數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張紹平

摘 要：數(shù)形結(jié)合，顧名思義就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合。“形”具有形象直觀的優(yōu)勢(shì)，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達(dá)的劣勢(shì)，只有以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描述 、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；應(yīng)用策略；數(shù)學(xué)應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）06-195-01

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！?數(shù)形結(jié)合方法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想和教學(xué)原則貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，新教材中的內(nèi)容能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

一、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法的重要性

有利于推動(dòng)數(shù)學(xué)不斷向前發(fā)展在數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的過(guò)程中，由于人們對(duì)于“形”的運(yùn)算的增加，導(dǎo)致“數(shù)”的合理產(chǎn)生。所以我們?cè)诶脭?shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際的問(wèn)題的時(shí)候，需要我們不斷轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系利用“數(shù)”的幫助作用，從而得到想要的數(shù)學(xué)答案。以分?jǐn)?shù)為例，在古代的時(shí)候人們會(huì)在繩子的中間系上一個(gè)結(jié)扣，即表示是一般的意思。“形”可以把數(shù)更好地表現(xiàn)出來(lái)，同時(shí)數(shù)也需要形來(lái)進(jìn)行記憶。只有熟練掌握了比較科學(xué)的數(shù)學(xué)思想，才能夠把數(shù)與形很好地結(jié)合起來(lái)，從而正確推理數(shù)量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。例如，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，就可以利用數(shù)形結(jié)合的方法。首先，教師把函數(shù)關(guān)系式中的數(shù)學(xué)關(guān)系繪制出來(lái)，并且引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)?？梢哉f(shuō)，數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，在一定程度上有效推動(dòng)了數(shù)學(xué)向前發(fā)展。

二、數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、等價(jià)性。等價(jià)性原則是指形的直觀幾何意義應(yīng)該與“數(shù)”的抽象代數(shù)意義是可以相互轉(zhuǎn)化的等價(jià)量，即問(wèn)題的幾何表示與代數(shù)數(shù)量關(guān)系應(yīng)具有一致性。用圖形解題有著重大的局限，不同的人對(duì)題目的理解不盡相同，所以所構(gòu)造的圖形就會(huì)受到自己理解的影響而出現(xiàn)和實(shí)際問(wèn)題之間的誤差。因此不可避免的會(huì)出現(xiàn)解題失誤。如果加以代數(shù)思想來(lái)精確的構(gòu)造圖形，就可以避免這種情況的出現(xiàn)。

2、雙向性。雙向性原則是指數(shù)形集合的方法既對(duì)問(wèn)題的代數(shù)性質(zhì)做研究，又對(duì)直觀幾何圖形進(jìn)行分析，代數(shù)運(yùn)算可以讓數(shù)在圖的基礎(chǔ)上形成有信服度的結(jié)果，且這個(gè)結(jié)果比單純幾何構(gòu)圖更具有優(yōu)越性，相反，幾何圖形的表示形式更直觀，這就充分地體現(xiàn)了數(shù)形集合方法的和諧之處。

3、簡(jiǎn)潔性。簡(jiǎn)潔性原則是指數(shù)轉(zhuǎn)換為圖形的同時(shí)，一定要使所構(gòu)造的圖形簡(jiǎn)單且充分符合題意，這樣既能通過(guò)簡(jiǎn)單明了的圖形直觀地分析出問(wèn)題主旨，又因?yàn)樗鶚?gòu)圖形的簡(jiǎn)單，可以充分避免繁瑣的運(yùn)算過(guò)程，大大縮短解題時(shí)間，同時(shí)也可使復(fù)雜的問(wèn)題變的簡(jiǎn)單化。符合數(shù)學(xué)解題簡(jiǎn)潔美的根本要求，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的藝術(shù)性與創(chuàng)新性。

三、數(shù)形互換，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解更為靈活

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域數(shù)與形是一種既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系，并且相互之間可以靈活轉(zhuǎn)換，從而更為直接的表現(xiàn)出相關(guān)題目中的數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的各種問(wèn)題。任何一個(gè)階段、任何一個(gè)學(xué)科的學(xué)習(xí)在本質(zhì)上都是為了能夠順利解決生活中的問(wèn)題，數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此，教師通過(guò)教學(xué)引導(dǎo)促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握一定的解題思路，能夠進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生解決問(wèn)題的能力。但是應(yīng)該注意到，學(xué)生個(gè)體存在一定的差異性，普遍認(rèn)為相對(duì)簡(jiǎn)單的解題思想并不意味著能夠適用于所有的學(xué)生。而數(shù)形互換思想則能夠很好的兼顧學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的差異性，進(jìn)而促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中靈活的選擇適用于自身的解題方法，提升解題效率。如在一部分探求值域、最值的函數(shù)問(wèn)題中，就能夠合理運(yùn)用數(shù)形互換思想，使學(xué)生依據(jù)自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)迅速的得出準(zhǔn)確答案，在強(qiáng)化學(xué)生解題能力的同時(shí)，提升學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，為其未來(lái)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

四、數(shù)形結(jié)合方法在教學(xué)中應(yīng)用的策略

以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化。這就要求具備有將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形和將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系這兩個(gè)方面的融會(huì)貫通，能熟練使用。要求圖形和數(shù)量關(guān)系之間相互轉(zhuǎn)換要熟練，從題目所給的數(shù)量關(guān)系可以畫(huà)出圖形，又在所畫(huà)出的圖形中找到新的數(shù)量關(guān)系，這就是解題的關(guān)鍵。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題應(yīng)是等價(jià)的；有些問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的圖形不唯一，要根據(jù)不同的情況畫(huà) 出相應(yīng)的圖形后，再進(jìn)行討論求解。

要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想，必須有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的解題技巧，如果只理解了幾個(gè)典型習(xí)題，就認(rèn)為完全掌握了數(shù)形結(jié)合這一思想方法，是錯(cuò)誤的。所以要認(rèn)真上好每一 堂課，深入學(xué)習(xí)新教材的系統(tǒng)知識(shí)，掌握各種函數(shù)的圖象特點(diǎn)，理解各種幾何圖形的性質(zhì)，多做練習(xí)，根據(jù)問(wèn)題的具體情況，注意改變觀察和理解問(wèn)題的角度，抓住問(wèn)題的本質(zhì)。

五、以數(shù)助形提升解題效率

在數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透，數(shù)形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題或把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的解題方法。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有一些問(wèn)題，尤其是解析幾何中，根據(jù)圖像反映出的數(shù)量關(guān)系，將所要求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的公式，并通過(guò)使用公式簡(jiǎn)化解題步驟，能夠提升解題效率。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)圖形的認(rèn)識(shí)和數(shù)形的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題化抽象為具體，最終使問(wèn)題獲解。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合解題思想在我國(guó)高中階段的數(shù)學(xué)教育中占據(jù)著十分重要的位置。通過(guò)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，教師在講解過(guò)程中能夠?qū)⑾鄬?duì)抽象乏味的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀生動(dòng)，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸養(yǎng)成探究多種解題思路的習(xí)慣，顯著提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，為學(xué)生未來(lái)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 魯 浩.讓數(shù)形結(jié)合也成為一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣[J].教育科學(xué)論壇；2008年02期