例談輔助線在幾何證明題中的靈活運用

楊雪

【摘要】化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，運用化歸的方法去解決一些數(shù)學(xué)問題往往能夠很好地達(dá)到預(yù)期的效果.數(shù)學(xué)中用以實現(xiàn)化歸的方法有很多，這里僅介紹一種——添設(shè)輔助線.本文通過作輔助線在兩個幾何證明題中的運用，體現(xiàn)化歸思想在解決數(shù)學(xué)問題時的妙用.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；輔助線；問題解決；證明

化歸思想是指將一個新的復(fù)雜的疑難問題通過變換、轉(zhuǎn)換等方式變成一個簡答的已知的易于解決的問題.化歸原則是一種重要的解題原則，也稱為轉(zhuǎn)化原則.運用化歸思想時，關(guān)鍵在于如何將所要解決的問題轉(zhuǎn)化成已解決或較為容易的問題.下面就兩題初中數(shù)學(xué)的幾何證明題為例來論述化歸思想的具體運用.

在四邊形 ABCD中，對角線AC與BD交于點P，AC=BD.E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別交AC，BD于N，M.試說明∠PMN=∠PNM的理由.

分析波利亞提出的怎樣解題的四個步驟分別是：第一，你必須理解題目；第二，找出未知量與已知量的關(guān)系.若找不到直接聯(lián)系，也許不得不找輔助題目，最終找到一個解題的方案.第三執(zhí)行你的方案；第四，檢查已經(jīng)得到的解答.

對于這一題，按照波利亞的解題的四個步驟來分析解決這題.首先，此題題意很容易看懂，已知條件很容易找到，但所要求的和已知條件沒有顯然的、直接的關(guān)系，乍一看不知如何下手.觀察題目所給的圖，我們發(fā)現(xiàn)要求證的兩個相等的角是三條沒有特別位置關(guān)系的直線構(gòu)成的，如果證三角形PNM為等腰三角形不好證.這時我們就會想到也許我們把要求證相等的角轉(zhuǎn)化成與他們分別相等的角，我們只要證轉(zhuǎn)化后的兩個角相等，那么問題也就解決了.題目的已知條件AC=BD，再看圖，AC和BD是相交的，那么我們就會想到如果能把AC、BD放在一個三角形中，正好構(gòu)成一個等腰三角形，也就得到兩個相等的角，或許與要求證的角有關(guān)系.想到這，我們自然會想到需要做輔助線，那么由點B作BI∥AC，且使BI=AC，連接DI，則可得等腰三角形BDI，這時也會順勢延長EF交BI于H，如圖2.通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，若要解決問題需要證∠PMN=∠BDI，∠PNM=∠BID，進(jìn)而需證EH∥DI，然而我們發(fā)現(xiàn)是證不出EH∥DI.同時，題目所給的E、F分別是AD、BC的中點這個已知條件還沒用，而且若按照上述做輔助線的方法，也用不到這個條件的，題目既然給這個條件的，必然是有用的.這樣，上述作輔助線的方法被否定.

如何做輔助線來解決問題呢？雖然第一次作的線不正確，但它也給我們啟發(fā)：為何不直接作EF的平行線，AC的平行線，設(shè)它們交于I點.延長AC交DI于J，這時EN就是三角形ADJ的中位線，AN=NJ，如圖3.作過平行線后，立即可看出四邊形NHIJ是平行四邊形，也就有，角∠PNM=∠I，NJ=HI=AN.由EF∥DI，可得∠PMN=∠BDI到此，只要證∠BDI=∠BID，也就是證BD=BI即可，而BD=AC，所以若能證AC=BI，問題即可被解決.剛才已經(jīng)知道AP=HI，若NC=BH，就有AC=BI.NC、BH是不是相等關(guān)系呢？注意到F為中點，這個條件還沒用.要證明兩條線段相等，可將這兩條線段分別放在兩個三角形中，再證明這兩個三角形相等即可.按照這個思路，我們發(fā)現(xiàn)在三角形CFN，BFH中有，∠CNF=∠BHF，∠NFC=∠HFB，CF=BF，所以三角形CFN，BFH全等，BH=NC.從而AC=BI，問題解決.

上述作輔助線的方法不容易想到，既要作兩條平行線，又要延長條線段，用到的有平行四邊形、三角形的中位線、全等三角形等知識.這需要學(xué)生對這些知識牢固掌握，有宏觀的把握，而且會靈活運用.若把這題目給初中剛學(xué)四邊形的學(xué)生做，能想到這種方法是不容易的.此題，其實有種更適合初學(xué)者的方法.

