2016年高考數(shù)學(xué)《立體幾何》部分復(fù)習(xí)建議

2016年開始，廣東等七省市將全面采用全國課標(biāo)卷.盡管課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明都是相同的，但是命題的變化不能不引起基礎(chǔ)教育工作者的重視.

高考全國試卷由國家教育中心組織專家根據(jù)同一份考試說明來命制多份試題，可能有幾個省份會使用同一份試題.從前些年的全國卷可以看出，有大綱卷和新課標(biāo)卷之分，新課標(biāo)卷又分為新課標(biāo)Ⅰ卷和新課標(biāo)Ⅱ卷.大綱卷主要針對那些還沒有全面推進新課程改革的地區(qū)而命制的，2013年和2014年僅有廣西省在使用，其余省市已經(jīng)陸續(xù)進入全國新課標(biāo)卷的主流陣營.廣東省推進新課程標(biāo)準(zhǔn)和自主命題已經(jīng)多年，形成了獨特的高考命題風(fēng)格.在即將邁入全國課標(biāo)卷的陣營之際，我們有必要對三份試卷（廣東卷、全國新課標(biāo)Ⅰ卷和新課標(biāo)Ⅱ卷）在命題內(nèi)容、命題形式、命題方向等方面進行比較研究，切實把握命題規(guī)律和趨勢，找準(zhǔn)應(yīng)對策略，扎扎實實備考，做到有的放矢，爭取獲得突破.

立體幾何既是高中數(shù)學(xué)的重要部分，也是高考命題的必備內(nèi)容.雖然近年來立體幾何試題在命題思路和方法上不時有些出人意料之處，但總體上還是保持了穩(wěn)定.下面，筆者就結(jié)合近年來三份試題中的立體幾何部分內(nèi)容進行比較分析，希望能夠把握命題的規(guī)律和命題趨勢，找準(zhǔn)備考策略和措施，努力提升學(xué)生解決立體幾何問題的思維和能力.1研究命題規(guī)律，把握命題趨勢表1

年份

試卷類型

考查知識點

分值

試卷類型

考查知識點

分值

2010

2011

2012

2013

2014

2015

廣東卷

（理）

6、多面體的三視圖；

18、線線垂直、求二面角

19

7、由三視圖求幾何體的體積

18、線面垂直、二面角

18

6、由三視圖求幾何體的體積

18、線面垂直、求二面角

18

5、由三視圖求棱臺的體積

6、立體幾何命題的判定

18、線面垂直、求二面角

23

7、直線位置關(guān)系的判定

18、線面垂直、求二面角

18

18、異面直線垂直、二面角、

異面直線所成角的大小

14

廣東卷

（文）

9、同理6

18、線線垂直、點到面的距離

19

7、求幾何體的對角線的條數(shù)

9、由三視圖求幾何體的體積

18、證明四點共面、線面垂直

23

7、由三視圖求幾何體的體積

18、線面垂直、三棱錐的體積

18

6、由三視圖求三棱錐的體積

8、立體幾何命題的判定

18、線面平行、線面垂直的證明、三棱錐的體積

23

9、同理7

19、線面垂直、三棱錐的體積

18

6、空間直線位置關(guān)系的判定

18、線面平行、異面直線垂直、

點到面的距離

19

如表1，從近年的廣東高考試題來看，不論文科還是理科，立體幾何部分基本上都是一大一小2個題目，分值在18分左右（其中2013年文理科和2011年的文科數(shù)學(xué)是一大兩小，2015年理科數(shù)學(xué)僅有1道大題）.其中小題均為選擇題，考查的主要內(nèi)容是識別三視圖，以及利用所給三視圖求幾何體的體積，個別年份考查了空間中的點、線、面的位置關(guān)系（2013年和2014年）.解答題方面，分步設(shè)問，第1問主要考查空間幾何體中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（平行和垂直），主要考查線面垂直的證明，第2問往往體現(xiàn)出文理科的差異性，理科數(shù)學(xué)主要考查空間角（主要是二面角）的計算，文科數(shù)學(xué)主要考查三棱錐的體積、點到面的距離.文理科數(shù)學(xué)同題的現(xiàn)象很少，只是個別年份的小題相同，有些年份解答題的背景設(shè)置相似或者相同，但是在設(shè)問上還是會體現(xiàn)出差異.這也體現(xiàn)了廣東卷命制的過程中充分預(yù)計了文理科學(xué)生在數(shù)學(xué)思維和能力上的差別.表2

