解決圓中問題的數(shù)學(xué)思想方法

徐蘭方

在解決圓中的問題時(shí)，常常需要應(yīng)用一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要有：

一、 方程思想

方程思想在探索解題思路時(shí)經(jīng)常使用，尤其對(duì)解決與數(shù)量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)行之有效. 圓中的垂徑定理、勾股定理、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式都為列方程（組）創(chuàng)造了條件.

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，以AB為弦的☉M與x軸相切. 若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），則圓心M的坐標(biāo)為（ ）.

A. （-4，5） B. （-5，4）

C. （5，-4） D. （4，-5）

【解析】設(shè)☉M與x軸的切點(diǎn)為F，連接FM，并延長(zhǎng)交AB于E，連接AM. ∵☉M與x軸相切，∴MF⊥x軸，ME⊥AB. ∵A的坐標(biāo)為（0，8），∴AB=OC=BC=EF=OA=8. ∴AE=BE=4. 設(shè)MF=AM=x，∴ME=8-x. 在Rt△AME中，AE2+ME2=AM2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5. 即MF=5，∴M的坐標(biāo)為（-4，5），故選A.

【點(diǎn)評(píng)】由圓的半徑、弦的一半和圓心到弦的垂線段（又叫弦心距）所構(gòu)成的直角三角形是解決有關(guān)圓的問題的基本圖形.在解題時(shí)，我們常常由垂徑定理及其推論得到直角三角形，再在直角三角形中用勾股定理建立方程來解決問題.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系都是通過數(shù)量關(guān)系來判定的，在解決圓的有關(guān)問題時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合，可以使所要研究的問題化難為易，化繁為簡(jiǎn).

例2 已知☉O的面積為9π cm2，若點(diǎn)O到直線l的距離為π cm，則直線l與☉O的位置關(guān)系是（ ）.

A. 相交 B. 相切

C. 相離 D. 無法確定

【解析】設(shè)圓O的半徑是r，根據(jù)圓的面積公式求出半徑，再和點(diǎn)O到直線l的距離πcm比較即可. 設(shè)圓O的半徑是r，則πr2=9π，∴r=3，∵點(diǎn)O到直線l的距離為πcm，3<π，即r

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的理解和掌握，解此題的關(guān)鍵是知道當(dāng)rd時(shí)，相交. 本題雖然是關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系（形）的判定，但卻是通過比較直線與圓心的距離（數(shù)）大小來做出判定的.

三、 轉(zhuǎn)化思想

圓中經(jīng)常運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解決問題，如圓周角與圓心角的轉(zhuǎn)化，圓周角定理證明中特殊與一般的轉(zhuǎn)化，不同位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，不規(guī)則圖形向規(guī)則圖形的轉(zhuǎn)化，等等，都是轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用的范例.

例3 如圖2，AB是☉O的直徑，AM、BN分別切☉O于點(diǎn)A、B，CD交AM、BN于點(diǎn)D、C，DO平分∠ADC.

（1） 求證：CD是☉O的切線；

（2） 若AD=4，BC=9，求☉O的半徑R.

【解析】（1） 要證明CD是☉O的切線，由于DO平分∠ADC，所以可作OE⊥CD于點(diǎn)E，轉(zhuǎn)化為證明OE=OA即可. ∵AM切☉O于點(diǎn)A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA，又∵OA為☉O的半徑，∴CD是☉O的切線；

（2） 要求☉O的半徑R，即求AB的長(zhǎng)，為此過D點(diǎn)作DF⊥BC于點(diǎn)F，將AB轉(zhuǎn)化為DF，再在Rt△DFC中求解. ∵AM，BN分別切☉O于點(diǎn)A，B；∴AD⊥AB，AB⊥BC，∴四邊形ABFD是矩形.∴AD=BF，AB=DF，又∵AD=4，BC=9，∴FC=9-4=5；又∵AM，BN，DC分別切☉O于點(diǎn)A，B，E，∴DA=DE，CB=CE；∴DC=AD+BC=4+9=13；在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，∴DF===12，∴AB=12，∴☉O的半徑R=6.

