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    “學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的四個(gè)特征

    2015-10-08 18:02:35陳柏良
    關(guān)鍵詞:學(xué)為中心圖象函數(shù)

    課堂教學(xué)以“學(xué)為中心”,即以“學(xué)生為中心”,以“學(xué)生的學(xué)為中心”,強(qiáng)調(diào)教學(xué)中“學(xué)”的第一性,強(qiáng)調(diào)教育要承認(rèn)和重視學(xué)生個(gè)體差異對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)和效果的影響,強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)應(yīng)著力于讓每位學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)揮他們的主體性,挖掘每位學(xué)生最大的潛力,讓每位學(xué)生在求真、民主、合作、愉悅的良好學(xué)習(xí)氛圍中獲得預(yù)期的意義建構(gòu)、能力提升以及身心的健全發(fā)展.

    一般地說(shuō),“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)至少有著四個(gè)顯著的特征:其一,問(wèn)題開(kāi)放.每個(gè)學(xué)生都是一個(gè)個(gè)獨(dú)立的個(gè)體,都有自己不同的思維方式,教學(xué)應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)開(kāi)放的問(wèn)題,使不同思維層次的學(xué)生在課堂上都能積極地思維;其二,認(rèn)知主動(dòng).學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的事情,任何人都代替不了,故而“學(xué)為中心”必須讓學(xué)生在課堂上主動(dòng)認(rèn)知,有極高的參與度;其三,思維多元.開(kāi)放的問(wèn)題,必然導(dǎo)致學(xué)生思維的多元,學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中見(jiàn)仁見(jiàn)智,相互啟發(fā),發(fā)展思維;其四,建構(gòu)豐富.學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和原理的同時(shí),數(shù)學(xué)思想方法得到充分的感悟,情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)也得到充分體驗(yàn)和發(fā)展.本文結(jié)合具體實(shí)例闡述,以與同行探討.1問(wèn)題開(kāi)放

    問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,離開(kāi)問(wèn)題,課堂教學(xué)無(wú)從談起.然而怎樣設(shè)計(jì)問(wèn)題卻是大有學(xué)問(wèn),同樣的教材內(nèi)容和素材,不同的設(shè)計(jì),其收效則完全不同.課堂是學(xué)生的課堂,問(wèn)題設(shè)計(jì)當(dāng)圍繞“學(xué)為中心”,為學(xué)而設(shè)計(jì).學(xué)生大多思維層次不一,各自又有不同的“最近發(fā)展區(qū)”,因而,教師對(duì)問(wèn)題的設(shè)計(jì),要有一定的開(kāi)放性,讓不同學(xué)生的思維相互碰撞和交融,真正使數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生學(xué)習(xí)和鍛煉數(shù)學(xué)思維的場(chǎng)所,感悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的場(chǎng)所.

    案例1函數(shù)的單調(diào)性.

    高中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究分成兩個(gè)階段:第一階段是用運(yùn)算的性質(zhì)研究單調(diào)性,知道它的變化趨勢(shì);第二階段是用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究單調(diào)性,知道它的變化快慢.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì),是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的概念,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù).它體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法,這就是,加強(qiáng)數(shù)與形的結(jié)合,由直觀(guān)到抽象,由特殊到一般,由感性到理性,由定性描述到定量刻畫(huà),首先借助于圖象的觀(guān)察、分析、歸納,發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增減變化的直觀(guān)特征,進(jìn)一步量化,發(fā)現(xiàn)增減變化的數(shù)字特征,從而進(jìn)一步解析研究,數(shù)學(xué)刻畫(huà).

    基于對(duì)本節(jié)課教材內(nèi)容的理解,和其在研究函數(shù)性質(zhì)中的突出地位,筆者認(rèn)為在引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察函數(shù)圖象特征這一環(huán)節(jié)中,可對(duì)問(wèn)題進(jìn)行開(kāi)放式設(shè)計(jì),以給學(xué)生提供廣闊的思維空間.

