走出“計(jì)算”誤區(qū)，體會真正的數(shù)學(xué)

楊茸

摘 要：高等數(shù)學(xué)中的部分定義與定理具有高度抽象性，并且有很強(qiáng)的邏輯關(guān)系，教師不易教，學(xué)生不易學(xué)，以至于在教學(xué)中出現(xiàn)了教師對其進(jìn)行大量的刪減，讓學(xué)生陷入了不明原理，只會“計(jì)算”的錯(cuò)誤現(xiàn)象中。本文針對這種現(xiàn)象，對教學(xué)過程中抽象的定義與定理知識講解的處理進(jìn)行了研究，提出了具體的方法與建議，讓學(xué)生體會真正數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 定義與定理 教學(xué) 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)能力

在現(xiàn)今很多領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)的身影無處不在，高等數(shù)學(xué)作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，有著極其重要的作用與地位。而在高職教育中，因?yàn)樯创蠖嗍莵碜约夹；蚋呖悸浒竦膶W(xué)生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，但高等數(shù)學(xué)中部分定義與定理內(nèi)容較抽象，不好理解，這對于授課的教師來講，是一個(gè)不好處理的難點(diǎn)，以至于在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，出現(xiàn)了“教師難教，學(xué)生難學(xué)”的現(xiàn)象。針對這一難點(diǎn)，很多數(shù)學(xué)教師在對這些抽象、不好理解內(nèi)容的處理時(shí)，進(jìn)行了刪減，把大量的抽象的理論知識一句話帶過，甚至直接刪除，而把教學(xué)的重心完全放在了高等數(shù)學(xué)的計(jì)算方法與計(jì)算技巧上，以直接教會學(xué)生數(shù)學(xué)的計(jì)算為目的。這樣一種教學(xué)方法承接了一些中學(xué)的“應(yīng)試”教育，數(shù)學(xué)的潛在價(jià)值沒有真正體現(xiàn)出來，同時(shí)也違背了開設(shè)高等數(shù)學(xué)這門課程的初衷。

一、學(xué)習(xí)定義定理的重要性

1.教學(xué)大綱需要抽象的定義定理

高職高專的高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，明確地說明了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)來分析、解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和抽象的邏輯思維能力，訓(xùn)練他們用數(shù)學(xué)思想、概念、方法并結(jié)合自己的專業(yè)把所學(xué)理論和方法運(yùn)用于實(shí)踐，為后續(xù)各課程的學(xué)習(xí)奠定較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，形成一定的數(shù)學(xué)思想。

從大綱可以看出，該課程除了使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識以外，更重要的是讓學(xué)生收獲能終生受益的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維，從而提高應(yīng)變能力與創(chuàng)新能力。由于很多數(shù)學(xué)思想都在這些抽象的定義與定理中有所體現(xiàn)，所以大量地刪減這些內(nèi)容，只注重于學(xué)生的解題方法的教學(xué)，不能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的真正價(jià)值，使學(xué)數(shù)學(xué)成了應(yīng)付期末考試的一種途徑。并且，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一旦結(jié)束，學(xué)生也將會把這門知識拋到九霄云外，這樣完全沒有形成教學(xué)大綱里提到的應(yīng)有的數(shù)學(xué)思想，也就更談不上應(yīng)變能力與創(chuàng)新能力的提高了。所以要滿足大綱的要求，學(xué)習(xí)抽象的定義定理必不可少。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力需要抽象的定義定理

雖然定義與定理知識較為抽象，但它對于學(xué)生數(shù)學(xué)意識的形成和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)起著舉足輕重的作用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的無外乎是要把現(xiàn)實(shí)中的問題抽絲剝繭，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)知識解決，也就是所謂的數(shù)學(xué)能力。關(guān)于抽象定義定理的學(xué)習(xí)，例如定理的證明，都有其具體的推理過程，對于這些推理過程的理解，可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)而形成思考問題時(shí)思維的縝密性，以利于在對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行分析時(shí)，能準(zhǔn)確無誤地將其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題；而對于這些定義定理知識的掌握，在一定程度上又培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，這也是在分析問題時(shí)必不可少的一種思維能力。正如一位大學(xué)老師所說：“學(xué)數(shù)學(xué)其真正目的是為了驅(qū)逐大腦中愚蠢的想法，讓我們的大腦真正地聰明起來?！?/p>

