反思一道“三角函數(shù)綜合應(yīng)用題”的典型錯解

周婷婷

摘 要：本文首先從知識點、解題思維、解題過程三方面對一道“三角函數(shù)綜合應(yīng)用”題進(jìn)行反思，其次呈現(xiàn)該題的典型錯解，并對錯解原因進(jìn)行剖析，最后為教師提供教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；錯解；反思

反思是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的熱門詞之一. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師常會提到反思一詞，可見反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著舉足輕重的地位. 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用. 向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一，是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁，它具有豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用. 本文對一道“三角函數(shù)綜合應(yīng)用”題的反思，重在引導(dǎo)學(xué)生反思解題所用的知識點，解題思維的起點、層次和規(guī)律，從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

知識點反思：數(shù)學(xué)知識是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ). 例題屬于三角函數(shù)綜合應(yīng)用題型（三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列相結(jié)合），知識點包括三角函數(shù)概念及同角關(guān)系式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等差數(shù)列、等比數(shù)列、平面向量、平面幾何等.

解題思維反思：良好的思維起點是破題的關(guān)鍵.三角函數(shù)和向量、數(shù)列有機(jī)地結(jié)合起來，弄清三角函數(shù)與向量的“聯(lián)合點”，靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，借助正、余弦定理，并準(zhǔn)確地運(yùn)用求三角形內(nèi)切圓半徑的公式.

解題過程反思：清晰的解題過程可以反映學(xué)生清晰的思維. 根據(jù)等差數(shù)列的概念可得出f（x）的周期，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到相應(yīng)的等式關(guān)系，結(jié)合正、余弦定理得到△ABC的面積，最后根據(jù)面積法得到三角形內(nèi)切圓的半徑.

錯解呈現(xiàn)

例題是重慶某學(xué)校高一下學(xué)期月考的測試題，分析的班是全年級比較好的班，全班57人，有20人得了5-7分（該題12分），即大部分學(xué)生只做對了第（1）問，部分學(xué)生對第（2）問無從下手. 對于解題過程中出現(xiàn)的錯誤與疏忽，不能只看到其消極的方面，更要認(rèn)識到這是一個提高解題能力、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的極好機(jī)會.例題的錯誤解答主要集中在以下三種類型.

1. 錯解1的呈現(xiàn)

如圖1，該類學(xué)生把三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑弄混淆，以致解答錯誤.該類學(xué)生出現(xiàn)這種錯誤的原因可能有：讀題不仔細(xì)，沒有弄清楚題目的具體要求；知識認(rèn)知上的錯誤，把求外接圓半徑的公式當(dāng)作求內(nèi)切圓半徑的公式.

2. 錯解2的呈現(xiàn)

如圖2，該類學(xué)生第（1）問能夠解答，但第（2）問就完全沒有思路. 該類學(xué)生對三角函數(shù)綜合的應(yīng)用能力較弱，不知如何將數(shù)列應(yīng)用到三角函數(shù)中，不清楚怎樣求三角形內(nèi)切圓的半徑.

3. 錯解3的呈現(xiàn)

如圖3，該類學(xué)生掌握向量的定義，完成①，但三角函數(shù)的恒等變換掌握不好，出現(xiàn)錯誤②. 該類學(xué)生首先需要從基礎(chǔ)知識——三角函數(shù)的恒等變換方面進(jìn)行補(bǔ)救.

反思能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力. 本文通過對例題典型錯解的反思，體現(xiàn)了知識點、解題方法、思維過程對學(xué)生解題有著重大的影響. 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思，反思解題過程中出現(xiàn)的知識點、解題方法、解題思維.