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    運(yùn)用定義解2015年高考數(shù)學(xué)題及其啟示

    2015-10-08 18:30:35童其林
    關(guān)鍵詞:理科圖象橢圓

    一般來說,數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來揭示其本質(zhì)特征的.但在這之前,有一個(gè)通過實(shí)例、練習(xí)及口頭描述來理解的階段.比如,兒童對自然數(shù),對運(yùn)算結(jié)果——和、差、積、商的理解,就是如此.到高年級,開始出現(xiàn)以文字表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)概念,即定義的方式,如分?jǐn)?shù)、比例、極值等.有些數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過長期的醞釀,最后才以定義的形式表達(dá),如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、等差等比數(shù)列、極限等.定義是準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式,定義也是思維的起點(diǎn).仔細(xì)研究2015年各地高考試題,發(fā)現(xiàn)考查定義、運(yùn)用定義解題的問題不少.下面我們舉例說明,期望對考生的復(fù)習(xí)備考有幫助.1運(yùn)用定義解2015年高考數(shù)學(xué)題

    1.1運(yùn)用函數(shù)定義

    例1(2015年浙江卷理科7)存在函數(shù)f(x)滿足:對于任意x∈R都有().

    A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+x

    C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|

    解析取x=0,可知f(sin0)=sin0=0,再取x=π2,可知f(sinπ)=sinπ2=1,所以不存在函數(shù)f(x),使得f(sin2x)=sinx,否則有f(0)=0且f(0)=1,不滿足函數(shù)概念的唯一性.所以A錯(cuò).

    取x=0,可知f(sin0)=sin0=0,再取x=π2,可知f(sinπ)=π22+π2,同樣,不存在函數(shù)f(x)使得f(sin2x)=x2+x,否則有f(0)=0且f(0)=π22+π2,不滿足函數(shù)概念的唯一性.所以B錯(cuò).

    取x=1,可得f(2)=2,再取x=-1,可得f(2)=0,所以C錯(cuò).

    所以,選D.事實(shí)上,存在函數(shù)f(x)=x+1使得f(x2+2x)=|x+1|成立.

    點(diǎn)評定義是教學(xué)之根,把根留住數(shù)學(xué)的天地才能郁郁蔥蔥.

    1.2運(yùn)用反函數(shù)定義

    例2(2015年上海卷理科10)設(shè)f-1(x)為f(x)=2x-2+x2,x∈0,2的反函數(shù),則y=f(x)+f-1(x)的最大值為.

    解析函數(shù)f(x)=2x-2+x2,x∈0,2是增函數(shù),所以f(x)的最大值是f(2)=1+1=2,最小值是f(0)=14.所以f(x)的值域是14,2.

    因?yàn)樵瘮?shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)關(guān)于直線y=x對稱,若(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上(即f(a)=b),則(b,a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上(即a=f-1(b)),又f(x)=2x-2+x2,x∈0,2的反函數(shù)f-1x也是增函數(shù),反函數(shù)的定義域14,2,

    值域?yàn)?,2,所以反函數(shù)的最大值為2,

    所以y=fx+f-1x的最大值為f(2)+f-1(2)=2+2=4.

    點(diǎn)評本題是利用函數(shù)與其反函數(shù)定義和性質(zhì)求解的問題,具體求出反函數(shù)解析式是不可能的,要對函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系很清楚:(1)函數(shù)與其反函數(shù)在其定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性,(2)函數(shù)與其反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱,(3)若點(diǎn)(x,y)在原函數(shù)圖象上,則點(diǎn)(y,x)在其反函數(shù)圖象上.

    13運(yùn)用二面角定義圖1

    例3(2015年浙江卷理科8)如圖1,已知△ABC,D是AB的中點(diǎn),沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′—CD—B的平面角為α,則().

    A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

    C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

    解析這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題,在變化中蘊(yùn)含不變的東西.當(dāng)翻折180°時(shí),若AC=BC,則∠A′DB=α=0,∠A′CB=α=0;當(dāng)AC≠BC時(shí),∠A′DB>0,∠A′CB>0,α=0.此時(shí),A和C錯(cuò).

    當(dāng)翻折0°時(shí),α=180°,∠A′DB=180°,∠A′CB<180°.此時(shí),D錯(cuò).

    只有B在兩種情況下均成立,所以選B.