3.實(shí)際生活需要抽象的定義定理

很多抽象的定義定理知識，它的出發(fā)點(diǎn)就是實(shí)際生活的典型例子，例如常見的某一個(gè)變速物體的速度，學(xué)生覺得求這個(gè)隨時(shí)都在變化的速度成了一個(gè)不容易解決的難點(diǎn)，但從高等數(shù)學(xué)的角度來看，就是求變化率，也就是抽象的導(dǎo)數(shù)定義學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)。所以對抽象定義定理知識的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生更加深刻地了解數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，并讓學(xué)生對現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的思想，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中定義定理知識的處理方法

不少數(shù)學(xué)教師反映，不是不想授課時(shí)強(qiáng)調(diào)這些定義與定理，只是因?yàn)樗鼈兲^抽象，講解的過程花費(fèi)的時(shí)間長、精力多，但學(xué)生理解的效果還是不好，典型的“吃力不討好”。筆者多年擔(dān)任高級班高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，對于這些抽象的定義定理的處理有一些個(gè)人的看法，總的歸納為以下四個(gè)關(guān)鍵詞：引—化—啟—控。

1.“引”——引數(shù)學(xué)史，豐富內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)中很多定義定理知識抽象，讓學(xué)習(xí)的人容易身陷迷津，而數(shù)學(xué)史卻如指引方向的“路標(biāo)”，給人以啟迪。在課堂上教師適時(shí)適當(dāng)?shù)匾脭?shù)學(xué)史的知識作為補(bǔ)充和指導(dǎo)，能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，讓課堂內(nèi)容豐富起來。

例如在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)，教師給學(xué)生介紹解析幾何之父笛卡爾，以及他的經(jīng)典心形線的相關(guān)軼事，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)可以神奇地讓單調(diào)的式子變成美麗的圖形，并且體會到數(shù)學(xué)不是枯燥的，它也可以創(chuàng)造浪漫。這樣激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更好地理解了數(shù)學(xué)中的代數(shù)與幾何的緊密關(guān)系，為后續(xù)的解析幾何的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生了解知識的邏輯源頭，體會數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造思想，這為緊接著數(shù)學(xué)概念及定理的學(xué)習(xí)提供了必要的準(zhǔn)備。

另一方面，數(shù)學(xué)史里記錄了很多數(shù)學(xué)家為了得出正確的定義與定理，如何排除萬難、歷盡艱辛的。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，除了了解定義與定理得出的過程，還會為數(shù)學(xué)家不畏艱辛、執(zhí)著追求真理的精神而感動，這將讓學(xué)生在精神層面上得到一次提升。

我們讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的歷史，能使那些看似抽象的定義、定理變得豐富生動起來。

2.“化”——化繁為簡，重視直觀

對于抽象、繁瑣的定義定理知識，為了能讓學(xué)生易于接受，教師只有把知識直觀化、簡單化。

如在講解微分這一概念時(shí)，可以從其字面意思上下工夫，舉例地球本是一個(gè)球體，其表面應(yīng)該是曲面的，可為什么我們站在地球上看到的大多卻是平面呢？答案是人肉眼看到的范圍同地球的表面相比，簡直是微不足道，也就是微分概念中的以直代曲的思想：曲面上微小的局部可以認(rèn)為是一平面，一條曲線微小的部分也可以認(rèn)為是直線。這樣就給學(xué)生提供了一個(gè)可以具體的想象的空間，使他們懂得用無數(shù)個(gè)簡單的平面代替復(fù)雜的曲面，利用微分這一數(shù)學(xué)概念解釋生活中的現(xiàn)象，加深了學(xué)生對這一概念的理解。又如對數(shù)列、函數(shù)極限概念的處理，教師可改變教材中的定義方式，注重直觀，采用通過畫數(shù)列或函數(shù)的幾何圖形，利用圖形直觀性的特點(diǎn)來解釋定義，從圖形中得到極限定義的本質(zhì)，讓學(xué)生對極限定義有了更準(zhǔn)確的認(rèn)識。

