一個(gè)包含Smarandache LCM對偶函數(shù)的方程

高麗，馬婭鋒

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

1 主要結(jié)論

對任意的正整數(shù)n，著名的Smarandache LCM函數(shù)的對偶函數(shù)定義為［1］:

其對偶函數(shù)定義為［2-3］:

許多學(xué)者對SL?(n)的算術(shù)性質(zhì)進(jìn)行了研究，獲得了不少有趣的結(jié)果.例如，田呈亮［4］得到當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).王妤［5］得到的正整數(shù)解.陳斌［6］得到了的正整數(shù)解.趙娜娜［7-8］得到了的正整數(shù)解.

本文中利用初等數(shù)論和分類討論的方法研究方程

的正整數(shù)解，并得到其所有正整數(shù)解.

2 定理的證明

Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，n=2α，3Ω() n=3α，有

Ⅱ）當(dāng)m＞1時(shí)，分α=1和α＞1兩種情況，具體分析如下:

（?。┊?dāng)k=1時(shí)，n=2?3α1，3Ω(n)=3(1 +α1)，有

因此，方程（1）等價(jià)于

下面求解方程（2）.

（ⅳ）當(dāng)k≥4時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法證得，

易知此方程無正整數(shù)解，此時(shí)方程（1）無正整數(shù)解.

（Ⅰ）當(dāng)3|m時(shí)，具體討論如下:

（?。┊?dāng)k=1時(shí)，n=2α3α1，3Ω(n)=3(α +α1)，有

為方程（1）的解.

①當(dāng)p2=5時(shí)，即，有

因此，方程（1）等價(jià)于

可化簡為6+3αα1+6αα2+10α2α1+2αα1α2=30α+27α1+30α2.由 java程序解得α=3，α1=2，α2=6；α=3，α1=4，α2=3；α=4，α1=6，α2=2；α=4，α1=40，α2=1；α=5，α1=3，α2=3；α=5，α1=18，α2=1；α=10，α1=18，α2=1；α=13，α1=2，α2=3；α=13，α1=7，α2=1；α=21，α1=6，α2=1；α=25，α1=3，α2=2；α=109，α1=5，α2=1.

②當(dāng)p2＞5時(shí)，有

因此，方程（1）等價(jià)于

可化簡為2+αα1+2αα2+3α2α1+αα1α2=10α+9α1+10α2.由java程序解得

α=2，α1=2，α2=8；α=2，α1=10，α2=2；α=3，α1=1，α2=17；α=3，α1=2，α2=5；α=3，α1=6，α2=2；α=4，α1=2，α2=4；α=4，α1=20，α2=1；α=5，α1=4，α2=2；α=5，α1=12，α2=1；α=7，α1=1，α2=5；α=7，α1=2，α2=3；α=7，α1=8，α2=1；α=9，α1=3，α2=2；α=11，α1=6，α2=1；α=19，α1=5，α2=1.即

①當(dāng)p2=5，p3=7，α1=α2=α3=1時(shí)有

②當(dāng)p2≠5，5＜p2＜p3，α1=α2=α3=1時(shí)

③當(dāng)α1＞1，α2＞1，α3＞1時(shí)，有

（ⅳ）因此，當(dāng)k≥4時(shí)，方程（1）也無正整數(shù)解.

（?。┊?dāng)k=1時(shí)，方程（1）等價(jià)于1+αα1=5α+5α1，由java程序解得α=6，α1=29；α=7，α1=17；α=8，α1=13；α=9，α1=11；α=11，α1=9；α=13，α1=8；α=17，α1=7；α=29，α1=6.

α=2，α1=2，α2=5；α=2，α1=3，α2=3；α=2，α1=5，α2=2；α=3，α1=1，α2=8；α=3， α1=2，α2=3；α=3，α1=3，α2=2；α=3，α1=8，α2=1；α=4，α1=1，α2=5；α=4，α1=5，α2=1；α=5，α1=1，α2=4；α=5，α1=2，α2=2；α=5，α1=4，α2=1；α=8，α1=1，α2=3；α=8，α1=3， α2=1.即為（1）式的解.

解得α=2，α1=2，α2=1，α3=1；α=2，α1=1，α2=2，α3=1；α=2，α1=1，α2=1，α3=2.

因此，方程（1）無正整數(shù)解.

綜上所述，定理得證.

［1］Smarandache F.Olny problems，not solutions［M］.Chicago:Xiquan Publ House，1993.

［2］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1992.

［3］張文鵬.初等數(shù)論［M］.西安:陜西師范大學(xué)出版社，2007.

［4］Tian Chengliang.An equations involving the two Smarandache LCM dual function［J］.Scientia Magna，2007，3（3）:104-107.

［5］王妤.一個(gè)包含Smarandache LCM對偶函數(shù)的方程［J］.黑龍江大學(xué)：自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25（5）:645-647.

［6］陳斌.包含Smarandache對偶函數(shù)的方程的正整數(shù)解［J］.天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版.2012，32（3）:6-8.

［7］趙娜娜.關(guān)于Smarandache LCM對偶函數(shù)方程的可解性［J］.渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，28（9）:14-18.

［8］趙娜娜.一個(gè)關(guān)于Smarandache LCM對偶函數(shù)的方程［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2013，26（3）:323-327.

［9］閆天國.關(guān)于Smarandache LCM對偶函數(shù)的一個(gè)方程［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，39（4）:570-574.

［10］陳斌.一個(gè)包含Smarandache對偶函數(shù)的方程［J］.西南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，34（12）:92-96.