    點(diǎn)評二面角的取值范圍是[0°,180°],即問題包含翻折180°和無翻折的情形,利用這個(gè)特殊情形可快速求解.

    1.4運(yùn)用圓錐曲線定義

    例4(2015年浙江卷理科5)如圖2所示,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是().

    A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1

    圖2

    解析如圖2,過A作AM垂直于準(zhǔn)線x=-1,垂足為M,AM交y軸于A1,過B作BN垂直于準(zhǔn)線x=-1,垂足為N,BN交y軸于B1,則AF=AM,BF=BN,所以

    △BCF△ACF=BCAC=CB1CA1=BB1AA1=BF-1AF-1.故選A.

    點(diǎn)評利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離相等,可以幫助我們快速解題.圖3

    例5(2015年重慶卷理科21)如圖3所示,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQ⊥PF1.

    (1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e.

    解(1)由橢圓的定義,得2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.

    設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF1⊥PF2,得2c=

    |F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=

    (2+2)2+(2-2)2=23,

    即c=3,從而b=a2-c2=1.

    故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.

    (2)方法一如圖3,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),由點(diǎn)P在橢圓上,且PF1⊥PF2,得

    x20a2+y20b2=1,x20+y20=c2,

    求得x0=±aca2-2b2,y0=±b2c.

    由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,從而

    |PF1|2=(aa2-2b2c+c)2+b4c2

    =2(a2-b2)+2aa2-2b2=(a+a2-2b2)2.

    由橢圓的定義,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由

    |PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,得|QF1|=4a-2|PF1|.

    又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此

    (2+2)|PF1|=4a,即(2+2)(a+a2-2b2)=4a,

    于是(2+2)(1+2e2-1)=4,解得

    e=12×1+(42+2-1)2=6-3.

    方法二如圖3,由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,得|QF1|=4a-2|PF1|.

    又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此,4a-2|PF1|=2|PF1|,得|PF1|=2(2-2)a,從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a.

    由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此

    e=ca=|PF1|2+|PF2|22a=

    (2-2)2+(2-1)2=9-62=6-3.

    點(diǎn)評解這樣的題目,圓的定義、橢圓的定義都派上了用場.

    1.5運(yùn)用指數(shù)式與對數(shù)式定義

    例6(2015年浙江卷理科12)若a=log43,則2a+2-a=.

    解析因?yàn)閍=log43,所以4a=32a=3,所以2a+2-a=3+13=433.

    點(diǎn)評這是一個(gè)簡單問題,只要弄清楚指數(shù)式與對數(shù)式轉(zhuǎn)換的定義即可求解.

    1.6運(yùn)用奇偶函數(shù)定義

    例7(2015年廣東卷理科3)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是().

    A.y=1+x2B.y=x+1xC.y=2x+12xD.y=x+ex

    解析若f(x)=1+x2,則f(-x)=1+(-x)2=1+x2=f(x)(x∈R),即A是偶函數(shù);若f(x)=x+1x,則f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x)(x≠0),即B是奇函數(shù);若f(x)=2x+12x,則f(-x)=2-x+12-x=12x+2x=f(x)(x∈R),即C是偶函數(shù);令f(x)=x+ex,則f(1)=1+e,f(-1)=-1+e-1,即f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以y=x+ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),故選D.

    點(diǎn)評本題考查函數(shù)的奇偶性,屬于容易題.

    例8(2015年新課標(biāo)全國卷Ⅰ,理科13)若函數(shù)f(x)=xln(x+a+x2)為偶函數(shù),則a=.

    解析由f(-x)=f(x)得-xln(-x+a+x2)=xln(x+a+x2),即x[ln(x+a+x2)+ln(-x+a+x2]=xlna=0對定義域內(nèi)的任意x恒成立,因?yàn)閤不恒為0,所以lna=0,所以a=1.

    1.7考查充要條件的定義

    例9(2015年北京卷理科4)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m是直線且mα.“m∥β”是“α∥β”的().

    A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

    C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

    解析因?yàn)棣?,β是兩個(gè)不同的平面,m是直線且mα.若“m∥β”,則平面α,β可能相交也可能平行,不能推出α∥β,反過來若α∥β,由面面平行定義知α∩β=,又mα,所以m∩β=,所以m∥β,從而“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件.選B.

    點(diǎn)評本題考查了面面平行的定義和性質(zhì),空間直線與平面的位置關(guān)系,充要條件等.