年份

試卷類型

考查知識點

分值

試卷類型

考查知識點

分值

2010

2011

2012

2013

2014

2015

全國新課標(biāo)Ⅰ卷

（理）

10.三棱柱外接球的表面積

14、三視圖（開放式）

18、線線垂直、線面角

22

6、三視圖的識別（側(cè)視圖）

7、與球有關(guān)的棱錐的體積

18、線線垂直、二面角

22

7、由三視圖求幾何體的體積

11、球的內(nèi)接三棱錐的體積

18、線線垂直、二面角

22

6、球的體積

8、由三視圖求體積

18、線線垂直、求線面角

22

12、由三視圖求幾何體的棱長

19、證明棱長相等、求二面角

17

6、圓錐體積有關(guān)的應(yīng)用題

11、三視圖

18、面面垂直、求異面直線所成角

22

全國新課標(biāo)Ⅰ卷

（文）

7.長方體外接球的表面積

15、三視圖（選擇式）

18、面面垂直、四棱錐的體積

22

8、同理6

16、球的內(nèi)接圓錐體積

21、線線垂直、棱錐的高

22

7、同理7

8、球的體積

19、面面垂直、幾何體體積

22

11、同理8

15、球的表面積

19、線線垂直、三棱錐的體積

22

8、由三視圖識別幾何體

19、面面垂直、求三棱錐的高

17

6、同理6

11、同理11

18、面面垂直、求三棱錐的側(cè)面積

22

如表2，近年的全國高考新課標(biāo)Ⅰ卷（2010至2012年為全國新課標(biāo)卷，2013至2015年全國新課標(biāo)Ⅰ卷）中，立體幾何內(nèi)容基本保持著一大兩小3個題目（2014年為一大一小2個題目）的格局，分值22分左右，削減了與球有關(guān)的問題（2010年至2013年均有考查）.兩道小題中，其一為三視圖，其考查內(nèi)容與廣東卷類似；文理科試卷在該題的命制上基本一樣，只是題目的位置略有不同，而另外的一道小題則往往完全不同，難度上有所差別，體現(xiàn)出文理差異.解答題方面，文理科數(shù)學(xué)考查的幾何體、所給條件以及第1個設(shè)問基本上是相同的，這體現(xiàn)了命題上的統(tǒng)一性.在第2個問題的設(shè)置上又體現(xiàn)出文理科的差異性：理科數(shù)學(xué)主要求解空間角（主要是二面角，2010和2013年考查線面角）；文科數(shù)學(xué)主要是求幾何體的體積或高.

命題的背景沒有設(shè)置障礙，都是學(xué)生比較熟悉的幾何體，讓考生都能夠入手，并且得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).命題的形式相對穩(wěn)定，沒有大的變化或者創(chuàng)新.但是對幾何體的認(rèn)識和建系求坐標(biāo)的要求較高.表3

年份

試卷類型

考查知識點

分值

試卷類型

考查知識點

分值

2013

2014

2015

全國新課標(biāo)Ⅱ卷（理）

4、線面位置關(guān)系的判定

7、三視圖（正視圖）的判定

18、線面平行、求二面角

22

8、由三視圖求體積之比

11、求異面直線所成角

18、已知二面角求三棱錐體積

22

6、三視圖

9、三棱錐外接球的表面積

19、作圖（截面）；求線面角

22

全國新課標(biāo)Ⅱ卷（文）

9、同理7

15、球的表面積

19、線面平行、三棱錐的體積

22

6.同理8

7、三棱錐的體積

18、線面平行、點到面的距離

22

6、同理6

10、同理9

19、（1）同理19（1）；

求截面所分兩個幾何體的體積之比

22

如表3，2013年以前全國高考課標(biāo)卷只有一套試題，而2013年開始出現(xiàn)了全國高考新課標(biāo)Ⅱ卷，主要面向貴州、云南等10個省市.立體幾何內(nèi)容為一大兩小3個題目，分值為22分.與解答題的考查互為補充，小題會考查常見幾何體中簡單的空間角、距離（三棱錐的體積）的求解，空間中線面位置關(guān)系的判定，三視圖以及與球有關(guān)的問題；解答題的考查與廣東卷和全國高考Ⅰ卷基本相同.2把握考試內(nèi)容，找準(zhǔn)應(yīng)對策略

綜上所述，全國新課標(biāo)卷的命題趨勢會以一大兩小3道題目的形式為主，文理科的命題上還是會體現(xiàn)統(tǒng)一性和差異性.核心考點將還會以三視圖和空間位置關(guān)系的考查為主，理科數(shù)學(xué)要注重空間角（尤其是二面角）的計算，文科數(shù)學(xué)要注重高或者體積（點到面的距離）的計算.同時需要重視與球有關(guān)的知識的復(fù)習(xí)和掌握.出題的背景還會以常見的經(jīng)典幾何體為主，因此在復(fù)習(xí)備考中要注重基礎(chǔ)，重視基本幾何體的定義、性質(zhì)及不同視角下經(jīng)典幾何體的線面關(guān)系.

