對一道中考壓軸題的分析與思考

李小蘭

[摘要]代數(shù)與幾何圖形的綜合題是初中生學(xué)習數(shù)學(xué)的一個難點，也是中考的一類熱點問題.而運用數(shù)形結(jié)合方法解題是一個比較好的途徑.主要針對學(xué)生解題的失誤，結(jié)合了一些例子分析了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，對教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”有很好的促進作用.

[關(guān)鍵詞]中考壓軸題 思考 數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2015）080045

2011年又一次課改后，各省的中考壓軸題很大程度上都圍繞著函數(shù)展開命題，如何將函數(shù)問題考出特色，考出新意，成了命題者不懈的追求.2012年玉林市數(shù)學(xué)中考試卷第25題正是朝著這個方向努力，并且做到了初中代數(shù)與幾何的綜合考查.只可惜閱卷結(jié)果令人痛心，大部分考生只在第一個問題上得分，個別考場沒有一個考生著筆第二、三個問題.許多考生在解題中出現(xiàn)很多問題，這值得我們教師深思.筆者也走訪了本縣的部分畢業(yè)班，發(fā)現(xiàn)了一些問題，下面通過反思師生的失誤反觀我們的教育教學(xué).

一、題目呈現(xiàn)

【例1】 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線y=kx的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D，交邊BC于點E.

（1）填空：雙曲線的另一支在第 象限，k的取值范圍是 ；

（2）若點C的坐標為（2，2），當點E在什么位置時，陰影部分的面積S最??？

（3）若ODOC=12，S△OAC=2，求雙曲線的解析式.

二、解析

（1）由概念得出答案：三，k>0.

（2）由點C的坐標為（2，2），可得A點的坐標為（k2，2），E點的坐標為（2，k2），∴S陰影部分=S△ACE+S△OBE=18（k-2）2+32，可求E點的坐標為（2，1），即當點E在BC的中點時，陰影部分的面積S最??；

（3）設(shè)D點坐標為（a，ka），可得C點坐標為（2a，2ka）和A點坐標為（a2，2ka）.∵S△OAC=2，得12×（2a-a2）×2ka=2，解得k=43.

三、錯誤分析

（1）此題的第二個問題應(yīng)該屬于中檔難度的題目，可部分班級平時數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生卻無從下筆，筆者歸納了訪問到的教師和學(xué)生的一些說法，并進行了原因分析.

①生1：沒見過此類題目，題目求三角形的面積卻沒給出任何線段的長度.

②生2：只知道點C的坐標為（2，2），沒有辦法求出點E和點A的坐標.

③師：學(xué)生函數(shù)題目練了很多，但就是不懂利用坐標求線段長.

分析：本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵.由于幾何圖形與函數(shù)圖形結(jié)合在一起，學(xué)生分析問題需要進行“幾何圖形——數(shù)量關(guān)系——函數(shù)圖形”之間的互相轉(zhuǎn)化.同時考慮到動靜轉(zhuǎn)換原則，此題可以把動態(tài)的點E想象成靜態(tài)的點E，即得點E的坐標為（2，k2）.學(xué)生在平時的學(xué)習中沒有歸納總結(jié)解題方法，教師在教學(xué)過程中也沒有著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，導(dǎo)致學(xué)生在考試中失分.

四、教學(xué)思考

筆者有幸參加了當年的中考閱卷，這道題得分率較低的情況值得我們深思，根據(jù)這類問題的錯誤分析，我們應(yīng)在教學(xué)中采取相應(yīng)的策略.

1.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題意識

在課堂教學(xué)中，注意選擇一些非常典型的、能很好地發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想方法優(yōu)勢的例題進行講解，在精講過程中，注意用問題引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.講解完畢后，還可以對數(shù)形結(jié)合思想方法進行總結(jié)和反思.通過對一道題的總結(jié)和反思，我們得到一類問題的解題方法，從而大大深化了我們對知識的理解，豐富了我們的知識，提高了我們的解題能力.

【例2】 （2014·玉林·26）若P是拋物線y=-14x2+1上任一點，過P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點，O為原點.求證：OP=PQ.

分析：此類題目是以形助數(shù)的幾何問題.首先應(yīng)畫出大致的示意圖.發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少，所以考慮用坐標轉(zhuǎn)化求出OP、PQ的值，再進行比較.這里也有數(shù)學(xué)技巧，討論動點P在拋物線y=-14x2+1上，則可設(shè)其坐標為（x，-14x2+1），進而易求OP、PQ.