    1.8運(yùn)用排列組合定義

    例10(新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科10)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為().

    A.10B.20C.30D.60

    解析在(x2+x+y)5的5個(gè)因式中,2個(gè)取因式中的x2,剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取x,其余因式取y,故x5y2的系數(shù)為C25C13C22=30,故選C.

    點(diǎn)評本題還有其它解法,但運(yùn)用排列組合定義能直達(dá)目標(biāo).其實(shí),二項(xiàng)式定理就是通過排列組合定義推導(dǎo)出來的,利用證明定理的方法解決問題也是重要方法.

    1.9應(yīng)用數(shù)列前n項(xiàng)和定義

    例11(新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科16)設(shè)n是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=nn+1,則n=.

    解析因?yàn)閍1=-1,an+1=nn+1,所以1=-1,n+1-n=nn+1,所以1n+1-1n=-1,所以數(shù)列1n是首項(xiàng)為-1,公差為-1的等差數(shù)列,所以1n=-1-(n-1)=-n,所以n=-1n.

    點(diǎn)評應(yīng)用數(shù)列前n項(xiàng)和定義得出an+1=n+1-n=nn+1,再構(gòu)造等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵.

    1.10新定義問題

    例12(2015年浙江卷理科6)設(shè)A,B是有限集,定義:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的個(gè)數(shù).

    命題①:對任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件;

    命題②:對任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).

    A.命題①和命題②都成立

    B.命題①和命題②都不成立

    C.命題①成立,命題②不成立

    D.命題①不成立,命題②成立

    解析畫出文氏圖可知,無論是A∩B≠,A∩B=,A=B,AB,BA,命題①均正確,再畫出A、B、C所有可能的情形,可得命題②正確.選A.圖4

    例13(2015年北京卷理科8)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,如圖4描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是().

    A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米

    B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多

    C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油

    D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油

    解析“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,A中乙車消耗1升汽油,最多行駛的路程為乙車圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)值,A錯(cuò)誤;B中以相同速度行駛相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B錯(cuò)誤,C中甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km,消耗8升汽油,C錯(cuò)誤,D中某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).由于丙比乙的燃油效率高,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,選D.

    點(diǎn)評本題是函數(shù)應(yīng)用問題,考查了對“燃油效率”新定義的理解及對圖象的理解.新定義問題是高考數(shù)學(xué)的熱門話題,幾乎每年都有此類問題出現(xiàn)——為了公平,為了考查學(xué)習(xí)能力.

    在2015年的高考中,我們還可以找到一些運(yùn)用定義解題的例子,可以說,考查定義的掌握程度是高考命題的一個(gè)重要方向.2啟示

    定義是思維的基本形式,具有確定研究對象和任務(wù)的作用.數(shù)學(xué)定義則是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映.數(shù)學(xué)定義是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ),是提高解決問題能力的的前提,是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓.因此,數(shù)學(xué)定義教學(xué)是“雙基”教學(xué)的核心之一,是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,所以必須引起足夠重視.從2015年的高考題重視對定義的考查,可以預(yù)見未來還會(huì)重視對定義的考查.

    在平時(shí)學(xué)習(xí)定義時(shí),力求明了:①該定義討論的對象是什么?②定義中有哪些規(guī)定和限制條件?它們與已掌握的舊知識(shí)有何聯(lián)系?③定義的名稱、表述的語言有何特點(diǎn)?與日常生活用語、與其它相應(yīng)概念比較,有沒有容易混淆的地方?應(yīng)當(dāng)怎樣區(qū)別?④該定義有沒有重要的等價(jià)敘述?為什么等價(jià)?⑤由該定義中的條件和規(guī)定,能夠歸納出哪些基本的性質(zhì)?各個(gè)性質(zhì)在具體運(yùn)用中有何作用?能派生出哪些數(shù)學(xué)思想方法?等等.

    在教學(xué)中要克服定義隨便講,或者講得膚淺的做法.不要以為深刻定義會(huì)擠占習(xí)題的時(shí)間,影響學(xué)生成績的提高.其實(shí),概念定義清楚了,更容易把握數(shù)學(xué)本質(zhì),做題就更節(jié)省時(shí)間,也是提高教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán).

    作者簡介童其林,男,1963年生,中學(xué)高級教師,福建省特級教師,龍巖市杰出人民教師,曾有200余篇文章發(fā)表,主要從事教學(xué)管理研究與數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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