：現(xiàn)有4個(gè)袋子，第1個(gè)袋子有a個(gè)球，其中只有一個(gè)紅球；第2個(gè)袋子有b個(gè)球，其中只有一個(gè)紅球；第3個(gè)袋子有c個(gè)球，其中只有一個(gè)紅球；第4個(gè)袋子有d個(gè)球，其中只有一個(gè)紅球，考查至少摸到一個(gè)紅球的概率。

設(shè)Ai表示從第i個(gè)袋子摸到紅球，i=1，2，3，4，顯然A1、A2、A3、A4相互獨(dú)立且有由概率性質(zhì)知，即

所以

即

性質(zhì)3若事件B是事件A的子事件，即A?B，則P（A）≥P（B）。

例3設(shè)0＜a、b、c、d＜1，求證（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd。

證明構(gòu)造4個(gè)相互獨(dú)立的事件A、B、C、D，對(duì)應(yīng)的概率分別為P（A）=a，P（B）=b，P（C）=c，P（D）=d，顯然（A∪B）（C∪D）?AC∪BD，所以P（（A∪B）（C∪D））≥P（AC∪BD），由于A、B、C、D是相互獨(dú)立的事件，所以有

所以

1.2利用離散型隨機(jī)變量分布律的基本性質(zhì)證明不等式

證明借助幾何分布和n重貝努利試驗(yàn)的思想，構(gòu)造一個(gè)無(wú)限次貝努利概率模型：將隨機(jī)試驗(yàn)E進(jìn)行無(wú)限次重復(fù)試驗(yàn)，每次隨機(jī)試驗(yàn)E只有事件A發(fā)生和事件A不發(fā)生這兩個(gè)結(jié)果，且第k次A發(fā)生的概率為記隨機(jī)變量X表示事件A首次發(fā)生需要的試驗(yàn)次數(shù)，則X的分布律為

1.3利用數(shù)學(xué)期望、方差的定義或性質(zhì)證明不等式

對(duì)于某些不等式的證明，可以借助隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望來證明。

由D（X）=E（X2）-（E（X））2，得E（X2）=D（X）+（E（X））2=6。

利用方差的非負(fù)性可以證明不等式：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P（X=k）=pk，k=1，2，…，因此E（X）2≥（E（X））2；且等號(hào)成立的條件是x1=x2=…= E（X）。應(yīng)用E（X）2≥（E（X））2的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)分布律X，使得E（X）2恰好是待證不等式一邊的式子或這個(gè)式子的倍數(shù)。

例6已知x+2y+3z+4u+5v=30，求證x2+2y2+3z2+4u2+5v2≥60。

證明構(gòu)造隨機(jī)變量X的分布律，如表1所示。

表1　隨機(jī)變量X的分布律

又因?yàn)閤+2y+3z+4u+5v=30，所以E（X）=2，因此5v2≥60；當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=u=v=E（X）=2時(shí)，等號(hào)成立。

2　利用概率論中的重要不等式證明不等式

2.1利用切比雪夫不等式證明不等式

定理1（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差D（X）都存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)ε，有或

2.2利用馬爾克夫不等式證明不等式

定理2（馬爾克夫不等式）設(shè)X為非負(fù)隨機(jī)變量，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，有

證明根據(jù)待證不等式左邊的形式特點(diǎn)，構(gòu)造隨機(jī)變量X服從參數(shù)λ=1的普松分布，即X～P（1），其分布律為其數(shù)學(xué)期望E（X）=1，對(duì)任意的正整數(shù)n，代入馬爾克夫不等式得：，即不等式成立。

3　結(jié)語(yǔ)

本文通過列舉實(shí)例展示了如何利用概率方法證明不等式，應(yīng)用概率方法證明不等式的關(guān)鍵之處是：根據(jù)待證不等式的具體形式去構(gòu)造適當(dāng)概率模型，再應(yīng)用概率論中的隨機(jī)事件的運(yùn)算、概率的相關(guān)性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量分布律的基本性質(zhì)、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的有關(guān)計(jì)算或重要不等式等加以證明［8］。巧妙地利用概率方法證明某些不等式，證明思路清晰明了，證明過程簡(jiǎn)潔、高效，往往能起到事半功倍的效果，同時(shí)還溝通了不同數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系。

參考文獻(xiàn):

［1］王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用［M］. 3版.北京:北京師范大學(xué)出版社, 2013.

［2］劉軍,望清鳳.數(shù)學(xué)分析中一些等式的概率方法證明［J］.三峽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2005, 27（3）: 283- 285.

［3］張曉梅,李紅梅.概率論在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2014, 30（6）: 4- 5.

［4］劉敬.數(shù)學(xué)期望不等式的應(yīng)用［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2008, 24（4）: 6- 7.

［5］湯茂林.一個(gè)概率不等式的應(yīng)用［J］.凱里學(xué)院學(xué)報(bào), 2012, 30（3）: 160- 161.

［6］盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］. 4版.北京:高等教育出版社, 2008.

［7］張德然.概率論思維論［M］.合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2006.

［8］楊春波,程漢波.利用概率分布巧證不等式［J］.數(shù)學(xué)通訊, 2013（7）: 27- 28.

【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Proving inequalities by using probability method

JIAChao- yong, PANYu- rong
（Department of Mathematics and Physics, Bengbu University, Bengbu 233030, China）

Abstract:This paper shows howtouse the ideas and methods ofprobabilitytheorytoprove inequalitythrough the examples cited toreaders, the keypoint is accordingtothe specific formofinequalitytoconstruct the appropriate probability model, then using computation of random events, and the related properties of probability, the definition ofmathematical expectation ofrandom variable function, Chebyshev inequality or Markov inequality to prove inequality. The proof method provides a new idea for proving inequality, and also communicates the connection between different mathematics subjects.

Keywords:inequality; probabilitymodel; randomvariables; Chebyshevinequality; Markovinequality

作者簡(jiǎn)介：賈朝勇（1978－），男，安徽郎溪人，蚌埠學(xué)院講師。

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師人才科研資助項(xiàng)目（2012SQRL215）；蚌埠學(xué)院教研項(xiàng)目（2013jyxm04）

收稿日期：2015-10-13

文章編號(hào)：1008- 0171（2016）02- 0012- 05

中圖分類號(hào)：O178

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A