【點(diǎn)評(píng)】解題時(shí)要充分利用各種關(guān)系，對(duì)角度或長(zhǎng)度進(jìn)行轉(zhuǎn)化；當(dāng)題目中出現(xiàn)直徑時(shí)，要注意構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角，然后利用直角三角形兩銳角互余進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.

四、 整體思想

在解決圓中的計(jì)算問題時(shí)，整體思想有其獨(dú)特的功效.

例4 如圖3，在周長(zhǎng)為1 500米的四邊形住宅區(qū)ABCD周圍修建一寬為2米的綠化帶，求綠化帶的面積.

【解析】如圖3，要分別求出四個(gè)矩形和四個(gè)扇形的面積很困難，我們不妨采用“整體合并”的思想，把四個(gè)矩形的面積的和看成是一個(gè)整體S1，則S1=1 500×2=3 000（m2）.把四個(gè)扇形面積的和看成一個(gè)整體S2（為一個(gè)圓），S2=π×22≈13（m2），于是綠化帶的面積=3 000+13=3 013（m2）.

【點(diǎn)評(píng)】在進(jìn)行圓的有關(guān)計(jì)算特別是不規(guī)則圖形面積的計(jì)算時(shí)，把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體上，善于整體思考，常能收到事半功倍的效果.

五、 分類思想

當(dāng)我們研究點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，就要從不同的位置關(guān)系去考慮，列舉各種可能的情況. 這種對(duì)位置關(guān)系的考慮與分析，蘊(yùn)含分類討論思想的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用是本章的最大特色.

例5 如圖4，木工師傅可以用角尺測(cè)量并計(jì)算出圓的半徑r. 用角尺的較短邊緊靠☉O，并使較長(zhǎng)邊與☉O相切于點(diǎn)C. 假設(shè)角尺的較長(zhǎng)邊足夠長(zhǎng)，角尺的頂點(diǎn)為B，較短邊AB=8 cm. 若讀得BC長(zhǎng)為a cm，則用含a的代數(shù)式表示r為______.

【解析】如圖5，當(dāng)BC≤AB，即a≤8時(shí)，根據(jù)題意，AB與☉O相切，設(shè)切點(diǎn)為E，連接OC，OE，則四邊形BCOE為正方形，從而BC=OE=BE≤AB，即r=a≤8；當(dāng)BC>AB，即a>8時(shí)，如圖6，連接OC，OA，過點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)D，則AD=BC=a，OD=OC-CD=OC-AB=r-8，OA=r，在Rt△OAD中，AD2+OD2=AO2，即a2+（r-8）2=r2，解得r=a2+4.

綜上所述，答案為當(dāng)0≤a≤8時(shí)，r=a；即a>8時(shí)，r=a2+4.

【點(diǎn)評(píng)】AB緊靠☉O，同時(shí)BC與☉O相切，AB與☉O就存在兩種情況：相切或相交，本題應(yīng)分情況討論.事實(shí)上，當(dāng)題中沒有明確直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，

通常都要分直線與圓相離、相切、相交三種情況討論.許多學(xué)生由于沒有注意到AB與圓的位置關(guān)系是由AB與BC的長(zhǎng)短決定的，因此只計(jì)算一種情況，從而造成了漏解.

小試身手

1. （2013·江蘇蘇州）如圖7，AB是半圓的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∠ABC=50°，則∠DAB等于（ ）.

A. 55° B. 60°

C. 65° D. 70°

2. ☉O的半徑為5，AB為直徑，CD為弦，CD⊥AB，垂足為E，若CD=6，則AE的長(zhǎng)為______.

3. （2013·湖南邵陽）如圖8所示，某窗戶由矩形和弓形組成.已知弓形的跨度AB=3 m，弓形的高EF=1 m. 現(xiàn)計(jì)劃安裝玻璃，請(qǐng)幫工程師求出所在圓O的半徑.

（作者單位：江蘇省興化市昭陽湖初級(jí)中學(xué)）