    如筆者曾設(shè)計(jì):觀(guān)察下列函數(shù)圖象(教師用ppt給出函數(shù)f(x)=x+1,f(x)=x2,f(x)=x3,f(x)=x3-2x2-x+2,f(x)=-x的圖象),試分析每個(gè)圖象各自的特點(diǎn),從中尋找它們的不同點(diǎn)和相同點(diǎn).

    教學(xué)中,學(xué)生通過(guò)觀(guān)察,紛紛表達(dá)了各自所見(jiàn),交流如下:

    (1)函數(shù)f(x)=x2的圖象和f(x)=-x的圖象都是軸對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)軸是y軸;函數(shù)f(x)=x3的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn).

    (2)函數(shù)f(x)=x+1,f(x)=x2,f(x)=x3,f(x)=-x的圖象與x軸都只有1個(gè)交點(diǎn);函數(shù)f(x)=x3-2x2-x+2的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn).

    (3)函數(shù)f(x)=x+1,f(x)=x3的圖象都是上升的;函數(shù)f(x)=x2,f(x)=x3-2x2-x+2,f(x)=-x的圖象有時(shí)上升,有時(shí)下降.

    (4)函數(shù)f(x)=x+1和f(x)=x3的值隨著x的增大而增大;函數(shù)f(x)=x2的值先隨著x的增大而減小,再隨著x的增大而增大;函數(shù)f(x)=x3-2x2-x+2的值先是隨著x的增大而增大,接著隨著x的增大而減小,最后隨著x的增大而增大;函數(shù)f(x)=-x的值先隨著x的增大而增大,再隨著x的增大而減小.

    ……

    學(xué)生從不同的視角對(duì)每個(gè)圖象的特點(diǎn)從整體到局部,從宏觀(guān)到微觀(guān)進(jìn)行了分析和表達(dá),對(duì)以上所見(jiàn)之(1)、(2)雖不是本節(jié)課研究函數(shù)單調(diào)性的主要內(nèi)容,但為后續(xù)研究函數(shù)的奇偶性埋下了伏筆.筆者對(duì)學(xué)生細(xì)密的觀(guān)察和分析予以了積極的肯定,同時(shí)選擇學(xué)生觀(guān)察所見(jiàn)之(3)開(kāi)始本節(jié)課的教學(xué).

    在平時(shí)的教學(xué)中,不少教師常常是給出幾個(gè)函數(shù)圖象后,讓學(xué)生觀(guān)察每個(gè)圖象的變化趨勢(shì),以此開(kāi)始對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的學(xué)習(xí),問(wèn)題指向單一,問(wèn)題素材價(jià)值未充分挖掘,不同思維層次的學(xué)生難以有不同的展示,問(wèn)題只為“教”著想,未為“學(xué)”服務(wù).2認(rèn)知主動(dòng)

    “學(xué)為中心”的課堂,學(xué)生認(rèn)知主動(dòng),參與度強(qiáng),不同思維層次的學(xué)生都能保持一種持久、亢奮的學(xué)習(xí)狀態(tài).當(dāng)然,這要求教師在課堂教學(xué)中始終突出以學(xué)為本,站在學(xué)生的背后,面對(duì)一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生先思、先說(shuō),展示他(她)的認(rèn)知成果.

    案例2一元二次不等式及其解法(選自人教版A版必修5).

