高中數(shù)學(xué)模型化思維在研究性學(xué)習(xí)中的應(yīng)用試析

傅海倫等

1數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

研究性學(xué)習(xí)是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.其廣義是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行主動(dòng)探究的課程或活動(dòng).狹義是指在數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛(ài)好，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)和生活，自主選擇數(shù)學(xué)研究課題，以主動(dòng)探究的姿態(tài)和類(lèi)似科學(xué)研究的方式，探究得出自己的結(jié)論.數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)作為在數(shù)學(xué)學(xué)科背景下開(kāi)展的研究性學(xué)習(xí)方式，它能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究提供自由的探索和創(chuàng)造氛圍，也為數(shù)學(xué)的應(yīng)用提供有效的實(shí)踐途徑.

2數(shù)學(xué)模型化思維的內(nèi)涵及應(yīng)用背景

數(shù)學(xué)模型化思維是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要的思維方法，是形成數(shù)學(xué)建模過(guò)程與方法的基礎(chǔ)，這種思維最突出的特點(diǎn)是要求學(xué)生具有較強(qiáng)的模型識(shí)別和轉(zhuǎn)化能力，注重從現(xiàn)象到本質(zhì)，從直觀(guān)到抽象，把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行提煉，加工，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題.再用數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)將數(shù)學(xué)問(wèn)題解出，然后用數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案說(shuō)明和解釋實(shí)際問(wèn)題.

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)重視用模型化思維去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）即建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，它是一種數(shù)學(xué)的思維方法，一種以數(shù)學(xué)為工具，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的方法，包括對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)模型、驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型解的求解全過(guò)程[1].當(dāng)下，隨著數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽非常流行和受關(guān)注，數(shù)學(xué)模型化思維已深深地滲透和蘊(yùn)涵在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和對(duì)學(xué)生的思維能力培養(yǎng)之中.加之近幾年高考數(shù)學(xué)題中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題、數(shù)學(xué)開(kāi)放題越來(lái)越受到人們的關(guān)注，教師更應(yīng)該自覺(jué)地、主動(dòng)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型化思維.3高中數(shù)學(xué)模型化思維在研究性學(xué)習(xí)中應(yīng)用的理性分析

3.1數(shù)學(xué)模型化是數(shù)學(xué)建模的思維形式，而數(shù)學(xué)建模本身也是一種研究性學(xué)習(xí)

一方面，數(shù)學(xué)建模是讓數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間基于數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化建立通向問(wèn)題解決之路的大道.而數(shù)學(xué)模型化是數(shù)學(xué)建模的思維形式，研究性學(xué)習(xí)所關(guān)注的實(shí)際問(wèn)題無(wú)法直接用數(shù)學(xué)方法解決，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題需要先被抽象為可以解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型化思維的作用正是如此.另一方面，數(shù)學(xué)建模本身也是一種研究性學(xué)習(xí)，因?yàn)樗鼜?qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)問(wèn)題自主探究，學(xué)生通過(guò)分析和理解實(shí)際問(wèn)題或預(yù)先設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境，把握問(wèn)題中的核心內(nèi)涵并建立數(shù)學(xué)模型，這個(gè)過(guò)程伴隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用和學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)，這也正是研究性學(xué)習(xí)所提倡的.

3.2數(shù)學(xué)模型化思維具有開(kāi)放性與發(fā)展性，促使研究性學(xué)習(xí)在實(shí)踐中得到拓展

數(shù)學(xué)模型化思維與研究性學(xué)習(xí)的結(jié)合讓學(xué)生突破了以教室、教師、教材為中心的傳統(tǒng)教學(xué)觀(guān)念.由于研究性學(xué)習(xí)讓學(xué)生走出課堂，面對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)，學(xué)習(xí)環(huán)境是開(kāi)放、多元的，而數(shù)學(xué)模型化思維的開(kāi)放性和發(fā)展性正是讓開(kāi)放的現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)建立聯(lián)系.運(yùn)用數(shù)學(xué)模型化思維的目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用自己的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)去解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題.整個(gè)過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，更重要的是培養(yǎng)了創(chuàng)新能力[2].

3.3數(shù)學(xué)模型化思維應(yīng)用于研究性學(xué)習(xí)，可以形成研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種新模式

將數(shù)學(xué)模型化思維應(yīng)用于研究性學(xué)習(xí)，可以表征為：抽象—符號(hào)—應(yīng)用的基本模式.學(xué)生在探索、獲得數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，不僅應(yīng)用了所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，也同時(shí)獲得了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問(wèn)題的思想、程序與方法，這對(duì)于學(xué)生的思維發(fā)展來(lái)說(shuō)，其意義遠(yuǎn)大于僅僅獲得數(shù)學(xué)知識(shí)本身.通過(guò)這種研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的模式的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的提出問(wèn)題、分析問(wèn)題以及運(yùn)算求解和驗(yàn)證推廣能力，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家的研究過(guò)程、創(chuàng)造的激情，有助于培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勤于反思的思想和習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不畏艱難的科學(xué)精神[3].4高中數(shù)學(xué)模型化思維在研究性學(xué)習(xí)的應(yīng)用的一般程序

4.1知識(shí)背景準(zhǔn)備階段

首先讓學(xué)生明確進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的目標(biāo)、操作步驟和方法，以及本次學(xué)習(xí)活動(dòng)的意義.教師開(kāi)始對(duì)整個(gè)研究性學(xué)習(xí)過(guò)程做全程監(jiān)控.