從近年的高考卷中可以看出，立體幾何的考查內(nèi)容和形式都比較固定.作為得分題，在復(fù)習(xí)備考過程中，我們應(yīng)該注重基礎(chǔ)，掌握好常見幾何體的定義、性質(zhì)以及其中經(jīng)典的線面、面面關(guān)系，同時能夠靈活地變換視角研究幾何體.下面對高考題目進行梳理分析，嘗試找到相應(yīng)的備考策略，爭取最大限度的過關(guān).

2.1經(jīng)典幾何體的視角變換

“以能力立意”是高考命題的大方向，命題人往往會從經(jīng)典幾何體中的位置關(guān)系進行視角的變換、或者對圖形的元素進行增減的變換，經(jīng)過這種改頭換面的變式，達到“源于教材，高于教材”的命題目標(biāo).現(xiàn)在的高考命題要照顧到不同層次的學(xué)生，往往都是分步設(shè)問，層次分明.在分步設(shè)問的過程中，前面的設(shè)問和證明往往為后續(xù)的問題做足了鋪墊，指明方向.

經(jīng)典例題1（2013全國Ⅰ文19）如圖1，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=6，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

圖1圖2

經(jīng)典例題2（2013全國Ⅰ理18）如圖3，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（Ⅰ）證明AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.圖3圖4

備考策略兩個題目在命題背景和第1問的設(shè)置上完全相同.通過變換視角，考查學(xué)生對三棱柱的定義和性質(zhì)的認(rèn)知.第1問考查垂直關(guān)系的證明，在復(fù)習(xí)中要注重通法的訓(xùn)練.如垂直關(guān)系的證明要熟悉以下兩種常見的方法：（1）相交線的垂直往往要利用勾股定理（Rt△）或者三線合一（等腰△）；（2）異面直線的垂直關(guān)系往往要通過線面垂直去證得.而本題的第1問就結(jié)合了這兩種通法的考查.

此外，要注意分層設(shè)問的導(dǎo)向性.上述典型例題中，第（1）問的解決過程對第（2）問處理有著很強的指向性：A1E⊥AB，只要證到A1E⊥CE，即可證明A1E⊥平面ABC，即可證明A1E即是三棱柱的高，從而輕松解決體積的求解.在理科卷中，學(xué)生亦能通過第1問的鋪墊和指引，證明到兩兩垂直，找到建系的方向和標(biāo)準(zhǔn)，從而解決問題.

在復(fù)習(xí)備考中注重以上兩個方面的訓(xùn)練，學(xué)生對于解決這類經(jīng)典幾何體的問題會更有心得和信心.

2.2經(jīng)典幾何體及其割補問題圖5

經(jīng)典例題1（2012全國Ⅰ文19）如圖5，三棱柱ABC—A1B1C1中，

側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1[]2AA1，D是棱AA1的中點.

（1）證明：平面BDC1⊥平面BDC

（2）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

經(jīng)典例題2（2010全國Ⅰ文6）直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于（）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

備考策略2012年全國Ⅰ卷文理科卷在命題背景和第1個設(shè)問的設(shè)置上基本相同.理科數(shù)學(xué)的命題中規(guī)中矩，分別考查垂直關(guān)系的證明和二面角的求解.文科數(shù)學(xué)的命題在第2問上體現(xiàn)出差異性，主要考查常見幾何體進行分割之后的體積之比.學(xué)生要對分割之后的幾何體有清楚的認(rèn)識，必須具備比較扎實的基本功.第2問具有較好的區(qū)分度，水平較好的同學(xué)能夠通過三棱柱和四棱錐B—CDA1C1體積的求解，最終求出答案，當(dāng)然也有同學(xué)求出三棱柱和四棱錐C1—A1DBB1體積，達成目標(biāo)，很明顯第1種方法更加直接，而水平較差的同學(xué)甚至難以觀察出分割之后的幾何體是什么，自然半途而廢，無功而返.此種考法在新近出爐的2015全國新課標(biāo)Ⅱ卷文科解答題第19題中再一次出現(xiàn)，值得大家注意.

