利用波利亞解題思想提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性研究

摘 要：論述引入波利亞解題思想的重要性、波利亞的“怎樣解題”表及其認(rèn)識(shí)。使用波利亞解題思想作為數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐的理論武器，在課堂中向?qū)W生滲透波利亞的“怎樣解題”表的思想精髓，努力向?qū)W生介紹探索問題的一般方法，指導(dǎo)學(xué)生解題，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，同時(shí)也把解題教學(xué)的有效性落到實(shí)處。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；波利亞解題思想；解題表；啟發(fā)法；教學(xué)有效性

中圖分類號：G424；G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）04-0068-02

一、前言

對于學(xué)校數(shù)學(xué)，問題和問題的解決是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心。波利亞認(rèn)為，“加強(qiáng)解題訓(xùn)練是中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)”。而解題教學(xué)不能單單憑借教師的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，必須有解題理論的指導(dǎo)。關(guān)于解題理論的研究，當(dāng)首推波利亞的數(shù)學(xué)啟發(fā)法。人們公認(rèn)，波利亞解題思想是解決問題的一面旗幟，我國數(shù)學(xué)家徐利治教授在上世紀(jì)80年代初，就大力倡導(dǎo)要按照波利亞數(shù)學(xué)思想改革中學(xué)數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法。波利亞解題思想主要體現(xiàn)在“怎樣解題”表和“合情推理”之中。本文是在波利亞解題思想理論的指導(dǎo)下進(jìn)行實(shí)踐、認(rèn)識(shí)、再實(shí)踐、再認(rèn)識(shí)后的理論認(rèn)識(shí)，同時(shí)也嘗試探索提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)有效性的具體方法。

二、引入波利亞解題思想的重要性

不管大綱怎么改、教材怎么變，“題海戰(zhàn)術(shù)”總是濤聲依舊。新教材未進(jìn)校門，應(yīng)試資料已繽紛上市，生意火紅?！邦}?！彪y以避免，所以，我們要研究“題?！敝杏斡镜牟呗?。波利亞的解題思想被人們公認(rèn)為“指導(dǎo)學(xué)生在題海中游泳”的“行動(dòng)綱領(lǐng)”。筆者認(rèn)為，指導(dǎo)學(xué)生在題海中暢游，必須在平時(shí)的解題教學(xué)中落實(shí)波利亞解題思想，唯此，解題教學(xué)有效性才可落到實(shí)處。

波利亞（George Polya，1887-1985）是美籍匈牙利杰出的數(shù)學(xué)家和偉大的數(shù)學(xué)教育家。波利亞一生的數(shù)學(xué)教育論著共約三百部，復(fù)興了“探索法”，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)問題求解和合情推理的新時(shí)代。波利亞的論著已影響了全世界數(shù)以百萬計(jì)的數(shù)學(xué)教育工作者，波利亞的解題思想集中反映在他的《怎樣解題》《數(shù)學(xué)與合情推理》及《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》等著作里。其中影響最大的是《怎樣解題》，至今已被譯成約二十種文字，發(fā)行數(shù)百萬冊。另外，波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中還給出了其他一些啟發(fā)性的方法或模式，主要有合情推理模式，包括歸納、類比、溯因推理，一般化、特殊化方法等。

數(shù)學(xué)既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)，特別是創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)更像是歸納科學(xué)。波利亞指出，通過研究解題方法，我們可以看到發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)。早在青年時(shí)代，波利亞由于不滿足于教師那照本宣科式的講述，波利亞就開始探索數(shù)學(xué)及其他學(xué)科中的發(fā)明創(chuàng)造問題。他閱讀了大量數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的著作和手稿，努力尋找隱藏在數(shù)學(xué)真理背后的生動(dòng)的創(chuàng)造過程。在執(zhí)教后，他作為一個(gè)教師，對學(xué)生的思維過程認(rèn)真觀察研究，并在總結(jié)自己多年的數(shù)學(xué)教學(xué)和研究的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，終于制定了“現(xiàn)代啟發(fā)法”綱領(lǐng)——“怎樣解題”表。波利亞把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種重要手段。國內(nèi)外很多數(shù)學(xué)著作和習(xí)題集多數(shù)側(cè)重于解決個(gè)別類型的問題，卻很少涉及解題的一般方法。然而，“學(xué)生熟悉了解答個(gè)別類型問題的特殊方法之后，有可能只限于掌握一種千篇一律的死板方法而并不具備獨(dú)立解決新問題的本領(lǐng)。”波利亞的《怎樣解題》，給出了求解數(shù)學(xué)問題的一般方法，有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