4.2選題階段

學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛(ài)好，社會(huì)熱點(diǎn)等從現(xiàn)實(shí)生活中自由選題，或者教師根據(jù)教材所學(xué)內(nèi)容為學(xué)生提供與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系緊密的實(shí)際問(wèn)題.

4.3制定計(jì)劃，分工合作

將研究性學(xué)習(xí)各時(shí)期任務(wù)合理分配給小組成員，可根據(jù)個(gè)人意愿、興趣自由分配.

4.4搜集分析資料，豐富研究背景

學(xué)生根據(jù)研究課題搜集資料，做調(diào)查研究，明確此次研究所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并整理做好研究準(zhǔn)備.

4.5運(yùn)用數(shù)學(xué)模型化思維實(shí)施研究性學(xué)習(xí)

（1）跟據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題通過(guò)自己的理解改造為現(xiàn)實(shí)模型.

（2）依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，將現(xiàn)實(shí)模型抽象概括為數(shù)學(xué)模型.

（3）運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算求解方法將數(shù)學(xué)模型的解解出.

（4）將數(shù)學(xué)模型的解還原為現(xiàn)實(shí)模型的答案，并就其轉(zhuǎn)換關(guān)系做合理解釋.

（5）依據(jù)現(xiàn)實(shí)模型的解為原現(xiàn)實(shí)問(wèn)題做答，并檢驗(yàn)判斷是否符合實(shí)際，以作進(jìn)一步修改[4].

4.6處理結(jié)果，書(shū)寫(xiě)研究課題報(bào)告

在教師的指導(dǎo)下將研究成果做規(guī)范化整理并形成書(shū)面報(bào)告.

4.7自我評(píng)價(jià)與同學(xué)互評(píng)，形成資源共享

對(duì)研究成果分別進(jìn)行自我評(píng)價(jià)和同學(xué)互評(píng)，找出優(yōu)點(diǎn)與不足之處，相互吸取借鑒經(jīng)驗(yàn)，整個(gè)過(guò)程使得每位同學(xué)的研究性學(xué)習(xí)成果形成資源共享.

4.8教師點(diǎn)評(píng)并作研究總結(jié)

教師對(duì)研究成果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，更要對(duì)學(xué)生在整個(gè)研究性學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出的亮點(diǎn)及不足點(diǎn)出，從而促進(jìn)學(xué)生進(jìn)步，使其認(rèn)識(shí)到研究性學(xué)習(xí)的價(jià)值.5案例分析

在學(xué)習(xí)數(shù)列這一章的時(shí)候，教師布置了一個(gè)研究性學(xué)習(xí)任務(wù)，讓同學(xué)們?cè)谏钪姓页雠c數(shù)列有關(guān)的事物，抽象成問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)建模的方法將問(wèn)題解出.

有一個(gè)小組的同學(xué)根據(jù)教師的要求，細(xì)心觀(guān)察生活，發(fā)現(xiàn)生活中的養(yǎng)老金問(wèn)題可以抽象為數(shù)列問(wèn)題.然后小組成員分工合作，搜集關(guān)于養(yǎng)老金問(wèn)題的資料，得到一個(gè)問(wèn)題素材：

某位青年已經(jīng)工作了幾年，從開(kāi)始工作就參加了養(yǎng)老保險(xiǎn).他每年年末存入等差額年金p元，第一年末存入了p元，第2年末存入了2p元，……，第n年末需要存入np元，年利率為r，則第n+1年初他可以一次性獲得養(yǎng)老金本利合計(jì)多少元？

案例分析在數(shù)學(xué)教學(xué)中由淺入深、由易到繁地運(yùn)用模型法思想，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，還可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力.本例中的這一組同學(xué)通過(guò)分析認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題可以抽象為“數(shù)列模型”，運(yùn)用數(shù)列的解題方法將其解出.從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想建立數(shù)學(xué)模型，使實(shí)際問(wèn)題具體化、數(shù)學(xué)化，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求出了數(shù)學(xué)模型的解，從而使問(wèn)題得到解決.以下是解題過(guò)程：

這人各年存款數(shù)本利合計(jì)為

p（1+r）n-1，2p（1+r）n-2，…，n-1p1+r，np

所以第n+1年初他有本利合計(jì)為

n=p（1+r）n-1+2p（1+r）n-2+…+n-1p1+r+np①

11+r×①，得

11+rn=p1+rn-2+2p1+rn-3+…+n-1p+np1+r②

①-②，得

r1+rn=p（1+r）n-1+p（1+r）n-2+…+p-np1+r，

即

r1+rn=p[（1+r）n-1]r-np1+r，

所以

n=p[（1+r）n+1-n+1r-1]r2.