此外，我們通過多觀察實(shí)際生活中與數(shù)學(xué)有聯(lián)系的例子，把數(shù)學(xué)概念盡量與周圍實(shí)事聯(lián)系起來，讓學(xué)生能感覺數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，也便于理解。比如在講解定積分定義時(shí)，介紹美國著名麻省理工學(xué)院的圓形大禮堂，從外形看它的屋頂是一個(gè)巨大的不規(guī)則的半球，但實(shí)際上仔細(xì)看是由一個(gè)個(gè)近似矩形（曲邊梯形）的小玻璃窗構(gòu)成的，這個(gè)看似不容易求的表面面積，實(shí)際上就是定積分的基本概念——求曲線下面積的辦法，即“分割、近似代替、求和、取極限”，同時(shí)也巧妙地表明了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用無處不在。這樣使學(xué)生對抽象的定積分的定義，即求曲線下面積的方法加深了理解。

3.“啟”——啟發(fā)引導(dǎo)，自主討論

對于很多知識的掌握，學(xué)生自主探索要比教師一味灌輸要來得好。在教學(xué)時(shí)，教師選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容來安排討論課，通過合理有針對性的引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生分組討論，讓學(xué)生各抒己見，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識。

例如，微分中值定理的內(nèi)容抽象、內(nèi)容理論性強(qiáng)，對初學(xué)的學(xué)生是一個(gè)不容易處理的難點(diǎn)，如果單憑教師的講授，教學(xué)效果一定不好，這時(shí)可以選取一些難度適當(dāng)?shù)牡湫土?xí)題，把學(xué)生分成幾個(gè)小組，通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生按組自由討論。在思考討論過后，學(xué)生對微分中值定理中的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法有了深刻的印象，以此加深了對這一抽象定理的理解。同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力也得到了提高，主動參與課堂的意識和創(chuàng)新的意識也得到了增強(qiáng)。

又如，在學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則時(shí)，很多學(xué)生都知道這個(gè)法則的作用是求無窮大比無窮大或無窮小比無窮小的極限，卻并不理解它為什么會與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，是利用分別求導(dǎo)來解題的，但如果引導(dǎo)學(xué)生從無窮大增長的趨勢來進(jìn)行分析，同時(shí)得到導(dǎo)數(shù)的定義其實(shí)就是與增長趨勢密切相關(guān)，問題就可以解決了，這就是洛必達(dá)法則的本質(zhì)所在。

采用教師啟發(fā)引導(dǎo)和學(xué)生自主討論相結(jié)合的教學(xué)方法，可以讓學(xué)生在討論探索中發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，體會到發(fā)現(xiàn)的快樂，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也增加了學(xué)生克服困難的信心。

4.“控”——掌控有度，注重嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)課不同于其他課程，其嚴(yán)謹(jǐn)性非常強(qiáng)，教師在支持學(xué)生發(fā)揮自己的想象力的同時(shí)，要注重掌控好想象的“度”。一些教師為了讓課堂更加活躍與生動，讓學(xué)生漫無邊際地發(fā)揮自己的想象力，對一些理論知識的理解學(xué)生想怎樣解釋就怎樣解釋，這樣的結(jié)果必定是歪曲了知識的本意。所以在課堂上，對于學(xué)生的思考學(xué)習(xí)，首先教師要有正確的引導(dǎo)方向，并且要適時(shí)糾正一些學(xué)生錯(cuò)誤的偏離事實(shí)軌跡的想法。

比如學(xué)生在學(xué)習(xí)極限時(shí)，對于其中的一個(gè)零比零的極限類型，學(xué)生誤認(rèn)為高等數(shù)學(xué)里的分式的分母是可以等于零的，這時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)此時(shí)出現(xiàn)的零是在某一條件下一個(gè)趨于接近的結(jié)果，并非真正等于零，強(qiáng)調(diào)出極限的定義，突出語言表達(dá)上的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、小結(jié)

大量的實(shí)踐證明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師的作用是十分重要的，我們不能為了追求教學(xué)上的所謂教學(xué)效果而忽視了數(shù)學(xué)教育的本來意義。數(shù)學(xué)的影響不是一蹴而就的，而是潛移默化的；數(shù)學(xué)的精神、思想和方法是數(shù)學(xué)教育的根本目的。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，真正理解教學(xué)大綱的具體要求和目的，注重各方面的理論知識的教學(xué)，把學(xué)生從做題、解題的“題海”中解放出來，讓數(shù)學(xué)的精神、思想和方法成為他們關(guān)注的對象，并且能努力提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成勤于思考的習(xí)慣，增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，真正體會到數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值，為今后的可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這才是我們每一個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)該做的事。

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（作者單位：廣東省江門市技師學(xué)院）