三、波利亞的“怎樣解題”表及其認(rèn)識(shí)

波利亞的“怎樣解題”表的核心是不斷變換問題，以誘發(fā)靈感?！氨怼敝邪牟糠謨?nèi)容：弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧反思。波利亞還是當(dāng)代合情推理之父，他提倡“讓我們教猜想”，他指出數(shù)學(xué)猜想一般都是通過合情推理而提出來的。數(shù)學(xué)在教演繹的同時(shí)，必須有教猜想的地位。波利亞的啟發(fā)法理論出自波利亞的《怎樣解題》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》《數(shù)學(xué)與猜想》。其中，《怎樣解題》表比較適合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的解題教學(xué)的啟發(fā)與引導(dǎo)?！氨怼敝邪韵滤牟糠值膬?nèi)容。

1. 弄清問題

第一，解題之前，必須弄清問題。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。引入適當(dāng)?shù)姆枴?/p>

把條件的各個(gè)部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。

2. 擬訂計(jì)劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？

看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。

這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎？

你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類比的問題？你能否解決這個(gè)問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

3. 實(shí)行計(jì)劃

實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

驗(yàn)算所得到的解。

4. 回顧反思

你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否一下子看出它來？

你能不能把這結(jié)果或方法用于其他的問題？

波利亞按照人們解題的思維過程給出了各系列公式化了的指導(dǎo)意見，提問的方法十分靈活，或建議，或使用引導(dǎo)性問題，合乎人們的認(rèn)識(shí)過程和心理現(xiàn)象。從教育心理學(xué)的角度來看，這張表十分可取。這張表具有普遍性，既適用于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)困生，又適用于數(shù)學(xué)中等生、高才生。在平時(shí)解題教學(xué)中，教師應(yīng)該經(jīng)常向?qū)W生提出表中的問題和建議，并要求學(xué)生們也記住其中的問話，時(shí)刻提示自己，引導(dǎo)學(xué)生在“題?！崩飼秤?，解題教學(xué)也就變得十分有效。所以說，教師若能在平時(shí)的解題教學(xué)中不斷地向?qū)W生提出表中的問題和建議，讓學(xué)生形成解題的一般性的思維習(xí)慣，既可以幫助學(xué)生解決眼前實(shí)在的問題，還能培養(yǎng)學(xué)生未來獨(dú)自分析問題、解決問題的能力?！霸鯓咏忸}表”的中心思想就是解題過程中如何不斷變更問題，誘發(fā)靈感。當(dāng)你用表中的問題和建議啟發(fā)學(xué)生的時(shí)候，你手中的問題就不斷得到變更和轉(zhuǎn)化，從而變難為易，變陌生為熟悉，變繁為簡了。

在日常的解題教學(xué)過程中，往往把解題劃分為四個(gè)程序，即審題、探索、表述和回顧。在每個(gè)程序中都反復(fù)提示學(xué)生“解題表”的提問的語句，時(shí)間久了，學(xué)生也就會(huì)自覺不自覺地問自己那些問題和建議。教學(xué)實(shí)踐中，筆者圍繞“轉(zhuǎn)化、變更問題”這一思想精髓，努力向?qū)W生介紹一些探索問題的一般方法，以指導(dǎo)學(xué)生解題。

比如，把眼前問題與過去熟悉的某個(gè)問題掛起鉤來。

例如：解不等式<3-logax. 當(dāng)學(xué)生對題目愁眉不展時(shí)，可適時(shí)向?qū)W生提出一系列“波利亞的問題和建議”?！叭绻悴荒芙鉀Q所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個(gè)熟悉的問題？”經(jīng)過這樣的引導(dǎo)后，學(xué)生也許會(huì)想到曾學(xué)過的無理不等式<3-x，這是一個(gè)熟悉的已經(jīng)解決的問題?！澳隳懿荒芾盟?？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？”經(jīng)過這么引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)令t=logax，再將原來問題的求解轉(zhuǎn)化為對<3-x這個(gè)問題的求解。而<3-x這個(gè)問題已經(jīng)解決，則原問題也隨之解決。