    本節(jié)課的主要內(nèi)容是一元二次不等式及其解法.教材圍繞一元二次不等式有關(guān)概念的形成過(guò)程及一元二次不等式的解法,教材按照“經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程——通過(guò)函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系——對(duì)于給定的一元二次不等式,嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖”的邏輯順序展開(kāi),著重研究了一元二次不等式的解與二次函數(shù)、一元二次方程的密切關(guān)聯(lián).在日常教學(xué)中,不少教師按教材情境(上網(wǎng)計(jì)費(fèi)問(wèn)題)得到不等式x2-5x≤0,然后講授一元二次不等式的概念,接著,就引導(dǎo)學(xué)生考察該不等式與二次函數(shù)y=x2-5x以及一元二次方程x2-5x=0的關(guān)系.課上,思維都被教師牽引著,學(xué)生難有主動(dòng)的學(xué).筆者認(rèn)為,在引導(dǎo)學(xué)生考察該不等式與二次函數(shù)y=x2-5x以及一元二次方程x2-5x=0的關(guān)系之前,應(yīng)提出問(wèn)題,讓學(xué)生先嘗試求解.對(duì)該處的教學(xué),筆者曾與學(xué)生有過(guò)這樣的一段對(duì)話(huà):

    教師:你能求解這個(gè)一元二次不等式嗎?請(qǐng)你動(dòng)筆試一試.

    學(xué)生1:兩邊同除以x,得到x≤5,又因?yàn)閤≥0,所以0≤x≤5.

    教師:兩邊同除以x,如果x=0呢?

    學(xué)生1意識(shí)到了剛才求解的缺陷,補(bǔ)充道:分類(lèi)吧,當(dāng)x>0時(shí),兩邊同除以x,得到x≤5,故0

    教師:很好!同學(xué)們將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次不等式來(lái)解,但在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中要注意限制條件.還有別的思考嗎?

    學(xué)生2:x2-5x≤0即x(x-5)≤0,從而可得x≥0,

    x-5≤0,或x≤0,

    x-5≥0,解得0≤x≤5.

    教師:咦,運(yùn)用了有理數(shù)的法則,你真會(huì)思考!這實(shí)際上也是一種等價(jià)轉(zhuǎn)化.還有不同的想法嗎?

    學(xué)生3:利用二次函數(shù)y=x2-5x的圖象求解,……

    讓學(xué)生自己想出利用二次函數(shù)y=x2-5x的圖象求解是非常難得的,這需要教師在授課中有意識(shí)地給學(xué)生提供自主探究解法的空間和時(shí)間,課堂只有回歸學(xué)生的主體地位,他們的認(rèn)知才會(huì)主動(dòng),思維才會(huì)積極地參與進(jìn)來(lái),才會(huì)不時(shí)地回報(bào)給你“驚喜”.3思維多元

    我們知道,每個(gè)學(xué)生都有自己的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)積累,都有自己的思維方式和解決問(wèn)題的策略,只有學(xué)生真正建構(gòu)起自己的理解時(shí),數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是富有成效的.“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)課堂就要重視學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)理解,多給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維自由“馳騁”的機(jī)會(huì),一個(gè)有益的做法就是讓學(xué)生編題,學(xué)生會(huì)編題就意味著對(duì)知識(shí)有了比較深刻的理解和掌握.筆者在函數(shù)的復(fù)習(xí)課中曾設(shè)計(jì)過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題:已知函數(shù)f(x)=xx-6,看看我們可以研究哪些問(wèn)題?

    筆者給學(xué)生比較充分的思考時(shí)間,學(xué)生見(jiàn)仁見(jiàn)智,編出了如下問(wèn)題,筆者整理如下(部分):

    (1)畫(huà)出函數(shù)f(x)=xx-6的圖象;

    (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (3)求f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值;

    (4)求f(x)在區(qū)間[a,a+4](a∈R)上的最大值;

    (5)若f(x)在區(qū)間[a,a+4]上單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

    (6)若f(x)在區(qū)間(a,a+4)上既有最大值又有最小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

    (7)若f(x)在[0,a]上的值域?yàn)閇0,9],求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

    (8)若方程f(x)=m有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

    (9)若f(x)≤0在區(qū)間[a,a+4]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

    學(xué)生思維活躍,所編的不少問(wèn)題很有思維含量,且大多用到數(shù)形結(jié)合的思想.確實(shí),把握了函數(shù)的圖象就把握了函數(shù)的整體情況.事實(shí)上,圍繞函數(shù)圖象,我們還可以引導(dǎo)學(xué)生編出許多諸如此類(lèi)的問(wèn)題.4建構(gòu)豐富