2.數(shù)形結(jié)合求解問題的主要途徑

利用數(shù)形結(jié)合求解問題，必須采取一定的切入途徑，這是解題得以成功的重要保證，這里我們只介紹羅增儒的觀點.

羅增儒在總結(jié)了數(shù)式與圖形對應(yīng)的基本數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)上提出了三個主要途徑：①通過坐標系、直角坐標系；②轉(zhuǎn)化；③構(gòu)造.

【例3】 （2014·湖南岳陽）如圖3，已知點A是直線y=x與反比例函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的交點，B是y=kx的圖像上的另一點.BC∥x軸，交y軸于點C.動點P從坐標原點O出發(fā)，沿O→A→B→C（圖中“→”所示路線）勻速運動，終點為C.過點P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M，N.設(shè)四邊形OMPN的面積為S，P點運動的時間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致為（ ）.

分析：本題運用轉(zhuǎn)化思想在“幾何圖形——數(shù)量關(guān)系——函數(shù)圖形”之間互相轉(zhuǎn)化，但關(guān)鍵是通過坐標系構(gòu)造出動態(tài)的四邊形OMPN，同時運用了動靜轉(zhuǎn)換原則，列出四邊形OMPN的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，最后，由函數(shù)的圖像得出答案B.

3.滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

（1）由數(shù)思形，培養(yǎng)思維的靈活性.思維的靈活性是指多方位、多角度思考問題的靈活程度.

【例4】 已知a、b均為正數(shù)，a+b=2，求a2+4+b2+1的值.

分析：這是一道代數(shù)計算題，單從代數(shù)方面思考顯得深奧難解，而利用逆反原則則可“化數(shù)為形”，從而使問題快速獲解.這樣有效地提高了學(xué)生思維的靈活性.

分析：如圖4，先畫線段AB=2，在線段AB上截取AE=a，BE=b，過A作AC⊥AB，且AC=2，過B作BD⊥AB，且BD=1，則CE=a2+4，DE=b2+1，原題即求CE+DE的最小值.易得a2+4+b2+1=13.

（2）由形思數(shù)，培養(yǎng)思維的嚴密性.

【例5】 等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，求頂角的度數(shù).

分析：因為題目中沒有繪出圖形，學(xué)生在畫圖時往往不能準確地理解題意，畫出所有符合條件的圖形，犯了“以偏概全”之錯.此題學(xué)生往往會漏掉等腰三角形是鈍角三角形的情況.因此，教師應(yīng)有針對性地加強這方面的訓(xùn)練，促使學(xué)生逐步養(yǎng)成思維的嚴密性.

（3）數(shù)形兼顧，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性.

創(chuàng)造性思維是一種綜合性思維.法國遺傳學(xué)家F·雅各布說：“創(chuàng)造就是重新組合.”數(shù)形結(jié)合中，由數(shù)想形，可培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想解題思維；由形想數(shù)，可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲及學(xué)習興趣.數(shù)形結(jié)合把發(fā)散思維和收斂思維有機結(jié)合起來，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

【例6】 如圖5，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，PQ同時從B出發(fā)，以每秒1單位長度分別沿BADC和BCD方向運動至相遇時停止，設(shè)運動時間為t（秒），△BPQ的面積為S（平方單位），S與t的函數(shù)圖像如圖6所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）.

A.當t=4秒時，S=43

B.當4≤t≤8時，S=23t

C.AD=4

D.當t=9秒時，BP平分梯形ABCD的面積

分析：本題考查了動線、面積、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想、方程思想、函數(shù)思想、動靜轉(zhuǎn)換法等.

華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”的確，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想和一柄雙刃解題利劍.教師只有在平時的教學(xué)中落實數(shù)形結(jié)合思想的滲透，學(xué)生才能見數(shù)思形、見形思數(shù)、見形助數(shù)、以數(shù)輔形，真正利用好這柄雙刃解題利劍，而不僅僅是為了做題而做題.讓我們的學(xué)生從“題海戰(zhàn)術(shù)”中得以解脫，真正實現(xiàn)素質(zhì)教育.

（責任編輯 鐘偉芳）