基于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的問題解決
——一組中考壓軸題賞析

☉江蘇省南京金陵中學(xué)河西分?！±钣駱s

基于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的問題解決
——一組中考壓軸題賞析

☉江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校李玉榮

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“通過義務(wù)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)”“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探究解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用”.可見，幾何直觀的培養(yǎng)需從幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣、學(xué)會畫圖并利用圖形思考、想象問題開始，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，最終更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)、解決問題.近幾年陜西省的中考壓軸題的命制在這方面做了積極、有益的探索，很好地踐行了幾何直觀的理念，值得借鑒與學(xué)習(xí).

例1（2009·陜西省）問題探究

（1）請?jiān)趫D1的正方形ABCD內(nèi)，畫出使∠APB=90°的一個點(diǎn)P，并說明理由.

（2）請?jiān)趫D2的正方形ABCD內(nèi)（含邊），畫出使∠APB= 60°的所有的點(diǎn)P，并說明理由.

問題解決

（3）如圖3，現(xiàn)有一塊矩形鋼板ABCD，AB=4，BC=3.工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP′D鋼板，且∠APB=∠CP′D=60°.請你在圖3中畫出符合要求的點(diǎn)P和P′，并求出△APB的面積（結(jié)果保留根號）.

圖1

圖2

圖3

【賞析】命題者以獨(dú)到的視角，將尺規(guī)作圖與剪裁鋼板的實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來，第一、二問的“問題探究”要求畫出滿足條件的“一個點(diǎn)”和“所有的點(diǎn)”，一方面體現(xiàn)了從“特殊”到“一般”的探究問題的基本策略，另一方面將第二問中所獲得的方法遷移到第三問的“問題解決”之中，可以順利地完成從“一般”到“特殊”應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的過程，有效地考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，以及合理利用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問題的能力.當(dāng)確定點(diǎn)P和P′的位置后求△APB的面積，只需利用解直角三角形的知識確定底與高即可.試題的呈現(xiàn)自然、簡捷、和諧，具有較好的數(shù)學(xué)教育價值.

例2（2010·陜西?。﹩栴}探究

（1）請你在圖4中作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分.

（2）如圖5，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請你在圖5中過點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分.

問題解決

（3）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4.開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會（其占地面積不計(jì)）設(shè)在點(diǎn)P（4，2）處.為了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備過點(diǎn)P修一條筆直的道路（路的寬度不計(jì)），并且使這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分.你認(rèn)為直線l是否存在？若存在，求出直線l的表達(dá)式；若不存在，請說明理由.

圖4

圖5

圖6

【賞析】此題的“問題探究”以作圖題呈現(xiàn)，考查等分面積問題，實(shí)際上為第三問做好鋪墊，解決第三問既要想到將梯形分割成一個矩形和一個三角形，又要借助于幾何圖形的直觀發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P（4，2）為矩形ABCD的對稱中心，將問題轉(zhuǎn)化為直線將三角形面積平分即可，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，遺憾的是后續(xù)的計(jì)算難度較大也很煩瑣（有超標(biāo)嫌疑）.此題所示問題情境中的“問題探究”和“問題解決”，表面上看，似乎是一般的操作，但更深層次地可以理解為另一類的閱讀，這種閱讀不是顯見的文字閱讀，而是學(xué)生有效整合已經(jīng)內(nèi)化的矩形相關(guān)知識，通過畫直線的操作活動，具有思考性、推理性地閱讀題意，并獲取相關(guān)策略和方法的過程，思維含量層層提升，較好地考查了學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的完備性和對知識理解的深刻性以及思維的靈活性.

例3（2012·陜西?。┤鐖D，正三角形ABC的邊長為3+

（1）如圖7，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上.在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）.

（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長.

（3）如圖8，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由.