    “學(xué)為中心”的課堂教學(xué)應(yīng)多給學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的機(jī)會(huì),讓課堂更多地“充盈”學(xué)生的聲音,在相互交流和表達(dá)的過(guò)程中,建構(gòu)知識(shí),豐富思想和方法.如筆者在21合情推理與演繹推理(人教版A版選修2-2教材)的教學(xué)時(shí),就曾組織學(xué)生用自己的語(yǔ)言理解“歸納推理”和“演繹推理”概念,取得了很好的效果.

    學(xué)生1:歸納推理,簡(jiǎn)單地說(shuō),就是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.或者說(shuō),是從特殊到一般的過(guò)程.而演繹推理,實(shí)際上是由一般到特殊的推理.

    學(xué)生2:歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn).因此,它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具.在演繹推理中,前提和結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系.只要前提是真實(shí)的,推理的形式是正確的,那么結(jié)論也必定是正確的.因而,演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具.

    學(xué)生3:演繹推理實(shí)際上是命題由大到小的推理,而歸納推理實(shí)際上是命題由小到大的推理.

    學(xué)生4:歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.通過(guò)歸納推理得到的猜想,可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn),幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題.演繹推理,它較少創(chuàng)造性,但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用.

    ……

    不同的學(xué)生從不同的角度對(duì)同一內(nèi)容進(jìn)行自己的理解,有利于全面地理解知識(shí),而且不同學(xué)生的思維可以互補(bǔ)互惠.如有的同學(xué)把合情推理和演繹推理視作一種概念加以描述,有的同學(xué)把這兩種推理視作一種規(guī)則與方法,也有的同學(xué)把它看作是一種態(tài)度,一種對(duì)事物的探求的態(tài)度,看到一個(gè)問(wèn)題,就想用推理找到規(guī)律,顯然思維層次各不相同,這對(duì)教師也極具啟發(fā).盡管學(xué)生的語(yǔ)言有時(shí)可能不大嚴(yán)密,但這恰恰體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的一種自我“內(nèi)化”,這比教師自己歸納有意義得多.鑒于此,課堂上教師要多一點(diǎn):你是怎么想的?說(shuō)說(shuō)你的理解.多從學(xué)生角度出發(fā)組織教學(xué)活動(dòng),而不只從教師角度出發(fā)完成教學(xué)流程.

    需要指出的是,“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)更多地展現(xiàn)學(xué)生學(xué)的行為,而非教師教的表現(xiàn).要突出教學(xué)中“學(xué)”的第一性,教學(xué)過(guò)程應(yīng)依據(jù)學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程和教學(xué)過(guò)程的有機(jī)統(tǒng)一,保證教學(xué)過(guò)程按照學(xué)生的學(xué)習(xí)特征開(kāi)展,從而促進(jìn)學(xué)習(xí).為有機(jī)整合學(xué)生的需求、兼顧學(xué)生的差異、激發(fā)和維持學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、挖掘?qū)W生的潛能,教師在計(jì)劃和實(shí)施以“學(xué)為中心”的教學(xué)時(shí)要時(shí)刻反思自己的教學(xué)是否能夠激發(fā)學(xué)生的興趣,學(xué)生能否根據(jù)預(yù)期主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中,這樣的活動(dòng)能否激發(fā)和挖掘?qū)W生的最大潛力,學(xué)生通過(guò)這樣的活動(dòng)是否能夠達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)等.教師不僅僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí),更要關(guān)注學(xué)生作為一個(gè)“真實(shí)、完整的人”學(xué)習(xí)什么,如何學(xué)習(xí),學(xué)得怎樣.作者簡(jiǎn)介陳柏良,男,碩士,浙江省特級(jí)教師,主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課堂教學(xué),著有《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》(華東師范大學(xué)出版社2013年1月出版).

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