探尋高中數(shù)學(xué)解題中的“靈感”

☉江蘇省泗洪中學(xué) 穆婷婷

探尋高中數(shù)學(xué)解題中的“靈感”

☉江蘇省泗洪中學(xué) 穆婷婷

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要組成部分之一，在進行數(shù)學(xué)解題的過程中，能夠有效地理解和深化數(shù)學(xué)基本知識，熟練掌握處理問題的基本技能.可以說解題是直接了解學(xué)生學(xué)習情況的一個窗口.新課改實施以來，越來越注重學(xué)生解題能力的提升.如何實現(xiàn)高效解題是一線教師探究的永恒話題.從心理學(xué)角度來看，思維可以比作解題活動，最有效的解題策略是在思維中形成的，思維的創(chuàng)造性特征離不開靈感，靈感在高中數(shù)學(xué)解題中起到舉足輕重的作用.筆者從自身教學(xué)實踐出發(fā)，在本文中重點闡述如何引導(dǎo)學(xué)生獲取解題中的靈感，從而提升學(xué)生有效解題的能力，提高課堂教學(xué)的效益.

一、以問題為開端，創(chuàng)設(shè)合理情境，探尋數(shù)學(xué)解題“靈感”

教育心理學(xué)理論表明：問題是思維的出發(fā)點和推動學(xué)生能力發(fā)展的添加劑，問題情境的創(chuàng)設(shè)能夠有效激發(fā)學(xué)生求知的好奇心，進而形成合理的思維動向，在新的情境中獲取“靈感”，實現(xiàn)疑難問題的合理轉(zhuǎn)化.

解析：根據(jù)題設(shè)中方程組的特征，若（x0，y0）滿足該方程組，則（-x0，y0）也能滿足此方程組.由于題中方程組有唯一的實數(shù)解，則x0=0.

令（0，y0）為方程組唯一的實數(shù)解，則

將k=0代入原方程組，可得到三組解，不符合題意；將k=2代入原方程組，可得唯一的一組解

點評：對于本題，常規(guī)的處理手段是進行“消元”，變成一元方程進行處理，顯然十分復(fù)雜，學(xué)生處理問題的思維方法受到阻礙，無法進行.通過觀察方程組的特征，創(chuàng)設(shè)新的問題情境，意外發(fā)現(xiàn)x和-x代入方程組效果相同，結(jié)合題目中唯一解的要求，獲取解題的靈感，從而成功解題.

二、充分發(fā)揮直覺思維的敏銳特征，激發(fā)數(shù)學(xué)解題的“靈感”

偉大的科學(xué)家愛因斯坦曾經(jīng)說過：“直覺思維能力是科學(xué)探究的重要保障”，由于直覺思維主要作用于問題的整體框架，可直接觸及研究對象的內(nèi)涵與本質(zhì)，短時間內(nèi)作出科學(xué)性的推理和感性判斷.直覺思維能夠使數(shù)學(xué)解題中的“靈感”有效地迸發(fā)出來；直覺與靈感有著密切的聯(lián)系，靈感在直覺的升華中產(chǎn)生，直覺為靈感的出現(xiàn)提供基礎(chǔ)與源動力.

解析：令（fu）=（x-y）u2+（y-z）u+（z-x）=0.根據(jù)題意可知是此方程的一個根.由于此方程的系數(shù)滿足（xy）+（y-z）+（z-x）=0，則u=1也是方程的根.

點評：本題形式并不復(fù)雜，許多學(xué)生接觸到該題卻無從下手，注意觀察，發(fā)現(xiàn)3=（）2，從直覺的角度了解本題題設(shè)條件符合一元二次方程的形式，激發(fā)了學(xué)生解題的靈感，準確構(gòu)建一元二次方程進行求解.

三、合理運用類比和聯(lián)想的思想方法，獲取數(shù)學(xué)解題的“靈感”

高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容之間存在著密切的聯(lián)系，雖然具有不同的分支，但是彼此之間相互滲透，處理數(shù)學(xué)問題的思想方法與手段同樣是融會貫通的.類比和聯(lián)想是典型的數(shù)學(xué)思想方法，也是激發(fā)學(xué)生解題靈感的重要方式之一.作為一線數(shù)學(xué)教師，在平時的解題教學(xué)中，應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學(xué)生靈活運用類比和聯(lián)系的手段思考問題，促進數(shù)學(xué)知識與能力的正遷移，誘發(fā)學(xué)生分析問題、解決問題的靈感.

解析：根據(jù)題設(shè)條件的形式，我們可以類比和聯(lián)系到三角函數(shù)中的一個等式：.由于三角函數(shù)y=tanx是一個周期函數(shù)，且周期為π，令，即π=4m，則4m是函數(shù)f（x）的一個周期.

點評：對于本題，要說明f（x）是周期函數(shù)，大部分學(xué)生都是選擇從周期函數(shù)的定義出發(fā)進行處理，快速尋求函數(shù)的一個周期是解題的關(guān)鍵之處，但是從題設(shè)條件中直接找到周期是十分困難的.通過對題設(shè)條件的形式進行類比和聯(lián)想，我們可以發(fā)現(xiàn)其與三角函數(shù)中的等式很相似，學(xué)生思維的靈感被激發(fā)出來，找到了解題的突破口，本題就迎刃而解了.

四、敢于打破常規(guī)思維定勢，運用合理的思維轉(zhuǎn)換，把握數(shù)學(xué)解題的“靈感”

高中數(shù)學(xué)試題形式多樣，有些試題按照常規(guī)思維處理似乎“山窮水盡”，無法下手，究其原因主要是受到思維定勢的負遷移作用的影響.在這種情況下，可以通過合理的思維轉(zhuǎn)換，讓受阻的解題思路拓展開來，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)解題思路的“柳暗花明”.

例4試解方程5x2+2y2+2xy-14x-10y+17=0.

解析：將原方程變形為5x2+（2y-14）x+（2y2-10y+17）=0，即為關(guān)于x的一元二次方程.因為有實數(shù)解，所以Δ≥0，即（2y-14）2-4·5·（2y2-10y+17）≥0，即（y-2）2≤0，則y= 2，則x=1.

原方程的解為：x=1，y=2.

點評：對于本題，若按部就班地按照常規(guī)思路解題，感覺好像缺少條件一樣，百思不得其解.但是通過轉(zhuǎn)換思維方式，將原方程看成以x為主的二次方程進行處理，讓學(xué)生豁然開朗，立即把握住解題的靈感，從而成功解題.可見，解題的靈感可以在轉(zhuǎn)換思維中迸發(fā)出來.

總而言之，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從多角度適時抓住解題的“靈感”，獲取解題的最佳方案是一線數(shù)學(xué)教師不懈努力的方向.在平時的課堂教學(xué)中，應(yīng)該更多地提供給學(xué)生獲取解題“靈感”的機會，進而快速提升學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題和處理數(shù)學(xué)問題的能力.