對于2010全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第6題，觀察發(fā)現(xiàn)，通過補形，將直三棱柱補成正方體，在正方體中可以輕松地解決問題.

因此，在復(fù)習(xí)備考中注重學(xué)生對于基本幾何體的認(rèn)知訓(xùn)練以及幾何體割補和視角變換，只要訓(xùn)練到位，學(xué)生對于解決這類問題就會更有心得和信心.2.3創(chuàng)新性問題

比較而言，廣東卷在立體幾何的解答題上有著更多的創(chuàng)新和嘗試.三視圖與直觀圖問題（2009廣東文18）、折疊與翻轉(zhuǎn)問題（2013廣東文理18），與函數(shù)有關(guān)的綜合等問題（2007年廣東理19）都曾在廣東卷里出現(xiàn)過，充分體現(xiàn)了廣東人的開放、活力與大膽.

此外，在以上三類高考試卷中尚未考查的創(chuàng)新性問題，如存在性與探索性問題，同樣值得引起注意，在各種模擬考試和其他地區(qū)的高考題（2012高考北京文16）中已經(jīng)屢見不鮮.3抓好雙基規(guī)范，提升知識水平

在立體幾何的復(fù)習(xí)過程中要想辦法讓學(xué)生建立起完整的知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生“轉(zhuǎn)化”和“降維”的數(shù)學(xué)思想.在立體幾何中既有位置關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，又有數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.立體幾何問題就是通過嚴(yán)密的推理論證，最終轉(zhuǎn)化到平面中解決.

在平面上呈現(xiàn)出的立體圖形必然與實際圖形產(chǎn)生差異，容易造成錯覺，而空間想象力就能克服這種錯覺.因此在教學(xué)中應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，正確認(rèn)識經(jīng)典幾何體的空間結(jié)構(gòu)以及元素的空間位置關(guān)系.在具體要求上，要把握好以下三點：（1）培養(yǎng)學(xué)生識圖、想圖、作圖的能力（包括規(guī)范圖形和非規(guī)范圖形）；（2）培養(yǎng)學(xué)生將概念、性質(zhì)靈活應(yīng)用于圖形的能力，要把文字語言、符號語言和圖形語言有機結(jié)合起來；（3）培養(yǎng)學(xué)生對圖形的處理能力，會把非標(biāo)準(zhǔn)圖形轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)圖形，對圖形的割、補、折、展等長考不衰的高考內(nèi)容應(yīng)重點關(guān)注.

利用空間向量解決立體幾何問題有許多優(yōu)勢，但仍有許多值得注意的地方：（1）建系問題；（2）注意要將幾何問題向量化，向量的結(jié)論還原為幾何結(jié)論；（3）利用向量運算解決空間角問題，要注意所求角的范圍以及它與向量夾角之間的關(guān)系.

然而向量法不能包打天下.向量法首先要注意到建系的合理性和準(zhǔn)確性，以便準(zhǔn)確、快速地找出與問題相關(guān)的點（向量）的坐標(biāo)，這些坐標(biāo)中一旦有一個出錯，就會讓人陷入“棋差一招，滿盤皆輸”的悲慘境地，況且有時候總有個別點的坐標(biāo)難以求解.

因此在復(fù)習(xí)備考的過程中，我們還是要扎扎實實地做好傳統(tǒng)幾何法和向量法的教學(xué)和訓(xùn)練，努力做到“兩手抓，兩手都要硬”，盡量不要有所偏廢.多一種方法，也就多一種選擇，多一份靈活.

把握趨勢，研究方法，夯實基礎(chǔ)，規(guī)范表達，相信經(jīng)過師生的共同努力，扎實有效的復(fù)習(xí)一定能夠在立體幾何部分結(jié)出碩果，也為高考數(shù)學(xué)的成功打下堅實的基礎(chǔ).作者簡介裴傳峰，男，1982年出生，河南省光山縣人，中學(xué)一級教師，廣州市越秀區(qū)教育系統(tǒng)教壇新秀.有多篇論文曾在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》等省級刊物上公開發(fā)表.曾參與多項各級各類課題研究，現(xiàn)為廣州市教育科學(xué)十二五規(guī)劃青年專項課題主持人.