再如，盯住目標(biāo)，尋求答案，目標(biāo)是指導(dǎo)航行的“燈塔”。

例如：已知點(diǎn)P（x，y）在直線x+2y=5上運(yùn)動(dòng)，求3x+9y的最小值。分析：已知點(diǎn)P（x，y）在直線x+2y=5上，求3x+9y=3x+32y的最小值。把目光集中在目標(biāo)上，盯住目標(biāo)，尋找已知、未知的聯(lián)系，想到把分散在指數(shù)上的x，2y集中起來，設(shè)法出現(xiàn)3x+2y或與此類似的形式。適時(shí)向?qū)W生提出“你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？”學(xué)生不難想到3x+32y≥=2·3，這樣，根據(jù)條件，問題就解決了。

另外，審清題意，搞清楚問題的已知和所求；設(shè)法轉(zhuǎn)化問題，改變敘述方式；分解組合，把原問題化為一系列子問題，通過子問題的逐個(gè)解決，原問題也隨即解決；嘗試變更問題的條件和結(jié)論，從中得出有益的猜想等，這些啟發(fā)性的方法和建議都是教師平時(shí)課上經(jīng)常使用的。這些啟發(fā)性的言語帶領(lǐng)著解題教學(xué)的步步深入，提高了解題教學(xué)的有效性，也培養(yǎng)了學(xué)生良好的獨(dú)立解題的習(xí)慣。

注意解題后的再思考，這是提高解題教學(xué)有效性的必要環(huán)節(jié)。目前數(shù)學(xué)教學(xué)的普遍現(xiàn)象是，廣大師生在分?jǐn)?shù)的壓力下，匆匆解題，匆匆講題，無暇顧及“解題后的再思考”，這種損失不言自明。教師要經(jīng)常帶領(lǐng)學(xué)生從已解決的問題的解題過程中吸取營養(yǎng)，進(jìn)行如下的一些探索：解題中用到了哪些知識(shí)？它們是怎樣聯(lián)系起來的？解題的關(guān)鍵在哪里？思路是怎樣打通的？推理是否嚴(yán)謹(jǐn)？思維有無多余步驟？還有別的解法嗎？改變一下條件如何？改變一下結(jié)論如何？解題反饋——回顧是解題教學(xué)必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，也是提高教學(xué)有效性的重要手段。

四、結(jié)束語

“問題”是數(shù)學(xué)的心臟，問題的不斷產(chǎn)生和解決推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。解決數(shù)學(xué)問題也是學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的重要形式，如何提高解題教學(xué)活動(dòng)的有效性，對有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績以及推動(dòng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育都有重要的現(xiàn)實(shí)意義。用波利亞解題思想去武裝自己的解題教學(xué)，可以大大提高解題教學(xué)的有效性，這也是一屆屆學(xué)生帶下來之后的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。建議更多的教師了解波利亞解題思想，按照波利亞思想改革教學(xué)方法，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)的有效性。波利亞的解題思想是指導(dǎo)學(xué)生在題海中游泳的行動(dòng)綱領(lǐng)，越來越多的教師已經(jīng)認(rèn)識(shí)到它的獨(dú)特魅力了。在數(shù)學(xué)解題方面，波利亞是一面旗幟。了解、使用、實(shí)踐他的解題思想，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維也很有指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉云章，趙雄輝.數(shù)學(xué)解題思維策略——波利亞著作選講[M].長沙：湖南教育出版社，1992.

[2]李艷.波利亞數(shù)學(xué)解題思想的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[D].南京師范大學(xué)，2001.

[3]馮麗寧，武月元.運(yùn)用波利亞《怎樣解題》表進(jìn)行數(shù)學(xué)有效解題教學(xué)[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010（06）.

[4]曹琳彥，顏寶平.運(yùn)用波利亞解題思想指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（05）.