再從另一個角度來分析這一題.當(dāng)然還是要將所解決的問題轉(zhuǎn)化簡單的問題.題目已知條件，E、F分別是AD，BC的中點，一般情況下，在幾何題中看到中點，就要考慮三角形的中位線，由中位線就得到平行線，進(jìn)而可以有角相等，或許就能將∠PNM，∠PMN轉(zhuǎn)化另外兩個相等圖4的角.再看已知條件，AC=DB，若AC、DB是兩個三角形的一條中位線所對的第三邊，那么這兩條中位線就相等.觀察圖形若取AB得中點G，連接EG，F(xiàn)G，如圖4.則EG，F(xiàn)G分別是三角形ABD，ABC的中位線，容易知角∠GEF=∠PMN，∠GFE=∠PNM.因為AC=BD，所以EG=FG，∠GEF=∠GFE.由上可得∠PNM=∠PMN，問題解決.

兩種方法相比，第一種作輔助線較多，主要用到的有全等三角形、平行四邊形、中位線等的有關(guān)知識，達(dá)到證明的目的走的路較長.第二種方法的輔助線作過后，主要用到三角形中位線的知識.相比之下，后一種方法的證明更直觀、簡便些.

在等腰三角形ABC兩腰AB，AC分別取兩點E，F(xiàn).使AE=CF.已知BC=2，求證EF≥1.

分析此題要證EF≥1，已知條件為E，F(xiàn)是三角形ABC兩腰上的點.考慮到特殊情況，當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點時，有EF=1.接下來如何證EF>1？題目已知條件只有BC=2這個數(shù)據(jù)，由此我們猜想EF與BC可能有某種數(shù)量關(guān)系.觀察圖形，我們需要通過輔助手段——輔助線，使得EF，BC是一個規(guī)則圖形的兩個邊，這樣更容易得知它們的長度關(guān)系.過點E作EG∥BC且使EG=BC，連接GC，可得到平行四邊形BCGE，BE=CG，如圖6.題目還有AE=CF這個已知條件，顯然BE=AF=CG.因為BA∥CG，所以∠EAF=∠FCG.那么連接F，G，有三角形AEF，CFG全等，F(xiàn)E=FG.在三角形EFG中，2EF>EG=BC=2，EF>1，問題解決.

上述證明EF>1的實質(zhì)是將BC向上平移從而和EF在一個三角形中，那么將EF向下平移和BC在同一三角形中，能否解決問題呢？過點C作CG∥FE，連接B，G，如圖7.和第一種方法證明類似，可證得GBC是等腰三角形，從而2GC=2EF>BC=2，EF>1，問題解決.

以上兩種方法都是通過作輔助線平移BC或EF找到BC，EF的關(guān)系.此題還有一種通過作輔助線平移中位線的方法證明EF>1.

圖8取AB，AC的中點M，N，連接M，N，MN=1，EF>1，即EF>MN.如圖8，過點E作EG∥MN且使EG=MN，連接GN，就有平行四邊形EGNM，再連接GF，若能證明三角形EFG直角三角形，即有EF>1.下證之，因為三角形ABC是等腰的，所以∠NHG=∠AHE=∠AEH=∠EMN=∠NGH，有等腰三角形NGH，NG=NH.因為AM=CN，AE=CF，所以ME=NF=NG=NH，故三角形HGF是直角三角形，且∠HGF=900，有直角三角形EFG，EF>EG=MN=1，問題解決.

證明例2的三種方法的基本思想都是化歸思想，通過平移將要解決的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的、易解決的問題.前兩種方法類似，第三種方法相對來說不容易想到，而且稍微復(fù)雜些，不過也是比較巧妙的證法.

化歸思想的核心是我們不應(yīng)以靜止的眼光，而應(yīng)以可變的觀點去看待問題，即應(yīng)善于對所要解決的問題進(jìn)行變形.以上兩個幾何問題充分體現(xiàn)了這一核心.這里應(yīng)注意幾點：

第一，所說的變形并不是一種無目的的活動，因此，在實踐過程中，我們就應(yīng)該始終“盯住目標(biāo)”，即應(yīng)當(dāng)始終考慮這個問題：怎樣才能達(dá)到解決原來問題的目的？如，怎樣才能證明問題中的結(jié)論？

第二，因為只有通過反復(fù)的實踐，才能找到正確的化歸方向與方法，因此，在解題過程中我們應(yīng)保持一定的靈活性.

第三，由于解決問題的途徑常常不是唯一的，因此，我們還應(yīng)考慮如何才能更快、更有效的解決問題，即注意在可能的途徑之間進(jìn)行選擇.例1的方法二和例2中的方法一、方法二就能夠較快，較有效的解決問題，而且不復(fù)雜.另外的兩種方法雖說麻煩些，但也能夠體現(xiàn)出對知識的靈活運用，對解決問題的整體把握較強，而且有助于邏輯思維的訓(xùn)練.

【參考文獻(xiàn)】

[1]G波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007年.

[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論入門[M].浙江：浙江教育出版社，2011年.