圖7

圖8

【賞析】此題的第一問是源于課本的一道作圖題，第三問提出了求兩個正方形面積和的最大值及最小值，可考慮這兩個內(nèi)接正方形的極端位置：當(dāng)兩個正方形的邊長相等時，它們面積的和最小，當(dāng)其中一個正方形的面積最大時，它們面積的和最大，設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（m≥n），求得面積和的表達(dá)式為：S=+（m-n）2，可見S的大小只與m、n的差有關(guān)：①當(dāng)m=n時，S取得最小值；②當(dāng)m最大而n最小時，S取得最大值.而m最大n最小的情形就是第一、二問所得結(jié)果.試題命制精巧、內(nèi)涵豐富，集求最大、最小值問題于一個圖形，彰顯了新課標(biāo)“由知識立意向能力立意過渡”的教學(xué)要求，較好地體現(xiàn)了“源于基礎(chǔ)，重在思維”的評價理念，對日常教學(xué)具有一定的示范作用.

例4（2013·陜西?。﹩栴}探究

（1）請?jiān)趫D9中作出兩條直線，使它們將圓面四等分.

（2）如圖10，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請?jiān)趫D10中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.

問題解決

（3）如圖11，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD= BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn).如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由.

圖9

圖10

圖11

【賞析】此題第一、二問與例3極為相似，是通過作圖等分面積，求解過程對第三問的求解有提示作用，但第三問的變式幅度較大：一方面圖形從圓、正方形變?yōu)樘菪?，另一方面將“兩條直線四等分面積”變?yōu)椤耙粭l直線兩等分面積”，這就需要通過補(bǔ)形來達(dá)到目的，聯(lián)想到條件“AB+CD=BC”，可以補(bǔ)成一個菱形，做到了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)活動上的“正遷移”.本題借助幾何圖形這個對象，以及相應(yīng)所具有的條件，提出了畫直線平分幾何圖形的任務(wù).本題的“問題情境”可以說是情境設(shè)計(jì)中的材料，也可以是“問題解決”中應(yīng)賦予的條件，同時問題中幾何圖形構(gòu)成的不斷變化，從特殊到一般，能凸顯出策略的形成與應(yīng)用，并體現(xiàn)出不同的認(rèn)知要求和能力層次，運(yùn)用解答題型設(shè)計(jì)試題使探索該問題解決途徑的過程逐步得以呈現(xiàn)，并順應(yīng)問題中圖形從特殊到一般的條件變化，能凸顯問題解決中認(rèn)知要求和能力的層次性.該問題不僅關(guān)注了對基礎(chǔ)知識與技能的考查，更加關(guān)注了對學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的考查.此題所反映出的命題理念與構(gòu)造策略，值得借鑒與研究，而且對學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式具有積極的意義.

例5（2014·陜西?。﹩栴}探究

（1）如圖12，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個等腰△APD，并求出此時BP的長.

（2）如圖13，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn).當(dāng)AD=6時，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90°，求此時BQ的長.

問題解決

（3）有一山莊，它的平面圖為如圖14的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB.現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳.已知∠A=∠E=∠D= 90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m.問：在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°？若存在，請求出符合條件的DM的長；若不存在，請說明理由.

圖12

圖13

圖14

【賞析】第一問，由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，通過作圖發(fā)現(xiàn)需分三種情況討論，再運(yùn)用勾股定理等知識即可解決問題.第二問要求以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q唯一，然后通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識即可求出BQ的長.第三問中要滿足∠AMB=60°，可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，就可算出符合條件的DM的長.顯然，三個問題都需要構(gòu)造與求解相關(guān)的圖形才能奏效，“做數(shù)學(xué)”的意識躍然紙上，考查了操作、探究等能力，綜合性非常強(qiáng).

上述幾道中考壓軸題獨(dú)具匠心的設(shè)計(jì)突出了“做數(shù)學(xué)”的過程，彰顯了過程性教學(xué)理念，通過“作圖”這樣的數(shù)學(xué)活動積累經(jīng)驗(yàn)去解決問題，對幾何直觀的理念做出了很好的詮釋.這里的數(shù)學(xué)活動是在考場而不是在課堂，問題解決不是靠合作交流而是需自主探究，圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，基本活動經(jīng)驗(yàn)的獲取直接影響問題解決.在教學(xué)中要有意識地強(qiáng)化對基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終，使學(xué)生積累有效的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，不僅在中考中得心應(yīng)手，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和運(yùn)用的能力更一定終身受益.