所以，第n+1年初他可以一次性獲得養(yǎng)老金本利合計(jì)n=p[（1+r）n+1-n+1r-1]r2元.

這組同學(xué)在數(shù)學(xué)課上將自己的研究過(guò)程展示給全班同學(xué)，其他同學(xué)了解了他們的學(xué)習(xí)情況后，對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行評(píng)價(jià)和提問(wèn)，這組同學(xué)為其解答，最后教師對(duì)整個(gè)過(guò)程做出評(píng)價(jià)，指出這組同學(xué)此次研究性學(xué)習(xí)的優(yōu)點(diǎn)與不足之處，也為其他同學(xué)提供了一次學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)[5].

在解決本題的過(guò)程中，學(xué)生們真正感受到了數(shù)學(xué)模型化思維方法的魅力，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；感受到了數(shù)學(xué)模型法使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題不再神秘莫測(cè)，能夠順利求解.數(shù)學(xué)模型法促使學(xué)生學(xué)會(huì)觀(guān)察、分析、綜合、概括、歸納、類(lèi)比、判斷，學(xué)會(huì)怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)、怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).6值得注意的幾個(gè)問(wèn)題

6.1注重培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力

“元認(rèn)知”即“對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知”，是學(xué)生學(xué)習(xí)的自我意識(shí)和自我監(jiān)控能力.在運(yùn)用數(shù)學(xué)模型化思維于研究性學(xué)習(xí)之中時(shí)，教師應(yīng)放手讓學(xué)生去獨(dú)立進(jìn)行，研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)能力，學(xué)習(xí)任務(wù)的具體要求，積極主動(dòng)地調(diào)整自己的學(xué)習(xí)策略，對(duì)自己的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程起到有效的監(jiān)控與調(diào)節(jié).并在學(xué)習(xí)的最后，讓學(xué)生進(jìn)行自我審視，自我評(píng)價(jià).

6.2數(shù)學(xué)教師面臨更高的要求

數(shù)學(xué)模型化思維應(yīng)用于研究性學(xué)習(xí)，克服了傳統(tǒng)教學(xué)方法的弊端，同時(shí)它也給數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求.在建模研究的過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師要比學(xué)生更加擴(kuò)大知識(shí)面，收集更多有用的信息和學(xué)生可能用到的數(shù)學(xué)工具，在開(kāi)放的情境中把握方向，引領(lǐng)學(xué)生.面對(duì)不同的學(xué)習(xí)活動(dòng)、不同的學(xué)生，實(shí)施靈活并且積極的教學(xué)評(píng)價(jià)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)戰(zhàn)中增強(qiáng)自信心.

6.3重視引導(dǎo)反思，內(nèi)化新知

數(shù)學(xué)模型化思維應(yīng)用于研究性學(xué)習(xí)，既要重視過(guò)程中學(xué)生的思維的發(fā)散性、開(kāi)放性，又要重視后期階段的反思、提煉和思維的聚合性.因此，教師應(yīng)善于捕捉思維的恰當(dāng)時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生做到收發(fā)有度，聚焦本質(zhì)，促進(jìn)研究性學(xué)習(xí)目標(biāo)的有效達(dá)成.同時(shí)，教師要充分發(fā)揮問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的作用，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己、對(duì)別人的研究性學(xué)習(xí)過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行反思概括，這樣才能達(dá)到內(nèi)化新知，新舊知識(shí)建立聯(lián)結(jié)，促進(jìn)同化與順應(yīng)過(guò)程的實(shí)現(xiàn).參考文獻(xiàn)[1]夏師.關(guān)于在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)的思考＼[J＼].教育與職業(yè)，2010，（12）：96-97.

[2]劉魯文，黃娟.數(shù)學(xué)建模研究型學(xué)習(xí)理論架構(gòu)與實(shí)踐模式探討＼[J＼].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，7（3）：688-690.

[3]白興波.數(shù)學(xué)建模與中學(xué)生研究性學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)＼[J＼].江西金融職工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，19：305-306.

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[5]蘭永勝.數(shù)學(xué)思想方法與建模技巧＼[M＼].青島：青島海洋大學(xué)出版社，2000：226-229.

作者簡(jiǎn)介傅海倫，男，1970年生，山東曹縣人，山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）博士生導(dǎo)師，教授.王浩，男，1991年生，全日制教育碩士研究生.晁冉冉，女，1990年生，課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）碩士研究生.