縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)命題,可以發(fā)現(xiàn)“新定義”問題越來越受到重視.這類題目以能力立意為目標(biāo),集應(yīng)用性、探索性和開放性于一體,在全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、方法及數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考查學(xué)生的創(chuàng)新探究能力與學(xué)習(xí)潛力等綜合素質(zhì).
新定義題,是指在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有學(xué)過的新概念、新符號、新運(yùn)算等,需要學(xué)生利用已有知識、能力進(jìn)行閱讀理解,并結(jié)合新概念解決問題的題目.下面對2015年高考中新定義型試題的三種題型進(jìn)行分析.1函數(shù)新定義
例1(2015年湖北理6)已知符號函數(shù)sgnx=1,x>0,
0,x=0,
-1,x<0,f(x)是R上的增函數(shù),g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),則().
A.sgn[g(x)]=sgnx
B.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]
C.sgn[g(x)]=-sgnx
D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]
解析分類比較x與ax的大小,根據(jù)f(x)的單調(diào)性確定g(x)的符號,從而確定sgn[g(x)],再結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
因?yàn)閍>1,所以當(dāng)x>0時(shí),x
點(diǎn)評此題結(jié)合高等數(shù)學(xué)中“符號函數(shù)”來編擬適合高中生的試題,體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的和諧美.本題較好地考查了學(xué)生的知識遷移能力、轉(zhuǎn)化能力及探究能力,是高考命題者喜歡的題型.2實(shí)數(shù)運(yùn)算新定義
例2(2015年山東文14)定義運(yùn)算“”:xy=x2-y2xyx,y∈R,xy≠0.當(dāng)x>0,y>0時(shí),xy+2yx的最小值為.
解析先利用定義的新運(yùn)算寫出解析式:xy+2yx=x2-y2xy+4y2-x22xy=x2y+yx,再利用基本不等式求得xy+2yx的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號成立.
點(diǎn)評在高考題中引入新的符號,通過定義一種新的運(yùn)算,考查學(xué)生的自學(xué)能力和探究能力.通過分析這類題目,給中學(xué)老師一種啟發(fā),就是在實(shí)際教學(xué)過程中,一定要注意培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力及自主探索的能力.
例3(2015年福建理15)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元,二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時(shí)會發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?)
已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,
x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,其中⊕運(yùn)算定義為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.
現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于.
解析二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,說明在x1=1,x2=1,x3=0,x4=1,x5=1,x6=0,x7=1中僅有一個(gè)等式錯(cuò)誤.根據(jù)⊕定義可得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=0,所以x2=1,,x3=0,x6=0,x7=1是正確的.又因?yàn)?/p>
x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=1≠0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1≠0,故x1,x4,x5都錯(cuò)誤,或僅x5錯(cuò)誤.因?yàn)闂l件中要求僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤,故只有x5錯(cuò)誤.
點(diǎn)評本題所定義的運(yùn)算法則實(shí)質(zhì)上是計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制運(yùn)算.掌握計(jì)算機(jī)知識已成為現(xiàn)代公民的基本素養(yǎng),所以在日常教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活,注重應(yīng)用.對于新運(yùn)算應(yīng)該緊扣運(yùn)算法則,通過推導(dǎo)判斷,從而獲得正確的結(jié)論.3集合運(yùn)算新定義
例4(2015年浙江理6)設(shè)集合A,B是有限集,定義d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),
其中card(A)表示有限集A中元素的個(gè)數(shù).
命題①:對于任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件;
命題②:對于任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).
A.命題①和命題②都成立
B.命題①和命題②都不成立
C.命題①成立,命題②不成立
D.命題①不成立,命題②成立
解法一命題①成立,若A≠B,則card(A∪B)>card(A∩B),
所以d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)>0成立.反之可以把上述過程逆推,故“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件;
命題②成立,由Venn圖知card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),
d(A,C)=card(A)+card(C)-2card(A∩C),
d(B,C)=card(B)+card(C)-2card(B∩C),
d(A,B)+d(B,C)-d(A,C)
=card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C)-2card(B∩C)
-[card(A)+card(C)-2card(A∩C)]
=2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)+2card(A∩C)
=2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∩B)+card(B∩C)]
≥2card(B)+2card(A∩C)-2[card((A∪C)∩B)+card(A∩B∩C)]
=[2card(B)-2card((A∪C)∩B)]+[2card(A∩C)-card(A∩B∩C)]≥0.
所以d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)得證.選A.
解法二畫集合的Venn圖,ni(ni≥0)表示區(qū)域內(nèi)元素的個(gè)數(shù).
由圖甲知d(A,B)=(n1+n3+n2)-n3=n1+n2,A≠B等價(jià)于d(A,B)>0,命題①成立.
由圖乙知d(A,C)=(n1+n4)+(n3+n6)=n1+n3+n4+n6.
d(A,B)+d(B,C)=[(n1+n5)+(n2+n6)]+[(n2+n4)+(n3+n5)]=(n1+n3+n4+n6)+2(n2+n5).
d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C),當(dāng)A=B=C時(shí)等號成立,命題②成立,故選A.
點(diǎn)評本題是結(jié)合集合概念以及充要條件判斷的新定義問題,考查學(xué)生的閱讀理解能力、創(chuàng)新能力及推理論證能力.
例5(2015年湖北理9文10)已知集合A={(x,y)x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)x≤2,y≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為().
A.77B.49C.45D.30
解析集合A={(x,y)x2+y2≤1,x,y∈Z}={(x,y)x=±1,y=0;或x=0,y=±1;或x=0,y=0},
集合B={(x,y)x≤2,y≤2,x,y∈Z}={(x,y)x=-2,-1,0,1,2;y=-2,-1,0,1,2}.
集合A⊕B表示點(diǎn)集.
由x1=-1,0,1,x2=-2,-1,0,1,2,得x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3共7種取值可能.
同理,由y1=-1,0,1,y2=-2,-1,0,1,2,可得y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3共7種取值可能.
當(dāng)x1+x2=-3或3時(shí),y1+y2可以為-2,-1,0,1,2中的一個(gè)值,分別構(gòu)成5個(gè)不同的點(diǎn);
當(dāng)x1+x2為-2,-1,0,1,2時(shí),y1+y2可以為-3,-2,-1,0,1,2,3中的一個(gè)值,分別構(gòu)成7個(gè)不同的點(diǎn);
故A⊕B共有5×2+5×7=45(個(gè))元素,選C.
點(diǎn)評在集合知識的基礎(chǔ)上,引入集合新運(yùn)算,考查了知識遷移能力,以及分析問題解決問題的能力.在確定集合A⊕B中元素的個(gè)數(shù)時(shí),考查了數(shù)據(jù)的處理能力以及分類討論思想的應(yīng)用.
在高考命題“由知識立意向能力立意過渡”指導(dǎo)思想的要求下,新定義題型會受到命題者更多青睞,須引起廣大師生的重視.
作者簡介魏巍,1980年生,山東青島人,中學(xué)一級教師,教育碩士.工作期間,多次被評為優(yōu)秀教師、三八紅旗手,2007年參加濟(jì)寧市優(yōu)質(zhì)課評比獲二等獎(jiǎng).