TED演講：如何學(xué)習(xí)微積分

什么叫ED？是一種演講模式（中國科學(xué)報2015417），每個理論表現(xiàn)在十多分鐘的講故事.

發(fā)揮一下，一部理論藏于一個案例，通過這個案例便能表現(xiàn)、揭穿理論.極簡的說

一個案例≡一部理論

如此由案例學(xué)習(xí)理論，又不添加復(fù)雜度或額外證明，真合算：低成本高回報.

說大一點，這就是治學(xué)、思考的一種方法.

那么，當這一方法論落實、融合到大學(xué)最基礎(chǔ)的課程，微積分理論，看會怎么樣？

第一，一部微積分被表現(xiàn)為一個爬山故事：中心問題有

坡度+坡長或坡高

極簡的說

微積分 ≡ 坡度+坡高

最后一項，山坡求高的方法，即牛頓-萊布尼茨公式.

第二，最難相信，卻是真的：以上整個故事，包括牛頓-萊布尼茨公式，嚴格的數(shù)學(xué)論證只花十多分鐘. 回想微積分常規(guī)的論證卻要花上一學(xué)年，如此懸殊，必然令人懷疑，那就看完第二講吧，嚴格不嚴格？

第三，微積分的常規(guī)敘述太符號化、太隱晦（例如ε-δ），看不見或只有存在性.

不夠明白，不很放心. 所以，最好能重新敘述，變看不見為可視化，變存在性為構(gòu)造性. 極簡的說

敘述為0.9

但一樣嚴格，不信看完第一講吧！

第0講微積分大意（不求甚解）

既是大意，就不能講細講透，就不求甚解. 見不到樹木，但能見到森林，也就知足了.

我們的起點是出發(fā)產(chǎn)生的小數(shù)表示（如83=2.6666…）. 由于要測量方塊的對角線，或2，又產(chǎn)生了無限小數(shù)（2=1.414…寫不盡）. 這是分水嶺，算術(shù)從此由有限進入無限. 從此，微積分也就開始研究

無限的算術(shù)

求知欲如饑似渴，人們發(fā)問：一般的無限小數(shù)是什么意思？無限多個數(shù)據(jù)相加，如何定義，如何表示？ ……

從案例抓起.

最容易最淺的表現(xiàn)就是無限小數(shù)，0.999…，此案例包含無限多個數(shù)據(jù)，09，009，0009，…，它們相加表示1

0.9+0.09+0.009+…=0.999…定義1

（不到1就加9，停不了，只有到1）.第二個表現(xiàn)就是莊子的案例（見第一講），一尺之錘，日取其半，那么每日取走的長度，就是無限多個數(shù)據(jù)，12，14，18，…，它們相加表示1

12+14+18+…=0.999…=1

什么意思？意即每當左邊多加幾項，右邊在小數(shù)點后就多加一個9. 進一步說，右邊無論要加多少9，都可以做的到，只要左邊項數(shù)足夠多. 所以右邊會出0.9，從而變到1.

然后，由淺入深：數(shù)據(jù)復(fù)雜度逐漸升級. 例如求單位圓周長時

n條切線長相加=n·tan360°n（n=3，4，5，…）≥周長（過剩近似）

采用無限多條切線長，也就是無限多個數(shù)據(jù)，它們相加表示圓周長

無限多條切線長相加 定義圓周長

什么意思？ 當使用比例表示，意即

圓周長n條切線長相加=0.999…=1

意即每當分母的n加大，比例在小數(shù)點后就加一個9. 進一步說，比例無論要加多少9，都可以做的到，只要n足夠大. 當n加大，切線條隨之加多，比例會出0.9，從而分母變到分子. 這里用分母定義分子，把圓周長表示為一串切線長，很復(fù)雜. 這是阿基米德時代的微積分.

上面圓的切線長經(jīng)過調(diào)整（由過剩近似，≥弧長，調(diào)整為不足近似，≤弧長）. 然后，經(jīng)過轉(zhuǎn)換……（不求甚解），便有新表示：圓周長或

無限多條切線長相加=……=反正弦曲線的高

什么意思？當使用比例表示，意即

n條切線長相加曲線=0.999…=1

（此時切線長為不足近似，所以，分子≤分母），當n加大. 這里分子用分母定義，把圓周長表示為另一條曲線的高，簡單許多. 這是牛頓時代的微積分.

這里，數(shù)學(xué)公式不單為了計算用的，更重要的是找出不同量之間的關(guān)系. 這種關(guān)系的理論價值超過了公式的計算價值. 就像勾股定理不單為了計算斜邊的平方，更重要的是找出直角三角形各邊之間的關(guān)系.

對圓（包括橢圓）的面積，也表示為反正弦曲線的高. 于是，圓周長，圓（包括橢圓）面積，這些歷史難題，也都統(tǒng)一表示為一個反正弦曲線的高

滿足了人們的求知欲. 還剩一個問題，這個高怎么算？以后再說.

以上不同例子，只是數(shù)據(jù)復(fù)雜度不同. 共同點無限多個數(shù)據(jù)相加=一個數(shù)

什么意思？當使用比例表示，意即

n個數(shù)據(jù)相加一個數(shù)（或一個數(shù)n個數(shù)據(jù)相加）=0.999…=1

（保證分子≤分母），當n加大.

以上便是微積分大意.要完全領(lǐng)悟，需要分別細述.（本文是林群院士在2015年7月15日北京召開的全國初等數(shù)學(xué)研究會第三屆理事會第五次常務(wù)理事擴大會議上的報告.由楊學(xué)枝先生整理并提供.余文待續(xù).）